數(shù)值重構(gòu)研究重力壩動(dòng)力模型試驗(yàn)可靠性

王銘明，陳健云 ，范書立

(1.昆明理工大學(xué) 電力工程學(xué)院，昆明 650500；2.大連理工大學(xué) 海岸與近海國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

經(jīng)過了汶川大地震，混凝土壩在強(qiáng)震下具有多高的抗震性能我們還不明確。地震的不確定性，大壩的復(fù)雜性，缺少高壩強(qiáng)震破壞的實(shí)例，不甚了解結(jié)構(gòu)的破壞形式以及震害特點(diǎn)，使目前大壩抗震設(shè)計(jì)相當(dāng)程度上仍依賴于傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)，尤其建于強(qiáng)震區(qū)的高混凝土壩，可能隱含較大的風(fēng)險(xiǎn)[1-2]。

對(duì)于高混凝土壩抗震性能的研究，需要解決非線性破壞演變過程、失效模式以及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等方面的問題[3]。但由于理論分析中很多問題沒有很好的解決而需要對(duì)壩體做一定的簡(jiǎn)化處理，在強(qiáng)震作用下發(fā)生震害的部位、破壞形態(tài)以及裂縫擴(kuò)展范圍、計(jì)算模型的合理性和精度難以驗(yàn)證。所以，在現(xiàn)有數(shù)值模型和分析方法的精度及可靠性無法得到準(zhǔn)確評(píng)估[4]，并在缺乏實(shí)際地震破壞監(jiān)測(cè)資料的前提下，模型試驗(yàn)成為了解高壩動(dòng)力響應(yīng)、地震破壞形態(tài)以及驗(yàn)證數(shù)值分析方法的一種重要手段[5-8]。但因環(huán)境因素及邊界條件等許多因素的影響，模型試驗(yàn)也有局限性。振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)技術(shù)涉及到相似理論、模型材料、測(cè)試技術(shù)等各個(gè)方面，要保持振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中模型與原型間的完全相似十分困難，大多情況下只能基于不完全相似技術(shù)或相似技巧進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，這種簡(jiǎn)化的分析對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響并不十分明確，因此，對(duì)于高混凝土壩的振動(dòng)臺(tái)模型破壞試驗(yàn)還有很多方面需要進(jìn)一步深入研究和探討[9-11]。

動(dòng)力破壞模型試驗(yàn)時(shí)，為了使結(jié)構(gòu)的變形過程相似，必須在模型中模擬全部荷載，包括各種靜力荷載和動(dòng)力荷載[12]，表征材料力學(xué)性能及變形特性的參數(shù)增加，表征材料非線性特性的各參變量之間必須滿足一定的相似關(guān)系。這不但要求材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線相似，還要保證損傷累積曲線、斷裂特性等相似，模型材料研制上雖取得很大進(jìn)展，但完全滿足這些要求是非常困難的事情?，F(xiàn)階段所采用的模型材料與原型混凝土的軸心受壓變形曲線大體“相似”，但兩者的彈性模量及強(qiáng)度都存在差異，在極限點(diǎn)、臨界點(diǎn)、峰值點(diǎn)、反彎點(diǎn)及收斂點(diǎn)也并不完全保持一定的比尺[13]，尤其在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段，仿真混凝土材料與普通混凝土相差較大。若要在時(shí)程地震分析中嚴(yán)格模擬壩體的非線性，則必須依據(jù)壩體結(jié)構(gòu)反應(yīng)的變形量使用不同的彈性模量，這需要在試驗(yàn)中實(shí)時(shí)改變相似律，振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)中再現(xiàn)這一設(shè)想顯然是及其困難的。因此仿真模型材料的力學(xué)性能以及用于大體積混凝土模型動(dòng)力破壞試驗(yàn)的可行性還需要試驗(yàn)及數(shù)值分析的進(jìn)一步驗(yàn)證。另一方面，目前大多數(shù)模型試驗(yàn)中所采用的仿真模型材料與普通混凝土的應(yīng)變比尺并不為1。已有研究表明[14]，在線彈性試驗(yàn)中應(yīng)變比尺不為1，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果并沒有影響，但是在高混凝土壩的非線性動(dòng)力破壞模型試驗(yàn)中，應(yīng)變比尺不為1，對(duì)結(jié)構(gòu)破壞形態(tài)的影響究竟有多大并不明確，有待于在理論及試驗(yàn)上對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

