TVD格式數(shù)值模擬水電站水擊波新探

范曉丹，劉韓生，董　瑜，張　丹

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100；2.湖北省水利水電科學(xué)研究院， 湖北 武漢 430070)

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TVD格式數(shù)值模擬水電站水擊波新探

范曉丹1，劉韓生1，董瑜1，張丹2

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院， 陜西 楊凌 712100；2.湖北省水利水電科學(xué)研究院， 湖北 武漢 430070)

摘要:水電站有壓管道水擊波數(shù)值模擬十分重要,其計算方法一直都是重點研究方向，TVD格式是數(shù)值模擬水擊波的新方法,特別適合數(shù)值模擬強間斷問題。其限制函數(shù)是該格式的核心問題，具有四種不同形式，將其運用于水擊方程,數(shù)值模擬閥門突然關(guān)閉時水擊波壓力變化，與解析解進行對比，以此探究限制函數(shù)類型對TVD數(shù)值模擬水擊波結(jié)果的影響。結(jié)果表明:四種限制函數(shù)TVD格式的計算結(jié)果，在間斷處避免了非物理振蕩，Superbee型TVD格式的分辨率最高，推薦該限制函數(shù)數(shù)值模擬水電站水擊波。

關(guān)鍵詞:限制函數(shù)；TVD格式；數(shù)值模擬；非物理振蕩；水擊

自1983年Harten在文獻[1]中提出TVD格式以來，TVD格式就以其具有模擬大梯度流動和自動捕捉激波的能力，在計算空氣動力學(xué)及潰壩水力學(xué)[2]中得到了廣泛應(yīng)用。在水電站和水利樞紐等給水管道系統(tǒng)設(shè)計和操作中,水擊是考慮的重要因素之一,而數(shù)值模擬是進行水擊計算的常用方法。本文選用近年來廣泛用于空氣動力學(xué)和潰壩水力學(xué)中模擬激波的TVD[3]格式進行計算。對于水擊波數(shù)值模擬,文獻[4-7]表明TVD格式較常規(guī)的差分格式有顯著的優(yōu)勢,表現(xiàn)在間斷處TVD格式數(shù)值模擬的分辨率顯著提高,常規(guī)的差分方法,一階格式在間斷處坦化,二階格式則出現(xiàn)顯著的非物理振蕩。這些文獻用單一的TVD數(shù)值計算,沒有論證TVD格式之間的區(qū)別。事實上,TVD格式有多種形式,常用的限制函數(shù)有四種,本文分別采用這四種限制函數(shù)進行數(shù)值計算,比較計算結(jié)果,推薦采用Superbee型限制函數(shù)。

1　控制方程

計算流體力學(xué)中,與解析解對比是論證格式優(yōu)劣的有效方法,對于水電站水擊波問題選用忽略摩阻損失及管道傾斜影響的簡化水擊基本微分方程作為控制方程，其為一維簡化且有解析解的常系數(shù)雙曲型偏微分方程組[8],即:

(1)

(2)

式中:H為測壓管水頭；u為斷面平均流速；c為水擊波速。

方程式(1)和式(2)可以寫成式(3)的形式:

(3)

(4)

式中:F=AU。

2　計算格式

近年來TVD格式有了許多新進展，文獻[9]中的TVD格式比較常用,適合計算擬線性雙曲型偏微分方程，其形式如下:

(5)

但是從讀者利用圖書館的信息行為來看，出現(xiàn)了借書量逐年下降、查找資料首選不一定是圖書館、入館人次減少、對圖書館的利用以自習(xí)為主、傳統(tǒng)咨詢量減少、數(shù)字資源利用率在提高等變化。以陜西省7所211大學(xué)圖書館為例，從2011年到2016年，圖書外借量均出現(xiàn)1萬-32萬不等的數(shù)量減少。

3　限制函數(shù)

為了使離散化方程自動高分辨率的捕捉間斷解，自適應(yīng)調(diào)節(jié)數(shù)值耗散和數(shù)值色散效應(yīng)，并保持格式的單調(diào)性，19世紀70年代一個非線性函數(shù)φ(r)被提出，又稱通量限制器(flux limiter)[10]，即限制函數(shù)。引入限制函數(shù)，可真正的對解的間斷和大梯度的地方給出尖銳的圖像，即如果未知函數(shù)的離散近似解有很大的梯度或振幅趨勢，它可以適當?shù)募訌姅?shù)值粘性；反之，在比較平坦的地方可以降低數(shù)值耗散，甚至局部引入反耗散機制，從而達到間斷數(shù)值解的高分辨率。

