一種準(zhǔn)零剛度隔振器的特性分析與實(shí)驗(yàn)研究

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(湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

近年來，很多學(xué)者通過正負(fù)剛度組合提出了具有QZS特性的隔振系統(tǒng)。在小幅振動(dòng)下，這種系統(tǒng)具有高靜剛度低動(dòng)剛度的特性，從而保證系統(tǒng)在小變形下固有頻率很小。最典型的代表是，Carrella等[1-9]將三個(gè)線性或非線性彈簧進(jìn)行組合通過參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到一種QZS系統(tǒng)，并進(jìn)行了一系列的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)分析。Platus[10]利用在軸向載荷作用下表現(xiàn)負(fù)剛度特性的縱向彎曲梁和線性彈簧，設(shè)計(jì)出一種QZS結(jié)構(gòu)。Robertson等[11]運(yùn)用高靜剛度低動(dòng)剛度理念，利用磁鐵彈簧實(shí)現(xiàn)了低頻隔振。Zhou等[12]通過并聯(lián)一個(gè)磁鐵彈簧與一個(gè)機(jī)械彈簧設(shè)計(jì)出一個(gè)高靜剛度低動(dòng)剛度的半主動(dòng)隔振系統(tǒng)。劉興天等[13]討論了滑動(dòng)梁與線形彈簧組成的QZS系統(tǒng)帶來的新特性。

現(xiàn)有的研究工作主要是關(guān)于QZS系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)理和理論分析的，很少有文獻(xiàn)涉及這方面的實(shí)驗(yàn)研究。為了評估其實(shí)際隔振性能，本文利用5個(gè)線性彈簧設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的QZS模型，并進(jìn)行了一系列的實(shí)驗(yàn)研究。首先，對所建模型進(jìn)行理論分析，展示其靜動(dòng)力學(xué)特性。然后通過實(shí)驗(yàn)研究，比較QZS模型與其相應(yīng)的線性系統(tǒng)在諧波激勵(lì)作用下的實(shí)際隔振性能，評估其實(shí)際隔振效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，QZS系統(tǒng)具有良好的隔振性能，尤其是在低頻帶，其隔振效果相當(dāng)顯著。

1 數(shù)學(xué)模型

本文所設(shè)計(jì)的QZS系統(tǒng)模型包括一個(gè)豎直彈簧和四個(gè)傾斜彈簧，其中，傾斜彈簧提供的負(fù)剛度抵消豎直彈簧提供的正剛度，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)(不考慮被隔振設(shè)備)所示。傾斜彈簧的一端與剛度為kv的豎直彈簧在E點(diǎn)連接，另一端分別鉸接在水平面上的A，B,C和D點(diǎn)，且四個(gè)傾斜彈簧具有相同的原長L0、剛度k0以及初始水平傾斜角θ0。假設(shè)力f作用在點(diǎn)E，方向向下。作用點(diǎn)E的初始位置在水平面ABCD的正上方h處，分別與點(diǎn)A，B,C和D水平相距a。當(dāng)一個(gè)大小合適的質(zhì)量塊置于系統(tǒng)上時(shí)，彈簧連接點(diǎn)E會被壓縮至平衡點(diǎn)O，此時(shí)，傾斜彈簧處于水平狀態(tài)，靜載完全由豎直彈簧支撐，系統(tǒng)演變?yōu)镼ZS系統(tǒng)。位置O是系統(tǒng)的靜平衡位置，在位置O附近系統(tǒng)具有高靜態(tài)剛度低動(dòng)態(tài)剛度，所以研究系統(tǒng)在位置O附近的運(yùn)動(dòng)是非常有意義的。

根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，建立其在靜載作用下處于平衡位置的實(shí)驗(yàn)裝置模型圖，如圖1(b)所示。四個(gè)支柱被固定在支撐板上，傾斜彈簧的一端與支柱鉸接，另一端與導(dǎo)桿鉸接。導(dǎo)桿由豎直彈簧支撐，可以在支撐板上的孔中自由滑動(dòng)。承載平臺固定在導(dǎo)桿的頂端，用于安裝被隔振質(zhì)量。為了避免彈簧被壓縮時(shí)彎曲失穩(wěn)以及由于各部件間的摩擦而導(dǎo)致系統(tǒng)過阻尼，每個(gè)彈簧都設(shè)有導(dǎo)桿和直線軸承。