本文基于仿真模型材料特性，通過數(shù)值分析重構(gòu)模型試驗(yàn)。數(shù)值分析了完全相似及非完全相似模型的試驗(yàn)過程，將兩種模型的數(shù)值結(jié)果與原型數(shù)值結(jié)果相比較，確定非完全相似理論在非線性動(dòng)力破壞模型試驗(yàn)中的可行性，以及確定模型試驗(yàn)中控制參數(shù)的選擇及非主要參數(shù)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。數(shù)值仿真與動(dòng)力模型試驗(yàn)混合對(duì)比研究試驗(yàn)可靠性的思路如下圖1所示。

圖1 數(shù)模-物?；旌显囼?yàn)研究思路

1 非完全相似定律的推導(dǎo)

在仿真動(dòng)力破壞模型試驗(yàn)中，由于模型材料的物理力學(xué)特性及試驗(yàn)設(shè)備的限制，很難做到試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c原型完全非線性相似?；炷聊Ｐ筒牧虾茈y滿足重力相似律要求的模量及強(qiáng)度比尺之間的關(guān)系，峰值應(yīng)變比尺通常也不為1。我們稱應(yīng)變比尺不為1的相似定律為非完全相似定律?，F(xiàn)對(duì)非完全相似理論(λε≠1)進(jìn)行推導(dǎo)。

1.1 動(dòng)力模型相似條件

(1) 幾何相似條件

模型試驗(yàn)時(shí)，要求模、原型各部位幾何尺寸保持一定的相似比例關(guān)系。根據(jù)物體受荷時(shí)變形滿足幾何方程ε=u/l，可知幾何相似關(guān)系為：

λu=λελl

(1)

式中，λ代表相似比尺，下表u，ε，l分別代表材料的位變、應(yīng)變及幾何長(zhǎng)度。

(2) 物理相似條件

物體受荷時(shí)因材料特性而發(fā)生變化反應(yīng)的性質(zhì)必須相似叫做物理相似條件，也就是模型試驗(yàn)時(shí)表征材料性質(zhì)的彈模E、剪切模量G、密度ρ、泊松比μ、阻尼ξ及應(yīng)力狀態(tài)等都要滿足相似關(guān)系?？捎蓮椥粤W(xué)物理方程σ=Dε推出相似比尺：

λσ=λEλε,λτ=λGλε

(2)

泊松比為無量綱量，相似比尺λμ應(yīng)為1，試驗(yàn)時(shí)模型材料不一定能滿足要求。為研究試驗(yàn)結(jié)果的可靠性，文中第3節(jié)會(huì)對(duì)泊松比相似與阻尼相似的影響作進(jìn)一步探討。

1.2 非完全相似定律

(1) 彈性相似律

(3)

(4)

式(3)為時(shí)間比尺的通用形式，與變形比尺λu無關(guān)，同時(shí)與應(yīng)變比尺λε無關(guān)，因此當(dāng)應(yīng)變比尺不為1時(shí)，可應(yīng)用式(2)就得應(yīng)力比尺。

(2)重力相似率

(5)

(3) 彈性-重力相似

對(duì)于動(dòng)力模型試驗(yàn)需要同時(shí)滿足重力相似與彈性相似，由式(3)、式(5)得出：

(6)

式(6)中應(yīng)變比尺λε≠1，因此不能約去，為非完全彈性-重力相似律。在動(dòng)力破壞模型試驗(yàn)中，通常模型材料的峰值應(yīng)變比尺不為1，因此還需要對(duì)非完全相似模型材料的損傷累積曲線、斷裂特性等相似條件進(jìn)行研究。