二階TVD格式的φ(r)常表示為壓縮參數(shù)Φ的函數(shù)，其整個區(qū)域可統(tǒng)一表示為φ(r)=max〔0，min(1,Φr),min(Φ,r)〕,1≤Φ≤2，在允許區(qū)域內(nèi)選取不同的非線性限制函數(shù)φ(r)，建立起不同性能的二階TVD格式。本文對每一種一階逆風格式采用以下4種限制函數(shù)建立四種二階TVD格式，如下所示[11]:

(1)Roe的Minmod型:φ(r)=min mod(1,r)

(3)VanLeer的Muscl型:

φ(r)=max{0,min〔2,2r,0.5(1+r)〕}

(4)Roe的Superbee型:

φ(r)=max〔0,min(2r,1),min(r,2)〕

其中:Superbee限制函數(shù)為整個允許區(qū)域的上邊界，Minmod限制函數(shù)為整個允許區(qū)域的下邊界，VanLeer的Monotonic型限制函數(shù)為該區(qū)域內(nèi)的一條光滑的弧線，VanLeer的Muscl型限制函數(shù)耗散性與壓制性適中。此外，VanLeer限制函數(shù)單調(diào)遞增且具有對稱性。可以看出，4種限制函數(shù)均滿足φ(1)=1，這正是數(shù)值通量達到二階精度所需滿足的總體要求。

4　邊界條件[12]

對于管道上游端接大水庫的情況，在很短的瞬變期間通?？梢约俣ㄋ畮焖皇呛愣ú蛔兊摹Ｋ?，上游的邊界條件是:水擊波的傳播過程中，進口斷面的水頭保持為常數(shù)[13]，即:

(6)

因而可得入口的流速為:

(7)

4.2管道末端斷面邊界條件

管道末端斷面與流量控制設(shè)備相連，故該斷面的流動條件與設(shè)備控制的類型及其控制規(guī)律有關(guān)。不同類型的水電站水輪機其流量控制設(shè)備也各不相同，所以邊界條件往往比較復(fù)雜。在此，僅討論一種比較簡單的情況——管道末端與閥門相連。

(8)

從而可得:

(9)

如果下游給定閥門邊界條件，根據(jù)孔口出流規(guī)律可以確定水頭和流量之間的關(guān)系為:

(10)

式中:um為閥門全開時管道中的流速；τi為i時刻管道閥門的相對開度，0<τi<1；H*為閥門在恒定流狀態(tài)下管道末端的水頭。如果下游為閥門瞬時關(guān)閉的理想工況,則τi=0，可得下游流速邊界條件為uN=0。

4.3次邊界條件的處理

由于本文所用TVD格式是五點格式，涉及到次邊界點的計算，常見的處理方法是將次邊界點改為三點格式。

5　算　例

某壓力鋼管，上游與水庫相接，下游接沖擊式水輪機的控制閥門。已知:壓力鋼管的長度L=600 m，管徑D=2 400 mm，管壁厚度δ=20 mm,水頭H0=200 m，閥門全開時管道中最大流速vm=3 m/s。若規(guī)定閥門啟閉時間Ts=1 s,試求閥門由完全開啟至完全關(guān)閉情況下，管道末端閥門處的最大水頭和最低水頭。

經(jīng)計算知，閥門斷面發(fā)生直接水擊，此時可認為管道壓力和流速的初始值在閥門斷面處存在間斷。

計算模型如圖1所示。

圖1計算模型

首先計算水擊波的解析解，然后分別采用四種制函數(shù)的TVD格式進行編程計算，將結(jié)果與解析解繪圖對比如圖2～圖4所示。

圖2Minmod型與解析解

圖3Monotonic型與解析解

圖4Muscl型與解析解

圖5Superbee型與解析解

由圖中可以看出:4種限制函數(shù)TVD格式的計算結(jié)果有兩個明顯的特點:一是在光滑區(qū)計算結(jié)果理想，計算值與解析值完全吻合；二是在間斷處避免了非物理振蕩，這種振蕩在兩階差分格式是無法避免的，即使設(shè)置人工粘性，也只能限制振蕩，不能避免，而此處的TVD格式為兩階精度，能夠避免這種非物理振蕩，發(fā)揮了其變差不增的優(yōu)勢。

