啄木鳥裝置自激振動的動態(tài)仿真

許 勇，王 偉

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620)

啄木鳥裝置自激振動的動態(tài)仿真

許 勇，王 偉

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械工程學(xué)院，上海 201620)

啄木鳥裝置可以產(chǎn)生自激振動，這種運動需要依賴摩擦力的作用,從而完成一系列的動作。為了研究啄木鳥裝置系統(tǒng)的非線性的復(fù)雜運動過程，通過拉格朗日方程對自激振動中線性互補問題進(jìn)行求解，從而得到啄木鳥裝置的運動特性。啄木鳥裝置可以通過自身的自激振動，而不需要依賴任何的動力和控制完成周期性的運動。整個連續(xù)周期的動態(tài)仿真表明其是穩(wěn)定的周期被動運動，試驗樣機也驗證了仿真的正確性。

被動運動；自激振動；動態(tài)仿真

為解決單側(cè)接觸的線性互補問題，近幾十年來單側(cè)接觸的線性互補模型的公式廣受關(guān)注[1]，然而在過去的10年里，這個公式才在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域得到驗證。在20世紀(jì)70年代和80年代Vereshchagin、Armstrong and Green[2-3]最早做了一些關(guān)于單側(cè)接觸的線性互補問題的研究。 L?tstedt[4]發(fā)表了第一篇有關(guān)單側(cè)接觸的線性互補問題的文章。

所謂自激振動，就是無外界刺激，單純靠振動系統(tǒng)本身的運動向整個系統(tǒng)提供動能。自激振動也叫負(fù)阻尼振動，這是由于整個系統(tǒng)的阻尼力非但沒有阻止運動，反而維持系統(tǒng)的振動[5]。

啄木鳥裝置的自激振動也是單側(cè)接觸線性互補問題的一種，啄木鳥模型通過彈簧連接在套筒上，將套筒置于金屬直桿的頂端，拉開啄木鳥，放手后啄木鳥開始有節(jié)奏地擺動身體，一邊啄桿一邊間歇地、時滑時停地向下滑動，演示了自激振動的現(xiàn)象，也可作為多體系統(tǒng)動力學(xué)的教具。本文以啄木鳥裝置模型為例，從實驗、理論和模擬仿真上對這個問題進(jìn)行求解分析[6]。

1 模型的建立

圖1的啄木鳥裝置由于沖擊和摩擦的作用完成了一系列的動態(tài)行為。整個啄木鳥系統(tǒng)由啄木鳥1、套筒2、直桿3、彈簧約束組成。在啄木鳥的整個運動過程中，維持運動的能源來自重力[7]。套筒2往下滑動時，重力勢能轉(zhuǎn)換成維持啄木鳥運動的動能。而套筒與直桿之間的碰撞使得向下滑的動能轉(zhuǎn)換成了啄木鳥往復(fù)擺動的動能和彈簧的勢能。啄木鳥自身的重力勢能并不是周期變化的，但是它對啄木鳥運動的輸送是周期變化的，這是由于啄木鳥自身可以控制重力勢能的能量分配，啄木鳥整個運動過程如圖2所示[8]。

圖1 啄木鳥裝置 圖中變量參數(shù)改為斜體

為了方便分析整個啄木鳥的運動過程，將啄木鳥1與套筒2組成的系統(tǒng)記作{0}，質(zhì)量和為m。1與2由一根彈簧連接，彈簧為扭簧，僅產(chǎn)生由角位移引起的扭矩，本系統(tǒng)由3個自由度組成，q=[yθψ]，各參數(shù)的含義如圖1所示。由于啄木鳥的運動需要依靠碰撞的干擾作用，所以本系統(tǒng)只有在摩擦力存在的情況下才可以運動[9]。

圖2 啄木鳥運動過程示意圖

在振動理論中，這種由本身的控制閥從恒定能源吸取能量而實現(xiàn)的不衰運動稱為自激振動。這種由庫侖摩擦激發(fā)的干摩擦自激振動是工程技術(shù)中常見的振動形式[10]。

在多體系統(tǒng)動力學(xué)中，對線性互補問題有一個整體的動力學(xué)方程描述，表示為

(1)

式中：M表示廣義質(zhì)量矩陣；t表示啄木鳥自由下落的時間;q表示廣義坐標(biāo)矩陣；h表示廣義力；λN和λT分別表示法向以及切向的接觸力；時間變量集合IS涵蓋了所有潛在的約束。

由多體系統(tǒng)動力學(xué)的知識可以列出相關(guān)的矩陣

式(1)中，wN，wT是根據(jù)物體的幾何形狀特征以及物體間碰撞的動能原理計算出來的,分別為

啄木鳥被釋放后，基于自激振動機理的動力學(xué)方程為：

(2)

(3)

(4)

