階梯形水平井段等曲率雙圓弧形設(shè)計(jì)問題的解析解

魯 港， 陳崇斌

(1.中國石油遼河油田分公司勘探開發(fā)研究院，遼寧盤錦 124010；2.中國石油遼河油田分公司生產(chǎn)運(yùn)行處，遼寧盤錦 124010)

階梯形水平井是使用一個(gè)以上水平井段的井眼軌道，開發(fā)具有一定高度差的2個(gè)或多個(gè)層疊狀油氣藏，可以用一口井實(shí)現(xiàn)多層開采，達(dá)到2口甚至2口以上水平井的開發(fā)效果，從而降低鉆井成本，具有良好的開發(fā)效果和顯著的經(jīng)濟(jì)效益[1-3]。

階梯形水平井設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是水平井段的井眼軌道設(shè)計(jì)及優(yōu)化。劉修善[4]研究了二維和三維階梯形水平井段的軌道設(shè)計(jì)方法:二維模型采用“穩(wěn)斜+圓弧+圓弧+穩(wěn)斜”的軌道(圓弧曲率相等)，求解參數(shù)包括圓弧連接點(diǎn)處的井斜角以及穩(wěn)斜井段長度或圓弧曲率，給出了解析解的計(jì)算公式；三維模型用自然曲線替代圓弧，建立了四元非線性方程組，但并未介紹如何利用數(shù)值方法求解該方程組。劉巨保等人[5]使用圓柱螺線模型建立了2個(gè)水平井段之間的彎曲連接井段的三維模型，并使用數(shù)值迭代算法進(jìn)行求解,值得指出的是，井段坐標(biāo)增量和井斜角變化規(guī)律都符合圓柱螺線模型，但方位角是隨井深線性變化的，這與圓柱螺線模型中方位角變化規(guī)律不相符，因此計(jì)算結(jié)果的合理性值得商榷。閆鐵等人[6]建立了以鉆井成本或軌道總長為目標(biāo)的非線性約束優(yōu)化模型，并使用罰函數(shù)法求其近似解。

階梯形水平井段一般采用“水平段+彎曲段+彎曲段+水平段”的軌道，其中彎曲段可以是圓弧，也可以是圓柱螺線、自然曲線、恒裝置角曲線等，但是如果彎曲段采用圓弧之外的曲線模型，必須使用數(shù)值迭代法求解所得到的約束方程組。當(dāng)彎曲段采用圓弧模型，并且不考慮2個(gè)圓弧井眼曲率相等時(shí)，魯港等人[7-10]提出了一種基于多項(xiàng)式全部實(shí)數(shù)根的系統(tǒng)方法，可以求出約束方程組在各種未知數(shù)組合情況下的擬解析解。如果2個(gè)水平井段的長度和方向是已知的，僅考慮2個(gè)圓弧連接段，并且不考慮2個(gè)圓弧井眼曲率相等的情況，求解雙圓弧模型約束方程組解析解的問題已經(jīng)解決[11-13]。筆者對2個(gè)圓弧井眼曲率相等并且作為未知數(shù)時(shí)的約束方程組的解析解進(jìn)行了研究，所得結(jié)果可用于求階梯形水平井段軌道設(shè)計(jì)問題的解析解。

1 數(shù)學(xué)模型

約定：除非特別指明，具有長度量綱參數(shù)的單位為m，角度的單位為rad，井眼曲率的單位為m-1。

階梯形水平井段由4個(gè)控制點(diǎn)A，B，C和D所確定，要求井段AB和井段CD均為穩(wěn)斜穩(wěn)方位井段，井段BC為彎曲井段。在此假設(shè)井段BC由2個(gè)圓弧井段銜接而成，連接點(diǎn)為M點(diǎn)(見圖1)，井眼曲率依次為K2和K3。

1.1 約束方程組

設(shè)計(jì)問題所滿足的約束方程組為[8]：

ΔL1t1+λ2(t1+tM)+λ3(tM+t4)+

ΔL4t4=r4-r1

(1)

(2)

(3)

cosε2=t1·tM

(4)

cosε3=t4·tM

(5)

圖1 階梯形水平井段設(shè)計(jì)Fig.1 Design of step-horizontal sections

假定參數(shù)ε2,ε3,λ2和λ3是未知的，需要在求解約束方程組之后才能確定；參數(shù)ΔL1，ΔL4，K2，K3，t1，tM和t4中，選定部分參數(shù)作為已知設(shè)計(jì)參數(shù)，其余參數(shù)作為未知數(shù)進(jìn)行求解。當(dāng)不假定K2=K3時(shí)，可求出約束方程組的所有未知數(shù)組合情況下的擬解析解[8]。

在階梯形水平井段的情況下，假定K2=K3是合理的，在此研究在這一假定條件下的約束方程組的求解方法，這時(shí)參數(shù)ΔL1，ΔL4，t1和t4是已知的，tM和K=K2=K3為未知數(shù)(K2=K3為已知數(shù)的情況已解決[8])。