1.靜載 2.承載平臺 3.傾斜彈簧 4.導(dǎo)向裝置 5.支柱 6.豎直彈簧 7.支撐板 8.線性軸承 9.導(dǎo)桿

1.1 組合剛度分析

為了減小設(shè)計(jì)難度，模型所用彈簧都是線性的。由于傾斜放置的彈簧使系統(tǒng)具有幾何非線性，所以圖1所示的QZS模型是個(gè)非線性系統(tǒng)，其非線性由幾何參數(shù)a和h決定。假設(shè)坐標(biāo)x定義為點(diǎn)E從初始位置開始在豎直方向上的位移，那么如圖1(a)所示，系統(tǒng)在外力f作用下產(chǎn)生位移x，二者的關(guān)系可表示為

(1)

如果坐標(biāo)y定義為點(diǎn)E從位置x=h也就是靜平衡位置開始在豎直方向上的位移，那么，式(1)可以表示為

(2)

將力與位移的關(guān)系式(2)無量綱化為

(3)

(4)

圖2 當(dāng)=0.8時(shí)，對于不同的α，系統(tǒng)的無量綱曲線

(5)

圖3 當(dāng)時(shí)，QZS系統(tǒng)曲線

(6)

則QZS系統(tǒng)剛度的近似表達(dá)式為：

(7)

1.2 QZS系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

從前面的分析可知，QZS系統(tǒng)在其靜平衡位置附近剛度很小。為了保證質(zhì)量m的被隔振設(shè)備放于QZS系統(tǒng)上時(shí)，傾斜彈簧剛好被壓縮到水平位置，靜載完全由被壓縮的豎直彈簧支撐，即系統(tǒng)處于靜平衡位置，那么，設(shè)備質(zhì)量m要滿足條件：

f=kvh=mg?m=kvh/g

(8)

式中，kv滿足式(5)，以保證系統(tǒng)具有QZS。

圖4 承載質(zhì)量m的QZS系統(tǒng)等效模型

在實(shí)驗(yàn)中，如圖4所示，考慮阻尼c的影響，被隔振質(zhì)量m使QZS系統(tǒng)剛好處于靜平衡位置。在簡諧激勵(lì)f=Fcosωt作用下，系統(tǒng)在其平衡位置附近做小幅振動(dòng)。若其彈性恢復(fù)力用三階近似表達(dá)式代替，系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)方程可如下所示：

(9)

從運(yùn)動(dòng)方程(9)式可以看出，QZS系統(tǒng)是一個(gè)缺少線性項(xiàng)的達(dá)芬系統(tǒng)。

2 傳遞率

接下來主要分析系統(tǒng)的幅頻特性、力傳遞率以及阻尼和激勵(lì)幅值對傳遞率的影響。

(10)

(11)

(12)

從(12)式可以看出，傳遞到基礎(chǔ)上的力同樣依賴于響應(yīng)幅值A(chǔ)、阻尼比ζ、剛度γ以及激勵(lì)頻率Ω。傳遞率定義為傳遞到基礎(chǔ)的力的幅值與激勵(lì)力幅值之比，那么傳遞率T：

(13)

阻尼比對力傳遞率的影響如圖5所示。從中可以看出，阻尼比對系統(tǒng)的振動(dòng)衰減性能很敏感。當(dāng)阻尼比ζ=0.01時(shí)，系統(tǒng)存在跳躍現(xiàn)象，傳遞率曲線在很大程度上向右彎曲，這表明阻尼比過小時(shí)衰減結(jié)果并不理想。當(dāng)阻尼比ζ=0.15時(shí)，共振區(qū)附近的振動(dòng)顯著減小，衰減頻域被拓寬，但是高頻區(qū)的衰減效果變差。當(dāng)阻尼比ζ=0.4時(shí)，跳躍現(xiàn)象消失，振動(dòng)衰減情況與上述類似，低頻區(qū)隔振效果顯著，而代價(jià)是高頻區(qū)的隔振效果更差。從上述可見，隨著阻尼比的增大，跳躍區(qū)間[8]逐漸減小，當(dāng)跳下頻率等于跳上頻率即跳躍區(qū)間等于零時(shí)，跳躍現(xiàn)象消失，此時(shí)的阻尼比即為臨界阻尼比。只要系統(tǒng)阻尼比大于其臨界阻尼比，系統(tǒng)中就不會再出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

