約束阻尼板結(jié)構(gòu)振動聲輻射優(yōu)化

鄭 玲, 祝喬飛

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

盡管主動振動噪聲控制能有效抑制結(jié)構(gòu)的低頻噪聲，但低噪聲設(shè)計以其優(yōu)異的性能和可靠性而備受關(guān)注。Kikuchi[1]首先將拓撲優(yōu)化方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)低噪聲設(shè)計，通過材料布局優(yōu)化，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)低噪聲設(shè)計。Luo等[2]采用拓撲優(yōu)化方法，通過對封閉結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，大大降低了封閉結(jié)構(gòu)內(nèi)部的聲輻射。Baz等[3]采用有限元法，建立了板-聲腔耦合動力學模型，以聲腔模態(tài)頻率峰值聲壓最小化為目標函數(shù)，對板的材料布局進行了拓撲優(yōu)化設(shè)計，實驗驗證了理論分析結(jié)果的正確性。對結(jié)構(gòu)表面進行阻尼處理，能有效降低結(jié)構(gòu)的振動與聲輻射，廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車及船舶等領(lǐng)域。阻尼結(jié)構(gòu)可分為自由阻尼和約束層阻尼，相比自由阻尼，約束層阻尼消耗的能量更多，減振作用更大。

如何根據(jù)結(jié)構(gòu)的動力學特性要求，確定阻尼材料的最優(yōu)布局，是阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計的一個關(guān)鍵問題。郭中澤等[4]采用漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法，以結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化為目標，研究了阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計中阻尼材料的最優(yōu)分布問題。楊德慶等[5]采用均勻化拓撲優(yōu)化方法，以薄板模態(tài)頻率最大化為目標，研究了薄板的最優(yōu)材料布局問題。李以農(nóng)等[6]采用漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化算法，以結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比最大化為目標函數(shù)，研究了約束層阻尼梁的阻尼材料最優(yōu)分布問題。鄭玲等[7]建立了約束阻尼板的有限元模型，推導(dǎo)了模態(tài)阻尼比對單元胞位置的靈敏度，提出了一種基于進化方式的約束阻尼優(yōu)化布局方法。李超等[8]研究了圓柱殼體上阻尼材料的最優(yōu)分布問題。王明旭等[9]將變密度法引入阻尼材料的布局設(shè)計，推導(dǎo)了靈敏度表達式，提出了模態(tài)振型的跟蹤方法。呂毅寧等[10]給出了附加自由阻尼復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元建模方法，以結(jié)構(gòu)的動態(tài)柔度最小化為目標函數(shù)，計算了薄板和車身地板附加自由阻尼的拓撲優(yōu)化布局。以上文獻均以結(jié)構(gòu)振動損耗因子、固有頻率或動柔度為目標函數(shù)，采用拓撲優(yōu)化方法，研究了阻尼材料的最優(yōu)布局。

在某些特殊環(huán)境下，結(jié)構(gòu)振動導(dǎo)致的聲輻射更為人們所關(guān)注，如潛艇的結(jié)構(gòu)靜音設(shè)計、飛機或汽車艙內(nèi)噪聲的控制等。目前，以聲壓或聲功率等聲學性能為目標函數(shù)，采用拓撲優(yōu)化方法，對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化已有大量研究。Sigmund等[11]將拓撲優(yōu)化方法應(yīng)用于室內(nèi)聲學設(shè)計和噪聲屏蔽墻設(shè)計，對比了優(yōu)化前后的材料布局與聲壓均方值變化。Sun等[12]建立了蜂窩夾層梁的有限元模型，以特定頻率輻射聲功率最小化為目標函數(shù)，對蜂窩的形狀及尺寸進行了優(yōu)化。但是，采用拓撲優(yōu)化方法，以輻射聲功率最小化為目標，對約束阻尼材料布局進行優(yōu)化的研究尚不多見。

本文首先建立四邊簡支約束層阻尼板有限元模型，用Rayleigh積分推導(dǎo)結(jié)構(gòu)輻射聲功率，并進行靈敏度分析，以聲功率最小化為目標函數(shù)，采用漸進優(yōu)化算法，對約束阻尼材料布局進行優(yōu)化。