1.2 無量綱化

將式(1)改寫成下面的形式：

λ2t1+(λ2+λ3)tM+λ3t4=

δ=r4-r1-ΔL1t1-ΔL4t4

(6)

顯然，根據(jù)已知條件，δ為已知矢量。

(7)

則式(6)和式(2)、式(3)可以寫成下面的形式：

x2t1+(x2+x3)tM+x3t4=p

(8)

(9)

(10)

式(4)、式(5)和式(8)—(10)組成無量綱化的約束方程組，未知數(shù)為k，x2，x3和tM。

為了下文需要，再定義幾個(gè)已知量:

p1=t1·p，p4=t4·p

(11)

a=t1·t4，b=1-a，c=1+a，q2=bc

(12)

2 求解析解

使用擬解析解方法[8]求無量綱化約束方程組的解析解。

2.1 特征多項(xiàng)式

未知數(shù)k2滿足下面的多項(xiàng)式方程[8]：

G(k2)=0，H(k2)≠0

(13)

式中：G(x)和H(x)為多項(xiàng)式函數(shù)，由式(14)—(22)依序逐個(gè)計(jì)算。

A(x)=(b+2p1p4)x-4b

(14)

(15)

(16)

E(x)=p4x-2bp1

(17)

F(x)=p1x-2bp4

(18)

H(x)=A(x)2-B(x)C(x)

(19)

I(x)=A(x)E(x)-B(x)F(x)

(20)

J(x)=A(x)F(x)-E(x)C(x)

(21)

G(x)=2bI(x)J(x)+2p1I(x)+

2p4J(x)-H(x)2

(22)

可以證明，G(x)是參數(shù)x的4次多項(xiàng)式，為約束方程組的特征多項(xiàng)式。根據(jù)代數(shù)方程論，特征多項(xiàng)式至多有4個(gè)實(shí)數(shù)根[14]。由于k2>0，只需求特征多項(xiàng)式所有的正實(shí)數(shù)根即可，其余根略去。

另外，有：

(23)

2.2 約束方程組的解析解

求約束方程組解析解的步驟為：

1) 先根據(jù)已知設(shè)計(jì)條件計(jì)算出公式中所使用的各個(gè)常量。

2) 求特征多項(xiàng)式的全部正實(shí)數(shù)根，假設(shè)有N個(gè)。若N=0，則設(shè)計(jì)問題無解，算法終止；如果1≤N≤4,記這些正實(shí)數(shù)根為ηi(1≤i≤N)。

4) 由式(9)和式(10)，利用反正切函數(shù)計(jì)算圓弧井段狗腿角ε2和ε3。

7) 將所得到的解帶入約束方程組進(jìn)行驗(yàn)證，如果成立，則為真解；否則，為偽解，應(yīng)舍棄。

從以上求解步驟來看，除了求特征多項(xiàng)式實(shí)數(shù)根[14]需要一定的計(jì)算量，其余計(jì)算步驟都是使用解析表達(dá)式計(jì)算，相對來說計(jì)算量可以忽略不計(jì)。而且設(shè)計(jì)問題有沒有解，該算法一定能給出確切的答案；如果設(shè)計(jì)問題有多個(gè)解，該算法也能求出全部的解。

2.3 多項(xiàng)式的數(shù)值計(jì)算

從式(14)—(22)可以看出，需要計(jì)算并給出10個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)系數(shù)的具體表達(dá)式，這些表達(dá)式可以人工推導(dǎo)出來，但是推導(dǎo)過程和最終結(jié)果非常繁瑣。筆者采用計(jì)算機(jī)編程語言中的C++語言實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式函數(shù)的加法、減法、乘法等運(yùn)算。

任給2個(gè)多項(xiàng)式f(x)和g(x)為：

f(x)=fmxm+fm-1xm-1+…+f1x+f0

(24)

g(x)=gnxn+gn-1xn-1+…+g1x+g0

(25)

它們分別對應(yīng)于數(shù)組f*=[f0,f1,…,fm-1,fm]和g*=[g0,g1,…,gn-1,gn]。

多項(xiàng)式加法f(x)+g(x)則對應(yīng)于數(shù)組

s*=f*⊕g*=[s0,s1,…,sp-1,sp]

(26)

其中

p=max{m,n}

(27)

(28)

多項(xiàng)式乘法f(x)g(x)則對應(yīng)于數(shù)組

u*=f*?g*=[u0,u1,…,um+n-1,um+n]

(29)

其中

(30)

因此，多項(xiàng)式的加法、減法、乘法可以使用數(shù)組存儲(chǔ)多項(xiàng)式系數(shù)來構(gòu)造，使用C++語言實(shí)現(xiàn)。

2.4 退化情況的解析解

當(dāng)水平井段AB與CD平行時(shí)，可知：a=1，b=0，c=2，q=0，t1=t4。這時(shí)，H(x)=0，上述算法失效，需要另外給出解法。經(jīng)過簡單的推導(dǎo)，得：

k=4q1

(31)