圖5 當(dāng)γ=5，=0.1時(shí)，阻尼比ζ對系統(tǒng)力傳遞率的影響

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了評估所設(shè)計(jì)的QZS系統(tǒng)的隔振性能，開展了一系列的實(shí)驗(yàn)工作。首先介紹實(shí)驗(yàn)設(shè)備及其安裝過程，然后展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果及結(jié)果分析。

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

QZS系統(tǒng)的試驗(yàn)裝置如圖8所示，其相應(yīng)的參數(shù)如表1所示。表1中的參數(shù)可以用來驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)是否存在QZS特性。圖7給出了實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谄淦胶馕恢酶浇膭偠惹€。從中可以看出，在靜平衡位置系統(tǒng)具有零剛度特性。

表1 實(shí)驗(yàn)裝置的物理參數(shù)

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置照片

QZS系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置照片如圖8所示。被隔振質(zhì)量塊由豎直彈簧支撐。在質(zhì)量塊的正上方裝有一個(gè)由功率放大器(型號HEA-200C)驅(qū)動(dòng)的激振器(型號HEV-200)，此激振器用于提供豎向的激振力。在質(zhì)量塊與激振器之間，裝有一個(gè)用于測量激振力的力傳感器(型號208C02)。另一個(gè)力傳感器(型號208C02)安裝在QZS裝置支撐板的下面，用于測量振動(dòng)過程中被傳遞到基礎(chǔ)上的力。由于阻尼對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為比較敏感，所以QZS系統(tǒng)的試驗(yàn)裝置進(jìn)行了多次修改以減小各運(yùn)動(dòng)部件間的摩擦。導(dǎo)桿可以通過線性軸承順利地滑動(dòng)。由ECON公司制造的數(shù)據(jù)采集與分析儀(型號AVANT-MI-6008)，用于采集傳感器的輸入輸出信號。一臺電腦用于處理整個(gè)測量系統(tǒng)的I/O數(shù)據(jù)操作。

3.2 隔振性能評估

本節(jié)用試驗(yàn)評估QZS系統(tǒng)的隔振性能。隔振性能用力傳遞率來評估，即傳遞至基礎(chǔ)的力與激勵(lì)力的有效值之比。將撤去傾斜彈簧后的線性系統(tǒng)作為對比隔振系統(tǒng)。外部激勵(lì)力由激振器提供，直接作用在質(zhì)量塊上，激勵(lì)頻率帶寬從0.5 Hz到20 Hz。

在介紹實(shí)驗(yàn)結(jié)果之前，有關(guān)實(shí)驗(yàn)操作中的幾個(gè)問題需要加以說明。首先，與線性系統(tǒng)不同，QZS系統(tǒng)的傳遞率受激勵(lì)力幅值的影響，為了使線性系統(tǒng)與QZS系統(tǒng)之間傳遞率的比較有意義，實(shí)驗(yàn)中兩者的激勵(lì)條件應(yīng)保持一致。

第二，選擇既適合線性系統(tǒng)又適合QZS系統(tǒng)的激勵(lì)力是不容易的。為了防止實(shí)驗(yàn)裝置被損壞，對于線性系統(tǒng)而言在其共振區(qū)附近采用較小的激勵(lì)力是非常必要的。然而對于QZS系統(tǒng)而言卻不能采用同樣的激勵(lì)力，具體原因會在下面詳述。由振動(dòng)理論可知，在線性系統(tǒng)中傳遞到基礎(chǔ)的力與激勵(lì)力是成正比的。所以，為了使兩系統(tǒng)之間被傳遞到基礎(chǔ)的力的比較有意義，將線性系統(tǒng)傳遞至基礎(chǔ)的力乘以一個(gè)放大因子，即QZS系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的激勵(lì)力幅值之比。