1.3 破壞模型的相似理論

(1) 內(nèi)力-慣性力-面力相似

對(duì)于彈性模型試驗(yàn)，可用疊加原理將各種荷載逐一施加。在進(jìn)行破壞模型試驗(yàn)時(shí)，材料進(jìn)入非線性階段疊加原理不再有效，因此為使結(jié)構(gòu)變形過程相似，必須在模型上同時(shí)施加靜力及動(dòng)力全部荷載，需要滿足內(nèi)力-慣性力-面力相似：

(7)

(2) 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系相似

材料在彈性范圍時(shí)可以用彈性模量來表征應(yīng)力-應(yīng)變特性。但材料進(jìn)入非線性后彈性模量實(shí)時(shí)改變，要表達(dá)結(jié)構(gòu)變形破壞過程相似就必須保持原、模型材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線相似：

(8)

不同應(yīng)變率時(shí)，材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線不同，因此，

(9)

式(9)中σp(εi,Tip)表示在原型中以某一加載速率下材料破壞與應(yīng)變相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力。Tpi與Tmi還應(yīng)滿足時(shí)間比尺關(guān)系。

(3) 斷裂韌度相似

進(jìn)行破壞模型試驗(yàn)時(shí)，要保持原、模型之間斷裂破壞特性相似，需要模型材料的斷裂韌度Kσ與原型混凝土滿足相似關(guān)系：

(10)

1.4 簡(jiǎn)化混凝土材料破壞模型試驗(yàn)的相似理論

對(duì)于混凝土材料，上一小節(jié)破壞模型的相似理論分析中，(1) 內(nèi)力-慣性力-面力相似和(3)斷裂韌度相似通過調(diào)整模型材料配比、調(diào)整荷載或配重的方法是可以做到的，但對(duì)于(2)應(yīng)力-應(yīng)力曲線或累積損傷曲線相似是很難做到的?；炷潦谴嘈圆牧希_(dá)到拉壓峰值強(qiáng)度時(shí)，相似應(yīng)力-應(yīng)變比尺關(guān)系：λσ=λEλε仍然成立。若將原型混凝土與模型材料的本構(gòu)關(guān)系均簡(jiǎn)化為下降段為理想的線性應(yīng)變軟化模型[15]，這樣，試驗(yàn)時(shí)模型材料損傷前仍為彈性，盡管應(yīng)變比尺不為1，在上升段應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系比尺依然成立。這要就滿足的最大應(yīng)力相似比尺：

(11)

式中：上標(biāo)p，m分別代表原、模型，下標(biāo)max代表最大值。

要做到下降段的割線彈模、應(yīng)力、應(yīng)變等比尺依然滿足相似條件是很困難的，但可采用斷裂特性表征原、模型材料軟化的相似條件，可以得出與原型相似的模型損傷的試驗(yàn)結(jié)果。因此，通過追求原、模型材料斷裂形態(tài)及斷裂特性的相似，可以解決原、模型材料本構(gòu)關(guān)系下降段難以完全相似的問題。很多模型材料的破壞形態(tài)與混凝土十分相似；要保證斷裂特性相似則可從斷裂韌度[16]和斷裂能密度[17]兩方面分析。原、模型材料斷裂韌度滿足式(10)即可；如圖2所示，斷裂能密度可由下面公式求得：

(12)

動(dòng)力破壞模型試驗(yàn)時(shí)應(yīng)滿足斷裂能密度比尺λGf：

λGf=λσλε

(13)

把模型材料本構(gòu)關(guān)系上升段認(rèn)為是線彈性的，那么要使其下降段滿足斷裂能比尺式(12)，可以通過在模型材料配比中添加塑性成分調(diào)節(jié)，如橡膠粉，粘土、膨潤(rùn)土等。