(32)

(33)

(34)

另一種退化情況是H(x)=0時(shí),可以直接從二次代數(shù)方程H(k2)=0解得k，這樣就可以歸結(jié)為井眼曲率已知的情況去求解[9]。

3 算例

算例使用C++語言編程來完成，其中實(shí)數(shù)采用雙精度實(shí)數(shù)。為了檢查計(jì)算精度，保留數(shù)據(jù)小數(shù)點(diǎn)后足夠的位數(shù)。

3.1 算例1

這個(gè)算例是為了檢驗(yàn)上述算法而構(gòu)造的理論算例。水平井段由4個(gè)控制點(diǎn)A，B，C和D確定，AB和CD為線段，BC由2個(gè)圓弧連接而成，在M點(diǎn)連接。AB段長度ΔL1=210 m、井斜角α1=88°、方位角φ1=25°，CD段長度ΔL4=150 m、井斜角α4=90°、方位角φ4=34°，M點(diǎn)的井斜角αM=86°、方位角φM=30°。

計(jì)算得到2個(gè)圓弧段的狗腿角分別為ε2=5.378 562°和ε3=5.654 555°。水平井段設(shè)計(jì)軌道參數(shù)見表1。

表1 算例1的軌道設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

利用上述已知數(shù)據(jù)，計(jì)算特征多項(xiàng)式g(x)=x4+g3x3+g2x2+g1x+g0，其中g(shù)3=-0.114，g2=0.004 87，g1=-9.128×10-5，g0=6.375×10-7。該特征多項(xiàng)式有2個(gè)實(shí)數(shù)根：η1=0.025 8，η2=0.037 0。經(jīng)驗(yàn)證，η1為增根，η2為真解。使用η2計(jì)算出的其他參數(shù)如下：x2=0.244，x3=0.257，λ2=10.007 m，λ3=10.522 m，ε2=5.378 562°，ε3=5.654 555°，ΔL2=19.999 999 92 m，ΔL3=21.026 270 m，αm=86.000 000 000 3°，φm=30.000 000 000 9°，K=8.067 843°/30m。

將計(jì)算結(jié)果與已知數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，可見僅相差在小數(shù)點(diǎn)后第7位數(shù)字上。軌道設(shè)計(jì)參數(shù)與表1完全相同(坐標(biāo)數(shù)據(jù)僅在小數(shù)點(diǎn)后第7位略有差異),說明文中算法是非常精確的。

3.2 算例2

數(shù)據(jù)來自于文獻(xiàn)[4]的算例3，水平井段是二維階梯形。已知數(shù)據(jù)為：水平井設(shè)計(jì)方位角φ1=φ4=30°；油層井段的井斜角為α1=88°和α4=90°，段長為ΔL1=210 m和ΔL4=150 m；首末靶垂深差ΔH=10 m，水平位移ΔS=420 m。采用一套具有相同增斜率、降斜率的鉆具組合，連續(xù)完成階梯形調(diào)整井段。文獻(xiàn)[4]得到的計(jì)算結(jié)果為：αm=85.62°，K=3.37°/30m。

計(jì)算特征多項(xiàng)式g(x)=x4+g3x3+g2x2+g1x+g0，其中g(shù)3=-0.016 5，g2=3.714×10-5，g1=-2.446×10-8，g0=2.203×10-12，該特征多項(xiàng)式有2個(gè)實(shí)數(shù)根：η1=9.649×10-5，η2=0.013 9。經(jīng)驗(yàn)證，η1為增根，η2為真解。使用η2計(jì)算出的其他參數(shù)如下：x2=0.176，x3=0.324，ε2=2.383°，ε3=4.383°，λ2=10.603 m，λ3=19.509 m，ΔL2=21.202 m，ΔL3=38.998 m，αm=85.617°，φm=30.000°，K=3.372°/30m。

計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]幾乎相同，軌道設(shè)計(jì)參數(shù)見表2，其中還包含了文獻(xiàn)[4]表3中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，可見文中計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的計(jì)算結(jié)果相一致。這說明文中算法在設(shè)計(jì)問題退化為二維設(shè)計(jì)時(shí)也是有效的。

表2 算例2的軌道設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語

水平井段的優(yōu)化設(shè)計(jì)是階梯形水平井順利施工的關(guān)鍵，給出了三維階梯形水平井段等曲率雙圓弧軌道形式的解析解算法，并通過設(shè)計(jì)算例驗(yàn)證了算法的可靠性和實(shí)用性。解析解算法的核心是求一個(gè)4次多項(xiàng)式方程的全部正實(shí)數(shù)根，而其他未知數(shù)均可以使用包含這些正實(shí)數(shù)根的解析表達(dá)式來計(jì)算，避免了其他迭代型算法的缺陷，計(jì)算速度快，易于編程實(shí)現(xiàn)。

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