1 約束層阻尼板振動和聲輻射計算

1.1 約束層阻尼板有限元模型

圖1 約束層阻尼板單元

約束阻尼單元模型如圖1所示。每個單元均由基板層、粘彈性(VEM)層和約束層組成，下標分別用p、v、c表示。每個節(jié)點有7個自由度，分別為約束層中性面內(nèi)x方向的位移uci、約束層中性面內(nèi)y方向的位移vci、基板層中性面內(nèi)x方向的位移upi、基板層中性面內(nèi)y方向的位移vpi、單元中性面的橫向位移wi以及繞x軸方向的轉(zhuǎn)角θxi和y軸方向的轉(zhuǎn)角θyi。

節(jié)點位移向量為：

Δi={ucivciupivpiwiθxiθyi}T

(i=1,2,3,4)

(1)

單元位移向量為：

(2)

根據(jù)單元位移模式，可得約束層阻尼單元的形函數(shù)[13]：

N={[Nuc];[Nvc];[Nup];

[Nvp];[Nw];[Nwx];[Nwy]}

(3)

其中，Nuc、Nvc、Nup、Nvp、Nw、Nwx、Nwy分別為對應(yīng)單元節(jié)點自由度uc、vc、up、vp、w、θx、θy的形函數(shù)。

約束阻尼單元各層的動能和應(yīng)變勢能如下[14]：

(4)

(5)

(Nvc)TNvc+(Nw)TNw]dxdyΔ(e)=

(6)

(7)

(Nvv)TNvv+(Nw)TNw]dxdyΔ(e)=

(8)

(9)

(10)

其中，T和P分別表示結(jié)構(gòu)單元的動能和應(yīng)變勢能。運用Hamilton原理，可導(dǎo)出約束層阻尼單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：

m=mp+mc+mv

(11)

k=kp+kc+kv+kβv

(12)

其中，mp、mc、mv分別為基板、約束層以及粘彈性層的質(zhì)量矩陣，kp、kc、kv、kβv分別為基板、約束層、粘彈性層位移及橫向剪切變形的剛度矩陣。將單元質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進行組集，獲得約束層阻尼板結(jié)構(gòu)的總體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：

(13)

(14)

因此，約束層阻尼板的有限元動力學模型為：

(15)

這里，粘彈性層的剪切模量為G=Gv(1+ηi)，η為損耗因子，[K]為復(fù)剛度矩陣。

1.2 約束層阻尼板的振動模型

假設(shè)約束層阻尼板的外激勵為簡諧激勵f(t)=Fejωt，位移響應(yīng)滿足x(t)=Xejωt。將以上兩式代入(15)式，消去ejωt，得：

(-ω2[M]+[K]){X}={F}

(16)

因此，約束層阻尼板節(jié)點位移響應(yīng)為：

{X}=[H(ω)]{F}

(17)

節(jié)點速度響應(yīng)為：

{V}=iω{X}=iω[H(ω)]{F}

(18)

其中：H(ω)=(-ω2[M]+[K])-1為位移傳遞函數(shù)。

1.3 約束層阻尼板聲輻射計算

將約束層阻尼板鑲嵌于無限大剛性障板上，運用簡化后的Helmholtz公式，即Rayleigh積分計算其聲輻射。振動輻射聲功率可由表面聲壓p(P)和表面法向速度vn(P)表示：

(19)

(20)

將(20)式代入(19)式：

(21)

考慮到格林函數(shù)的對稱性，式(21)可表示為：

(22)

將式(22)寫成矩陣形式，其中{V}為各單元上法向速度構(gòu)成的向量。

W(ω)={V}T[R]{V}

(23)

在結(jié)構(gòu)均勻離散情況下，矩陣R的形式為[15]：

(24)

在一個頻帶內(nèi)的平均聲功率表示為：

(25)

離散后得：

(26)

其中，Wave表示頻帶內(nèi)的平均輻射聲功率，N表示頻帶內(nèi)激勵力頻率的總數(shù)，ωi表示第i個激勵力頻率。

2 優(yōu)化模型

以簡諧激勵作用下約束阻尼板輻射的聲功率最小化為目標函數(shù)，約束阻尼材料體積分數(shù)為約束條件，建立拓撲優(yōu)化模型：

(27)

其中，X={β1β2…βn}T為設(shè)計變量，表示約束阻尼單元的存在狀態(tài)。當βi=1時，表明第i個單元位置有約束阻尼單元，當βi=0時，表明第i個單元位置無約束阻尼單元，n為約束阻尼單元總數(shù)，W為約束阻尼板輻射聲功率，V為約束阻尼材料體積，V*是體積約束。