圖2 非完全相似定律下原型和模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

2 原-模型壩體非完全相似的數(shù)值分析

對(duì)Koyna重力壩分別進(jìn)行了原型、完全相似模型及不完全相似模型的彈塑性損傷地震響應(yīng)分析。模型試驗(yàn)中，由于振動(dòng)臺(tái)尺寸及承載能力的限制，壩體模型尺寸一般不會(huì)很大，模型中不包括地基部分，因此本數(shù)值模型也不包括地基部分。其中，原型壩體高度為103 m，基底寬度為70 m，上游迎水面為直立壩面，地震時(shí)蓄水位為91.74 m；原型的彈模E=2.3 GPa，泊松比μ=0.17，單軸抗壓強(qiáng)度fck=24.1 MPa、抗拉強(qiáng)度ftk=2.0 MPa，密度ρ=2 500，斷裂能Gf=120 N/m，動(dòng)態(tài)強(qiáng)度因子d=1.3；計(jì)算時(shí)，忽略了壓損傷破壞，采用Koyna地震中記錄的順河向及豎直向加速度分量作為輸入地震波，如圖3。

完全相似模型與原型的各個(gè)相似比尺為：幾何比尺λl=100，彈模比尺λE=100，應(yīng)變比尺λε=1，應(yīng)力比尺λσ=100，泊松比比尺λμ=1，密度比尺λρ=1，時(shí)間比尺λt=10，斷裂韌度比尺λKσ=1 000；

以大連理工大學(xué)研制的仿真混凝土材料[18-19]為例確定非完全相似模型的各種相似比尺。由于仿真模型材料特性決定密度比尺λρ=0.83，應(yīng)變比尺λε=2，確定模型的幾何比尺λl=100后，根據(jù)非完全相似理論得出彈模比尺λE=166.67，應(yīng)力比尺λσ=83.33，時(shí)間比尺λl=7.07，斷裂韌度比尺λKσ=833.33。

2.1 頻率分析

對(duì)上文介紹的三種模型進(jìn)行模態(tài)分析，得出每種模型前4階頻率及振型，分別見表1及圖4。由表1可知，完全相似模型及非完全相似模型的前4階頻率，與原型相應(yīng)頻率的關(guān)系均完全滿足式(4)。圖4可以看出，兩種模型前4階振型與原型前4階振型幾乎沒有區(qū)別，沿壩高的動(dòng)力響應(yīng)的放大倍數(shù)也相同。這說明無論當(dāng)應(yīng)變比尺是否為1，模型的振動(dòng)特性都是滿足相似關(guān)系的。

在數(shù)值分析中，由于非完全相似模型的密度比尺和應(yīng)變比尺都不等于1，根據(jù)式(6)，得出彈模比尺較完全相似模型小，所以，模態(tài)分析時(shí)非完全相似模型的頻率較較完全相似模型的小，但是這種變小的頻率仍是滿足非完全相似比尺的，因此非完全相似模型的振型與原型也是相同的。

表1 原型、完全相似模型及非完全相似模型的前四階頻率

圖3 水平和豎直向地震加速度時(shí)程圖

2.2 應(yīng)力及損傷分析

圖5給出了Koyna大壩原型、完全相似模型及非完全相似模型在地震作用下壩體內(nèi)部最大拉應(yīng)力的包絡(luò)圖?？梢钥闯觯耆嗨颇Ｐ惋@示的最大拉應(yīng)力與原型計(jì)算的結(jié)果在分布上幾乎完全一致，都是在壩體頸部上下游面出現(xiàn)很大的拉應(yīng)力分布，達(dá)到了材料的抗拉強(qiáng)度值；壩踵部位的拉應(yīng)力分布也較大；在數(shù)值上完全滿足應(yīng)力比尺(λσ=100)的關(guān)系；非完全相似模型與前兩者的最大拉應(yīng)力在分布上雖有所差別，但是在壩體振動(dòng)的關(guān)鍵部位主拉應(yīng)力的分布以及最大拉應(yīng)力出現(xiàn)位置與它們是一致的，根據(jù)非完全相似的應(yīng)力比尺(λσ=83.333)，非完全相似模型與原型的主拉應(yīng)力值也是滿足相似要求的。

