二水平設(shè)計(jì)離散偏差和對稱化L2偏差緊的下界*

李洪毅，黎奇升，歐祖軍

(1.吉首大學(xué)師范學(xué)院,湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

二水平設(shè)計(jì)離散偏差和對稱化L2偏差緊的下界*

李洪毅1，2，黎奇升2，歐祖軍2

(1.吉首大學(xué)師范學(xué)院,湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

基于現(xiàn)有的均勻性測度公式,利用Langrange乘數(shù)法和Taylor公式得到二水平設(shè)計(jì)離散偏差和對稱化L2偏差緊的下界,最后通過2個例子來驗(yàn)證其結(jié)論.

均勻設(shè)計(jì);U型設(shè)計(jì);離散偏差；對稱化L2偏差；下界

均勻設(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)試驗(yàn)和穩(wěn)健試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一種很重要的方法,它有助于試驗(yàn)點(diǎn)遍及整個設(shè)計(jì)空間.均勻性測度在均勻設(shè)計(jì)的構(gòu)造方面有重要的作用,各種偏差作為均勻性測度用來衡量均勻性的好壞,其中最為常用的偏差有離散偏差[1]和對稱化L2偏差[2].因此,離散偏差和對稱化L2偏差作為均勻性測度,尋找它們精確的下界是十分重要的.若一個下界可以達(dá)到,則稱這個下界是緊的.許多研究者盡力去找這些偏差的下界,針對二水平部分因子設(shè)計(jì),文獻(xiàn)[1]給出了離散偏差的一個下界,文獻(xiàn)[2-3]分別給出了對稱化L2偏差的一個下界.筆者利用Langrange乘數(shù)法和Taylor公式獲得了二水平離散偏差和對稱化L2偏差緊的下界.

1 預(yù)備知識

記d(n;qs)為一具有n次試驗(yàn)、s個q水平因子的設(shè)計(jì),其設(shè)計(jì)表可看成是n×s的矩陣d=(dij),其中每一列取{0,1,…,q-1}中的元素,d的每一行對應(yīng)于一次試驗(yàn),d的每一列對應(yīng)于一個因子.若d(n;qs)的任一列中的所有的水平出現(xiàn)相同的次數(shù),則稱d(n;qs)為U型設(shè)計(jì),即每個因子的每個水平在每一列中出現(xiàn)相同的次數(shù).所有具有n次試驗(yàn)、s個q水平因子的U型設(shè)計(jì)的集合記為U(n;qs).設(shè)δij為設(shè)計(jì)d的第i行和第j行之間相應(yīng)位置上相同元素的個數(shù),對于任意的設(shè)計(jì)d∈U(n;2s),其離散偏差和對稱化L2偏差分別記為DD(d;a,b),SD(d),它們分別可以通過以下表達(dá)式得到：

(1)

其中a,b為常數(shù)且a>b>0；

(2)

關(guān)于(1)，(2)式的詳述分別參見文獻(xiàn)[1-2].

引理1[4]已知l為任意整數(shù),如果d∈U(n;2s),那么

(3)

其中：w為r/k的整數(shù)部分；p,q滿足p+q=k和pw+q(w+1)=r；k=n(n-1)；r=n(n-2)s/2.

2 主要結(jié)論

定理1 對任意的設(shè)計(jì)d∈U(n;2s),有

(4)

由(3)式可得

從而(4)式得證,定理1證畢.

定理2 對任意的設(shè)計(jì)d∈U(n;2s),有

(5)

利用(3)式,可類似定理1的證明過程來完成定理2的證明.

3 舉例

例1 考慮文獻(xiàn)[5]中的2個設(shè)計(jì)d8，6∈U(8;26),d8，7∈U(8;27),其中n=8,s分別為6,7.表1分別給出了設(shè)計(jì)d8，6、d8，7、離散偏差(其中a=1,b=0.5)、對稱化L2偏差及相應(yīng)的下界.

表1 二水平設(shè)計(jì)d8，6、d8，7、離散偏差、對稱化L2偏差及其下界

例2 考慮文獻(xiàn)[5]中的2個設(shè)計(jì)d12，10∈U(12;210),d12，11∈U(12;211),其中n=12,s分別為10,11.表2分別給出了設(shè)計(jì)d12，10、d12，11、離散偏差(其中a=1,b=0.5)、對稱化L2偏差及相應(yīng)的下界.

表2 二水平設(shè)計(jì)d12，10、d12，11、離散偏差、對稱化L2偏差及其下界

從這2個例子不難發(fā)現(xiàn),由(4)和(5)式求出的下界和相應(yīng)的偏差的平方相等,這樣的下界是最好的,且這2個下界可以達(dá)到,因此這2個下界都是緊的.

4 結(jié)語

基于已有的離散偏差和對稱化L2偏差公式,利用Langrange乘數(shù)法和Taylor公式給出了二水平設(shè)計(jì)的離散偏差和對稱化L2偏差緊的下界.

[1] QIN Hong，F(xiàn)ANG Kaitai.Discrete Discrepancy in Factorials Designs[J].Metrika,2004,60:59-72.

[2] 汪政紅.對稱化L2偏差新的下界及其應(yīng)用[D].武漢:華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,2006.

[3] FANG Kaitai,MA Changxing,MUKERJEE R.Uniformity in Fractional Factorials[M]//FANG Kaitai,HICKERNELLll F J,NIEDERRERTER H.Monte Carlo and Quasi￣Monte Carlo Methods in Scientific Computing.Berlin:Springer,2002：232-241.

[4] CHATTERJEE K,LI Zhaohai，QIN Hong.Some New Lower Bounds to Centered and Wrap￣AroundL2￣Discrepancies[J].Statistics and Probability Letters,2012,82:1 367-1 373.

[5] FANG Kaitai,WINKER P.Lower Bounds for Centered and Wrap￣AroundL2￣Discrepancies and Construction of Uniform Designs by Threshold Accepting[J].Journal of Complexity,2003,19:692-711.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

LowerBoundstoDiscreteDiscrepancyandSymmetricL2DiscrepancyinTwoLevelFractionalFactorialDesigns

LI Hongyi1,2,LI Qisheng2,OU Zujun2

(1.Normal College,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China;2.College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

On the basis of existing formula of uniformity measurement and using the Langrange multiplier method and the formula of Taylor,the tight lower bounds to discrete discrepancy and symmetricL2discrepancy of two level fractional factorial designs are obtained.Finally,two examples are given to illustrate the results.

uniform design;Utype design;discrete discrepancy;symmetricL2discrepancy;lower bound

1007-2985(2014)03-0020-03

2013-11-12

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11201177)；湖南省教育廳科研項(xiàng)目(12C0287)；湖南省教育廳優(yōu)秀青年項(xiàng)目(14B146)；吉首大學(xué)校級科研項(xiàng)目(13JDY041)；吉首大學(xué)學(xué)成返校博士科研項(xiàng)目(JSDXXCFXBSKYXM201113)

李洪毅(1978-),女,湖南沅陵人,吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生,主要從事概率統(tǒng)計(jì)研究

歐祖軍(1979-),男,湖南宜章人,吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要從事概率統(tǒng)計(jì)及試驗(yàn)設(shè)計(jì)研究;E￣mail ozj9325@mail.ccnu.edu.cn.

O212.6

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.03.005