3 靈敏度分析

約束阻尼板的速度響應(yīng)為：

V=iωX

(28)

速度對設(shè)計變量β的偏導(dǎo)數(shù)為：

(29)

將式(15)兩端對設(shè)計變量h求偏導(dǎo)數(shù)：

(30)

將上式整理并代入式(29)，可得速度對設(shè)計變量的靈敏度[16]：

(31)

結(jié)合式(23)，可求出約束阻尼板輻射聲功率對設(shè)計變量的靈敏度：

(32)

這里的設(shè)計變量β是約束阻尼單元的存在狀態(tài)，根據(jù)式(31)，結(jié)合設(shè)計變量的定義，速度對設(shè)計變量的靈敏度可用約束阻尼單元刪除前后的速度變化量來表示。同樣，根據(jù)式(32)，聲功率對設(shè)計變量的靈敏度也可以用約束單元刪除前后的聲功率變化值來表示。因此，速度對設(shè)計變量的靈敏度改寫為：

ΔV=-iω(K-ω2M)-1(ΔK-ω2ΔM)X

(33)

聲功率對設(shè)計變量的靈敏度改寫為：

ΔW=ΔVHRV+VHRΔV

(34)

4 獨立網(wǎng)格濾波

在連續(xù)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化過程中，常出現(xiàn)棋盤格式和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。采用獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)，以有效抑制棋盤格式和網(wǎng)格依賴性。獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)屬于靈敏度過濾法，是一種局部意義上的約束方法，它以過濾半徑范圍內(nèi)單元的靈敏度的加權(quán)平均值代替原來的靈敏度值。獨立網(wǎng)格濾波方程為:

(35)

采用獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)，最重要的是選擇合適的濾波半徑，對阻尼單元的靈敏度信息進行濾波操作，它不僅能抑制棋盤格式，而且能消除網(wǎng)格依賴性。

5 優(yōu)化流程

本文采用漸進優(yōu)化算法，求解優(yōu)化模型。漸進優(yōu)化算法的基本思想是通過逐步刪除設(shè)計域中的無效或低效單元，搜尋最佳的材料布局，使目標函數(shù)最小化或最大化。基于約束阻尼板輻射聲功率的拓撲優(yōu)化模型，可設(shè)計使約束層阻尼板輻射聲功率最小化的拓撲優(yōu)化計算流程，見圖2所示。

圖2 約束阻尼板聲功率優(yōu)化設(shè)計流程圖

優(yōu)化步驟如下：

① 建立約束阻尼板的有限元模型和邊界元模型；

② 給定約束阻尼材料的體積約束量以及初始刪除量RR0和其進化量ER；

③ 對激勵力作用下的結(jié)構(gòu)進行聲輻射分析，獲得輻射聲功率；

④ 按式(34)計算各阻尼單元的聲功率靈敏度；

⑤ 設(shè)定適當?shù)臑V波半徑，采用獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)對各單元的聲功率靈敏度進行濾波；

⑥ 對濾波后的單元聲功率靈敏度進行排序；

⑦ 刪除RR0個單元的聲功率靈敏度值最小的單元；

⑧ 判定是否達到約束條件。如果不滿足約束條件，更新RR0=RR0+ER，并重復(fù)步驟③-⑧；如果滿足約束條件，則結(jié)束迭代，輸出結(jié)果。

6 算例分析

將四邊簡支的約束阻尼板鑲嵌于無限大剛性障板上，計算約束層阻尼板的振動聲輻射。約束層阻尼板的參數(shù)如下：

約束阻尼板長L=0.4 m，寬B=0.3 m?；鶎樱篍p=7.0e10 Pa，ρp=2 800 kg/m3，μp=0.3，hp=0.000 8 m；粘彈性層：Ev=1.2e7 Pa，ρv=1 200 kg/m3，μv=0.495，hv=0.000 05 m，η=0.5；約束層：Ec=7.0e10 Pa，ρc=2 700 kg/m3，μc=0.3，hc=0.000 13 m。有限元網(wǎng)格單元數(shù)16×12，邊界元網(wǎng)格單元數(shù)16×12，在(0.20,0.15,0)處即中心點受到正弦激勵力：F=sinωt=sin(2πft)?？諝饷芏圈?=1.225 kg/m3，空氣中聲速c0=343 m/s。