第三，為了展示QZS系統(tǒng)良好的隔振效果，選擇大小合適的激振力是非常必要的。雖然仿真結(jié)果沒有揭示，但實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果卻一再表明，QZS系統(tǒng)的優(yōu)良的隔振性能對小振幅振蕩是不敏感的。這是因?yàn)樵谛≌穹駝?dòng)中，QZS系統(tǒng)的負(fù)剛度因素沒有發(fā)揮重要作用。因此，在小幅振動(dòng)狀態(tài)下，QZS系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的隔振性能差異很小，而在大振幅振動(dòng)狀態(tài)下，大位移范圍內(nèi)QZS系統(tǒng)的正負(fù)剛度互相抵消，呈現(xiàn)出良好的隔振效果。值得一提的是，一般而言，較大激勵(lì)力對應(yīng)較大振幅響應(yīng)，但在接近共振區(qū)和低頻區(qū)域，小激勵(lì)力也可以引起相對大的振幅，所以這里提到的大振幅并不對應(yīng)大激勵(lì)力?？蓞⒁姳?中，激勵(lì)力幅值隨著頻率增加逐漸變大。

最后需要指出的是，在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中保持恒定的激勵(lì)力是非常困難的。在激勵(lì)力的作用下，系統(tǒng)在不同頻率帶的響應(yīng)是不同的。在低頻帶，為了防止實(shí)驗(yàn)裝置被損壞，選擇較小的激勵(lì)力。所以在實(shí)驗(yàn)過程中，系統(tǒng)在低頻帶的激勵(lì)力是漸變的，一旦系統(tǒng)的振動(dòng)處于安全范圍之內(nèi)，后續(xù)頻域內(nèi)的激勵(lì)力幅值就設(shè)定在一個(gè)恒定值。

表2 實(shí)驗(yàn)所用正弦激勵(lì)信號的頻率和有效值

在實(shí)驗(yàn)中，設(shè)計(jì)兩組不同的激勵(lì)力進(jìn)行測試，其目的是為了測試QZS系統(tǒng)在不同激勵(lì)力下的隔振性能，測試所用的激勵(lì)頻率及其相應(yīng)的激勵(lì)力如表2所示。從中可以看出，在低頻帶激勵(lì)力從小到大逐漸增加，第一組激勵(lì)力在頻率達(dá)到4 Hz以后一直保持在20 N，第二組在頻率達(dá)到5.5 Hz以后一直保持在30 N。激勵(lì)信號是正弦的，表2中給出的激勵(lì)力都是力的有效值(力的均方根值)。

圖9展示了系統(tǒng)在不同激勵(lì)力作用下的傳遞率。在每組實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，帶點(diǎn)的實(shí)線表示的是QZS系統(tǒng)，帶圓圈的虛線表示的是線性系統(tǒng)。從圖中可以看出：第一，線性系統(tǒng)在大約3 Hz時(shí)達(dá)到共振峰值，而QZS系統(tǒng)沒有出現(xiàn)共振；第二，QZS系統(tǒng)的有效衰減(傳遞率小于1)是從0.5 Hz開始的，而線性系統(tǒng)是從大約4.2 Hz開始的，這就意味著QZS系統(tǒng)非常有效地延長了隔振區(qū)間；第三，在0.5 Hz到10 Hz的低頻帶，QZS系統(tǒng)的傳遞率比線性系統(tǒng)低很多，特別是在線性系統(tǒng)的共振峰附近，而在高頻帶，QZS系統(tǒng)的隔振性能與線性系統(tǒng)幾乎相當(dāng)。綜上所述，QZS系統(tǒng)非常適用于低頻隔振。