在地震作用下，壩體原型及兩種大縮尺相似模型內(nèi)部拉損傷演化，如圖6所示。從三種數(shù)值模型的損傷發(fā)展過程可知，完全相似模型的損傷發(fā)展過程是幾乎完全以至于壩體原型的，各個(gè)部位開裂的時(shí)間點(diǎn)也是完全符合時(shí)間比尺(λt=10)的。壩體原型在t=2.932 s時(shí)刻下游折坡位置首先開裂，并向上游延伸；緊接著t=3.142 s時(shí)刻壩踵部位開裂，t=4.562 s時(shí)刻與下游裂縫相對(duì)應(yīng)的上游部位發(fā)生開裂；最終地震結(jié)束時(shí)壩體頸部裂縫貫穿，如圖6(prototype)；非完全相似模型的損傷演化過程是首先在t=0.411 2 s時(shí)刻下游折坡位置出現(xiàn)裂縫，并向上游延伸；在t=0.439 8 s時(shí)刻壩踵開裂；t=0.369 6時(shí)刻與下游裂縫相對(duì)應(yīng)的上游部位出現(xiàn)向下游延伸的裂縫；最終模型壩體頸部被裂縫貫穿，如圖6(model(ε≠1))。雖然非完全相似模型各部位發(fā)生損傷的時(shí)刻較完全相似模型略有滯后，但其各個(gè)震害部位發(fā)生開裂的順序是一致的，開裂的時(shí)間點(diǎn)也是符合非完全相似時(shí)間比尺(λt=7.07)的，模型壩體最終的損傷分布也是十分一致的，如圖6(model(ε=1))與圖6(model(ε≠1))。

圖4 原型、完全相似模型及非完全相似模型的前四階振型

已有文獻(xiàn)指出[14]，在非線性損傷模型試驗(yàn)中，如果原、模型材料的應(yīng)變比尺不等于1，完全相似理論將不再適用。從大壩原型、完全相似模型及非完全相似模型數(shù)值計(jì)算的各種結(jié)果可以看出，在材料應(yīng)變比尺不等于1的模型試驗(yàn)中，采用非完全相似定律，并通過調(diào)節(jié)模型材料配比使其本構(gòu)曲線下降段不至于過陡，保證其斷裂韌度或斷裂能滿足一定的相似要求，就可以應(yīng)用不能完全滿足所有相似關(guān)系的模型材料來進(jìn)行仿真動(dòng)力模型破壞試驗(yàn)，并可得到準(zhǔn)確可靠的試驗(yàn)結(jié)果。

表2 原型、完全相似模型及非完全相似模型的最大應(yīng)力及開裂時(shí)刻

圖5 地震作用下原型、完全相似模型及非完全相似模型的最大拉應(yīng)力的包絡(luò)圖

圖6 地震作用下原型、完全相似模型及非完全相似模型拉損傷的演化

3 其他相似比尺的進(jìn)一步研究

3.1 泊松比比尺的影響

事實(shí)上，試驗(yàn)時(shí)所用模型材料與原型混凝土的泊松比還是有一定差別的。大連理工大學(xué)研制的仿真模型材料的泊松比與常態(tài)混凝土有所不同，約為0.2。對(duì)非完全相似模型的泊松比去取0.2進(jìn)行模態(tài)分析得前4階頻率分別為19.09 Hz、48.285 Hz、76.359 Hz、92.714 Hz，與泊松比比尺λμ=1時(shí)的非完全相似模型基頻的差別在0.1%以內(nèi)，高階頻率的差別也在0.5%以內(nèi)；前4階振型如圖7所示。看圖可知，計(jì)算得非完全相似模型壩體的前4階振型與前文μ=0.17的模型振型結(jié)果幾乎沒有區(qū)別；高階振型沿壩高動(dòng)力響應(yīng)的放大倍數(shù)有微小不同，可以忽略。可見，采用泊松比為0.2的模型材料進(jìn)行動(dòng)力模型試驗(yàn)不會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生不良影響。關(guān)于這點(diǎn)，文獻(xiàn)[13-14]也有明確說明，文獻(xiàn)[14]指出，泊松比在0.17～0.25時(shí)，泊松比比尺λμ=1不完全必要。