6.1 一階峰值聲功率的拓撲優(yōu)化

隨著阻尼材料的刪除，約束層阻尼板結(jié)構(gòu)的聲功率曲線會發(fā)生頻移，因此，針對約束層阻尼板一階峰值聲功率的拓撲優(yōu)化，必須在每次刪除單元后，計算輻射聲功率時，重新計算固有頻率，進行頻率跟蹤。

優(yōu)化過程中，每次刪除4個單元，濾波半徑取為4.5，將192個單元全部刪除須進行48次迭代。圖3是輻射聲功率隨刪除率變化的迭代過程圖。

圖3 聲功率隨阻尼材料刪除率的變化圖

由圖3可知，在阻尼材料刪除過程中，約束阻尼板的輻射聲功率有一定程度波動，因為在刪除過程中被刪除的單元靈敏度可能為正也可能為負，從而導(dǎo)致刪除后約束阻尼結(jié)構(gòu)的輻射聲功率有波動。其中，約束層阻尼板的聲功率有幾個低點，當刪除率為12.5%和35.4%時，輻射聲功率均為112.1 dB，刪除率為62.5%時，輻射聲功率為112.2 dB，刪除率為81.2%時，輻射聲功率為113.3 dB。選取刪除率為35.4%、62.5%和81.2%，分析一階峰值聲功率，并計算最優(yōu)的拓撲構(gòu)型圖。

約束阻尼最優(yōu)拓撲構(gòu)型如圖4～圖6，黑色表示約束阻尼材料，白色為無約束阻尼材料，從動力學特性的角度來分析，粘貼約束阻尼材料的區(qū)域均是一階模態(tài)應(yīng)變能較大的區(qū)域，表明這些單元均是有效單元。基板、全覆蓋板及不同阻尼材料用量下的輻射聲功率對比見圖7～圖8所示，可以看出，隨著約束阻尼材料用量的增加，聲功率曲線向后發(fā)生頻移，此外，在第一階峰值處，35.4%、62.5%和81.2%刪除率時，其輻射聲功率均比基板和全覆蓋板有所下降，由于拓撲優(yōu)化保留了有效阻尼單元，刪除了無效阻尼單元，在阻尼材料用量減小的情況下，獲得了比全覆蓋更低的輻射聲功率。

圖4 35.4%刪除率下阻尼材料的最優(yōu)拓撲圖

圖7 一階峰值優(yōu)化的輻射聲功率對比圖

圖10 頻帶優(yōu)化的輻射聲功率對比圖

圖11 頻段內(nèi)輻射聲功率對比圖

6.2 頻帶輻射聲功率的拓撲優(yōu)化

選取頻率區(qū)間10 Hz-60 Hz，這是基板第一階峰值所在的頻率范圍。阻尼材料刪除率取為50%，步長為1 Hz，每次刪除4個單元，濾波半徑取為4.5。圖9是約束阻尼材料最優(yōu)拓撲構(gòu)型，圖10是基板、全覆蓋以及最優(yōu)拓撲構(gòu)型下的聲功率對比圖。

圖11表明，優(yōu)化后的約束阻尼板，其輻射平均聲功率比基板和全覆蓋板更低；在目標頻率區(qū)間，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的平均聲功率為99.7 dB，基板為111.4 dB，全覆蓋為102.1 dB，優(yōu)化后的約束阻尼板，其平均聲功率分別下降11.7 dB和2.4 dB。

7 結(jié) 論

本文建立了約束層阻尼板的有限元模型，用Rayleigh積分推導(dǎo)了約束層阻尼板的輻射聲功率及其靈敏度表達式，以輻射聲功率最小化為目標，采用漸進優(yōu)化算法對約束阻尼材料布局進行了拓撲優(yōu)化。研究結(jié)果表明：本文提出的理論模型和拓撲優(yōu)化算法是正確和有效的，無論是針對一階峰值或是某一頻帶，它均能以較少的約束阻尼材料，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動聲輻射最小化的目標。約束層阻尼板振動聲輻射的優(yōu)化為結(jié)構(gòu)低噪聲設(shè)計提供了重要的理論參考和技術(shù)手段。

參 考 文 獻

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