在間斷處，TVD格式降為一階精度[14]，使得間斷處微有坦化現(xiàn)象，這是正常的，與一階差分格式的坦化比較，這里的坦化微不足道。高分辨格式能夠在很窄的網(wǎng)格范圍內(nèi)分辨出間斷解而不產(chǎn)生數(shù)值振蕩，4種限制函數(shù)TVD格式的分辨率均不超過5個網(wǎng)格，體現(xiàn)了TVD格式的高分辨率性能[15]；4種格式相互比較，Superbee型TVD格式的分辨率最高，為3個網(wǎng)格，其它3個限制函數(shù)的分辨率基本相同為4～5個網(wǎng)格，故推薦Superbee型TVD格式數(shù)值模擬水電站水擊波。

6　結(jié)　論

(1)4種限制函數(shù)TVD格式的計算結(jié)果在光滑區(qū)計算值與解析完全吻合，在間斷處避免了非物理振蕩，且呈現(xiàn)高分辨率特性。

(2)4種限制函數(shù)TVD格式的計算結(jié)果表明，Sweby 的Superbee型限量函數(shù)的TVD格式對間斷的分辨率最高，具有相對最強的激波捕捉能力，對水擊過程的模擬最為逼真，推薦該限制函數(shù)數(shù)值模擬水電站水擊波。

參考文獻:

[1]Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws[J]. Journal of Computational Physics，1983，49(3):357-363.

[2]王嘉松.TVD格式數(shù)值模擬潰壩波的研究[D].大連:大連理工大學(xué),1998.

[3]劉儒勛，舒其望.計算流體力學(xué)的若干新方法[M].北京:科學(xué)出版社，2003.

[4]樊書剛，劉韓生，張丹，等.TVD格式在水擊數(shù)值模擬中的應(yīng)用[J].水力發(fā)電學(xué)報，2010，(4):107-112.

[5]樊書剛，劉韓生，張一.一維水擊波的高精度數(shù)值模擬[J].水力發(fā)電,2010，36(4):79-81.

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[8]呂宏興，裴國霞，楊玲霞.水力學(xué)[M].北京:中國農(nóng)業(yè)出版社，2002.

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[10]Van Leer B. Towards the ultimate conservation difference scheme[J]. Journal of Computational Physics,1997,135(2):229-248.

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[13]郭維東，裴國霞，韓會玲.水力學(xué)[M].北京:中國水利水電出版社，2005.

[14]倪漢根，王嘉松.線性雙曲型方程新的TVD格式[J].計算物理,1999,16(1):25-30.

[15]胡四一，譚維炎.用TVD格式預(yù)測潰壩洪水波的演進[J].水利學(xué)報，1989，(7):1-11.

NewStudyonNumericalSimulationofWaterHammerWavesofHydropowerStationswithTVDScheme

FAN Xiao-dan1,LIU Han-sheng1,DONG Yu1,ZHANG Dan2

(1.CollegeofWaterResourcesandArchitecturalEngineering,NorthwestA&FUniversity,Yangling,Shaanxi712100,China;2.HubeiWaterResourcesResearchInstitute,Wuhan,Hubei430070,China)

Abstract:The numerical simulation of water hammer waves in pressure pipes of hydropower stations is very important. Its calculation method has always been a key research issue. TVD scheme is a new method to simulate water hammer waves with its strength in simulating strong discontinutity problems. The limiter function which possesses four different forms is the essence of the scheme. Here,they were applied to the water hammer equation to simulate the variations of surge pressure when the valve suddenly closed. In order to discuss the effect that the type of limiter function had on the results of water hammer waves’numerical simulation with TVD scheme,the results of numerical simulation were compared with that of the analytical solutions. It indicates that the calculations of TVD scheme with four limiter functions can avoid numerical oscillations at discontinuity point. The TVD scheme with Superbee limiter fountion has the highest resolution and it is recommended for simulating water hammer waves of hydropower stations.

Keywords:limiter fountion;TVD scheme;numerical simulation;numerical oscillations;water hammer

DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2014.05.038

中圖分類號:TV131.61

文獻標識碼:A

文章編號:1672—1144(2014)05—0185—04

作者簡介:范曉丹(1992—)，女，河南南陽人，本科生，水利水電工程專業(yè)。通訊作者:劉韓生(1962—)，男，陜西韓城人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事水力學(xué)與水工建筑物方面的研究工作。

收稿日期:2014-05-07修稿日期:2014-06-01