前面的理論分析已經(jīng)指出QZS系統(tǒng)對阻尼是敏感的。也就是說從理論上來講，QZS系統(tǒng)有一個(gè)彎曲共振峰，但是只要系統(tǒng)阻尼大于其臨界阻尼就能使共振峰消失，如前面圖5所示。所以在實(shí)驗(yàn)時(shí)，彎曲共振峰的消失使系統(tǒng)不再共振，這是所提出系統(tǒng)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié) 論

本文提出了一種由5個(gè)線性彈簧并聯(lián)組成的QZS隔振裝置，推導(dǎo)了靜平衡位置處的零剛度條件。利用諧波平衡法得到了力傳遞率表達(dá)式。理論分析表明：隨著阻尼的增加和激勵(lì)幅值的減小，傳遞率共振峰值逐漸減小。

通過試驗(yàn)研究評估了QZS系統(tǒng)的隔振特性。結(jié)果表明，在低頻范圍內(nèi)，QZS系統(tǒng)的隔振性能明顯優(yōu)于相應(yīng)的線性系統(tǒng)，但在高頻范圍內(nèi)，其隔振性能與線性系統(tǒng)相當(dāng)。這表明QZS系統(tǒng)更適用于低頻隔振。此外，在實(shí)驗(yàn)中觀察到，QZS系統(tǒng)的隔振性能依賴于振動(dòng)幅值，只有在一定的大振幅振動(dòng)狀態(tài)下，QZS系統(tǒng)才能表現(xiàn)出優(yōu)良的隔振性能。

[1]Carrella A, Brennan M J, Waters T P. Static analysis of a passive vibration isolator with quasi-zero-stiffness characteristic[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007,301 (3-5):678-689.

[2]Carrella A, Brennan M J, Waters T P. Optimization of a quasi-zero-stiffness isolator[J].Journal of Mechanical Science and Technology, 2007, 21 (6): 946-949.

[3]Carrella A, Brennan M J, Waters T P, et al. On the design of a high-static-low-dynamic stiffness isolator using linear mechanical springs and magnets[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008,315 (3):712-720.

[4]Carrella A, Brennan M J, Waters T P. Optimization of a passive vibration isolator with Quasi-Zero-Stiffness characteristic, university of southampton[M]. Institute of Sound and Vibration Research, Dynamics Group, 2006.

[5]Carrella A, Brennan M J, Kovacic I, et al. On the force transmissibility of a vibration isolator with Quasi-Zero-Stiffness[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009,322 (4-5):707-717.

[6]Kovacic I, Brennan M J, Waters T P. A study of a nonlinear vibration isolator with a quasi-zero stiffness characteristic[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008,315 (3):700-711.

[7]Kovacic I, Brennan M J, Lineton B. Effect of a static force on the dynamic behavior of a harmonically excited quasi-zero stiffness system[J].Journal of Sound and Vibration, 2009,325 (4-5): 870-883.

[8]Brennan M J, Kovacic I, Carrella A, et al. On the jump-up and jump-down frequencies of the Duffing oscillator[J].Journal of Sound and Vibration, 2008,318 (4-5) 1250-1261.

[9]Gatti G, Kovacic I, Brennan M J. On the response of a harmonically excited two degree-of-freedom system consisting of a linear and a nonlinear quasi-zero stiffness oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010,329 (10) 1823-1835.

[10]Platus D L. Negative-stiffness-mechanism vibration isolation systems[J]. Proceedings of SPIE-the International Society for Optical Engineering, 1999,3786: 98-105.

[11]Robertson W S, Kidner M R F, Cazzolato B S, et al., Theoretical design parameters for a quasi-zero stiffness magnetic spring for vibration isolation[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009,326 (1-2):88-103.

[12]Zhou N, Liu K. A tunable high-static-low-dynamic stiffness vibration isolator[J].Journal of Sound and Vibration 2010,329 (9):1254-1273.

[13]劉興天，張志誼，華宏星.新型低頻隔振器的特性研究[J].振動(dòng)與沖擊，2012,31(5):161-164.

LIU Xing-tian, ZHANG Zhi-yi, HUA Hong-xing. Characteristics of a novel low-frequency isolator [J], Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(5):161-164.