圖7 μ=0.2的非完全相似模型模態(tài)分析的前四階振型

3.2 阻尼比尺的影響

無論是結(jié)構(gòu)阻尼還是材料阻尼都會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生影響，但是迄今為止阻尼理論還有待于進(jìn)一步研究。目前的研究中粘滯阻尼與復(fù)剛度阻尼理論應(yīng)用的較為廣泛。根據(jù)量綱分析法，阻尼的量綱為mT-1，阻尼比η=ξ/2mω(ω為圓頻率)，所以原-模型阻尼比比尺λη=1。一般壩體結(jié)構(gòu)的阻尼比為2%～5%。本文計(jì)算中應(yīng)用了Rayleigh阻尼。由于Rayleigh阻尼的比例常數(shù)與結(jié)構(gòu)的各階頻率有關(guān)[20]：

(14)

式中：ξ為臨界阻尼比，一般取0.05；建議ωm取基頻，ωn取一個(gè)高階頻率。這樣，可以分別用原型或模型的頻率計(jì)算出相應(yīng)的Rayleigh阻尼。

4 結(jié) 論

通過理論推導(dǎo)，給出當(dāng)原、模型材料應(yīng)變比尺不為1的非完全相似定律，并提出針對(duì)模型材料本構(gòu)關(guān)系下降段的斷裂特性相似的處理技巧。根據(jù)大連理工大學(xué)研制仿真混凝土材料的特性，數(shù)值重構(gòu)了應(yīng)變比尺λε=2的非完全相似模型，與原型及完全相似模型的計(jì)算結(jié)果相比較發(fā)現(xiàn)：

(1) 非完全相似模型的各階頻率雖然與完全相似模型有所不同，但仍原型的相應(yīng)頻率保持很好的相似關(guān)系，其振型也與原型及完全相似模型的振型保持一致；

(2) 非完全相似模型壩體內(nèi)部最大拉應(yīng)力的分布與原型及完全相似模型雖略有差別，但壩體振動(dòng)的關(guān)鍵部位主拉應(yīng)力的分布是一致的，在數(shù)值上也滿足非完全相似應(yīng)力比尺的相似關(guān)系；

(3) 在地震中，非完全相似模型壩體內(nèi)部拉損傷發(fā)生的部位與原型及完全相似模型幾乎完全相同，在裂縫的發(fā)展演化過程上也嚴(yán)格滿足時(shí)間比尺的相似要求；

(4) 泊松比比尺不為1時(shí)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響分析表明，得出當(dāng)模型材料的泊松比由0.17變?yōu)?.2時(shí)，對(duì)模型前四階頻率及振型的影響不超過0.5%，這與從前的報(bào)道是一致的；本文計(jì)算中分別用臨界阻尼比及原、模型各自的頻率計(jì)算相應(yīng)的Rayleigh阻尼，從而解決動(dòng)力模型試驗(yàn)中阻尼相似要求的問題；

(5) 通過數(shù)值重構(gòu)模型試驗(yàn)與原型數(shù)值分析結(jié)果比較，表明盡管由于試驗(yàn)設(shè)備、試驗(yàn)條件的限制，對(duì)模型的設(shè)計(jì)進(jìn)行了某些簡(jiǎn)化，模型材料的特性雖不能完全滿足所有相似比尺的要求，但通過對(duì)模型材料的特殊處理，并采取一定的相似處理技巧是對(duì)得出相對(duì)穩(wěn)定可靠的試驗(yàn)結(jié)果是有幫助的。

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