式中：m2為套筒的質(zhì)量；J2為套筒的轉(zhuǎn)動慣量；m1為啄木鳥的質(zhì)量；J1為啄木鳥的轉(zhuǎn)動慣量；其他尺寸參量表示的含義如圖1所示。式(2)、(3)、(4)分別表示整個系統(tǒng){0}、套筒2、啄木鳥1的3個動力學(xué)方程。當(dāng)不考慮外力時，可以很容易地解出這一方程組，從而求出各時刻啄木鳥的狀態(tài)[11]。

2 啄木鳥的動態(tài)仿真

本動態(tài)仿真具體參數(shù)設(shè)置如下。

2.1動力學(xué)參數(shù)

m1=4.8g，m2=1.0g，g=9.81m/s2，J2=5.0×10-9kg·m2，J1=7.0×10-7kg/m2，cφ=0.005 6N·m/rad。

2.2幾何參數(shù)

r0=0.001 35m，h2=0.004 42m，r2=0.001 75m，h1=0.020 0m，l2=0.010 0m，l3=0.015 0m，l1=0.020 1m，r1=0.002 0m。

2.3接觸點

套筒與桿：μ=0.3，ξN=0，ξT=0，ν=0。

桿與啄木鳥：μ=0.3，ξN=0.5，ξT=0，ν=0。

將上述參數(shù)帶入拉格朗日方程，用仿真軟件可得到各參數(shù)隨時間變化的示意圖，如圖3所示，其中θ和ψ的運動曲線呈周期性變化。

圖3 各參數(shù)變化示意圖

3 樣機的運動

為了驗證仿真結(jié)果的正確性，通過樣機的制作，得到了圖4所示啄木鳥裝置的樣機。其中，用一根粗的尼龍繩代替直桿，啄木鳥則是按照模型取適當(dāng)比例剪裁得到，將啄木鳥套于繩上，從頂端自由下落，其運動恰好是周期性的被動運動。

樣機運動示意圖如圖4所示。

4 結(jié)束語

本論文通過對線性互補問題的求解對啄木鳥裝置系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為進(jìn)行了研究。啄木鳥裝置可以通過自激振動的原理，本身不加任何驅(qū)動和控制而實現(xiàn)周期性的運動。動態(tài)仿真的數(shù)據(jù)曲線很直接地顯示了啄木鳥裝置系統(tǒng)振動的周期性，這表明該裝置能夠?qū)崿F(xiàn)周期性的、穩(wěn)定的被動運動。

圖4 樣機運動示意圖

[1] Pfeiffer F. The idea of complementarity in multi-body dynamics[J]. Archive of Applied Mechanics，2003，72(11/12)：807-816.

[2] Vereshchagin A F. Computer simulation of the dynamics of complicated mechanisms of robot manipulations[J].Eng. Cybern., 1974(6)：65-70.

[3] Armstrong W W,Green M W. The dynamics of articulated rigid bodies for purposes of animation[J]. Visual Computer,1985(1):231- 240.

[4] L?tstedt P. Coulomb friction in two-dimensional rigid body systems[J]. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik,1981，61(2)：605-615.

[5] 徐陽，盧毓江，秦劍生，等.測定懸臂梁固有頻率[J].硅谷，2011(17)：174-175.

[6] Leine R I. Nonlinear dynamics and modeling of various wooden robots with impact and friction[J]. Journal of Vibration and Control，2003(9)：25-78.

[7] Slavic J，Boltezar M.Non-linearity and non-smoothness in multi-body dynamics: application to woodpecker toy[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005，19(4)：491-496.

[8] Cline M B. Rigid body simulation with contact and constraints[D].City of Vancouver：The University of British Columbia，1999.

[9] 劉延柱.再談蕩秋千——兼談自激振動[J].力學(xué)與實踐，2007(3)：92-93.

[10] Baraff D. Dynamic simulations of non-penetrating rigid bodies[D]. New York：Cornell University，1992.

[11] 易舜智，晉曉曦，張晚云，等.以啄木鳥玩具為例的LCP問題求解[J].物理與工程，2013(5)：27-32.

Dynamicsimulationofawoodpeckerdevicebasedonself-excitedvibration

XU Yong, WANG Wei

(Shanghai University of Engineering Science, Shanghai, 201620, China)

Woodpecker device can generate self-excited vibration, and need to rely on the friction force to complete a series of actions. In order to study the complex nonlinear motion process of woodpecker system, it solves the linear complementary problem in self-excited vibration based on the Lagrange equation, and obtains the motion characteristics of the woodpecker device. The self-excited vibration woodpecker device can complete periodic motion, and does not need to rely on the power and control. Dynamic simulation of the whole continuous cycle show that the cycle motion is passive and stable, test prototype is also verified the correctness of the simulation.

passive movement; self-excited vibration; dynamic simulation

10.3969/j.issn.2095-509X.2014.11.011

2014-09-30

許勇(1973—)，男，江蘇南通人，上海工程技術(shù)大學(xué)副教授，博士,主要研究方向為機器人機構(gòu)學(xué)、機電裝備動力學(xué)性能優(yōu)化設(shè)計。

O323

A

2095-509X(2014)11-0051-04