基于諧波平衡法的雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)非線性振動特性研究

賈尚帥， 孫 舒， 李明高

(1.唐山軌道客車有限責(zé)任公司 產(chǎn)品技術(shù)研究中心，河北 唐山 063035；2.河北聯(lián)合大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063009)

壓電式結(jié)構(gòu)為常用發(fā)電結(jié)構(gòu)形式。目前研究的壓電發(fā)電系統(tǒng)多為線性，具有單一固有頻率。而實際環(huán)境振動常為非周期、隨機(jī)、寬頻激勵。雙穩(wěn)態(tài)壓電系統(tǒng)在周期或隨機(jī)激勵下，可在低寬頻下產(chǎn)生大幅運動，為最可能實現(xiàn)利用振動發(fā)電的結(jié)構(gòu)之一[1]。

Erturk等[2-3]將Moon與Holmes雙穩(wěn)態(tài)模型[4]用于壓電發(fā)電，通過實驗及數(shù)值計算分析雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁響應(yīng)與輸出特性。Stanton等[5]通過對雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電懸臂梁建模、數(shù)值計算及實驗研究，獲得叉形分岔的對稱破缺、多吸引子共存、混沌、大幅運動等現(xiàn)象。Andò等[6]給出工作在雙穩(wěn)態(tài)下的MEMS設(shè)備分析模型。Arrieta等[7-9]對雙穩(wěn)態(tài)壓電板進(jìn)行數(shù)值模擬及實驗研究發(fā)現(xiàn)具有寬頻帶的亞諧共振大振幅周期運動及混沌運動，認(rèn)為雙穩(wěn)態(tài)板適用作壓電發(fā)電。文獻(xiàn)[10]在建立非線性磁力模型基礎(chǔ)上，建立雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁集中參數(shù)模型，并進(jìn)行數(shù)值分析、實驗研究，獲得雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在低寬頻下能產(chǎn)生大幅運動及激勵參數(shù)與永久磁鐵間距對系統(tǒng)運動影響規(guī)律。

以上研究多集中于數(shù)值計算與實驗，而數(shù)值方法只能獲得系統(tǒng)的動力學(xué)行為軌跡，并不能對系統(tǒng)運動行為本質(zhì)做出刻畫。本文在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上，利用諧波平衡法獲得系統(tǒng)頻響方程，研究不同參數(shù)下頻響特性及輸出特性，并通過實驗研究進(jìn)行驗證。

1 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)模型

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)通過加入磁力實現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)，將一塊永久磁鐵固定于懸臂梁自由端，磁鐵處于水平位置時其中心至梁根部距離為l，將另一塊磁鐵固定在距自由端d處，見圖1。由圖1看出，當(dāng)d足夠大時，兩磁鐵間無作用力，系統(tǒng)為線性；當(dāng)d縮小到一定程度時， 梁具有3個平衡點，其中2個穩(wěn)定平衡點與1個不穩(wěn)定平衡點表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)模型

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)無量綱動力學(xué)方程[10]為：

(1)

其中:

(2)

式中：m為梁與磁鐵等效質(zhì)量；c為機(jī)械阻尼系數(shù)；k為懸臂梁彈性常數(shù)；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率；MA，MB為磁鐵A，B磁化強(qiáng)度；F0為激勵幅值；RL為負(fù)載阻抗；Cp為壓電陶瓷等效電容；κv，κc為機(jī)械方程及電方程中機(jī)電耦合系數(shù)。

2 諧波平衡法求解

設(shè)式(1)的解為：

(3)

則：

(4)

將式(3)、(4)代入式(1)，常數(shù)項sin(Ωt)，cos(Ωt)系數(shù)為零，得：

(5)

(6)

2ζΩA1+γB2+f=0

(7)

ΩB2-μA2+?ΩB1=0

(8)

ΩA2+μB2+?ΩA1=0

(8)

由式(8)、(9)得：

(10)

(11)

將式(10)、(11)代入式(6)、(7)化簡得：

ΓAA1=ΓBB1

(12)

-f=ΓBA1+ΓAB1

(13)

其中：

考慮式(12)、(13)得：

(14)

電壓幅值為：

(15)

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)功率為：

(16)

3 系統(tǒng)非線性特性分析

3.1 幅頻響應(yīng)

取參數(shù)值ζ=0.05，a=0.5，b=25，γ=0.05，μ=0.7，?=0.5，f=0.006。振幅r隨激勵頻率變化時頻率響應(yīng)曲線見圖2，其中虛線為不穩(wěn)定部分。激勵頻率由小變大時，在Ω=0.85向上跳躍；激勵頻率由大變小時，在Ω=0.78向下跳躍；即在0.78～0.85區(qū)間系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，為不穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)系統(tǒng)的解被吸引到高能量解時，系統(tǒng)輸出功率最大。分別分析磁化強(qiáng)度與負(fù)載阻抗對系統(tǒng)解影響。

由式(2)知，磁化強(qiáng)度MA，MB越大，非線性系數(shù)b值越大；負(fù)載阻抗RL越大，阻抗參數(shù)μ值越小。不同b，μ下幅頻曲線研究磁化強(qiáng)度與負(fù)載阻抗對響應(yīng)影響。b，μ取不同值時幅頻響應(yīng)曲線見圖3、圖4。由二圖看出，隨磁化強(qiáng)度MA，MB的增加，非線性系數(shù)b值增大，系統(tǒng)由低能量解跳到高能量解越不穩(wěn)定，而共振幅值先增加后減?。徽{(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖2 幅頻響應(yīng)曲線

3.2 力幅響應(yīng)

取參數(shù)值ζ=0.05，a=0.5，b=25，γ=0.05，μ=0.7，?=0.5，Ω=0.77。力幅響應(yīng)曲線見圖5，其中虛線為不穩(wěn)定部分。激勵幅值由小變大，在f=0.012向上跳躍；激勵幅值由大變小，在f=0.006 4向下跳躍；即在0.006 4～0.012區(qū)間系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，為不穩(wěn)定區(qū)域。整體隨激勵幅值的增加，系統(tǒng)幅值逐漸增加，但增加幅度逐漸變小。b，μ不同值對應(yīng)力幅響應(yīng)曲線見圖6、圖7，隨非線性系數(shù)b的增加，出現(xiàn)高能量解對應(yīng)的激勵幅值變小，但響應(yīng)幅值亦變??；調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖5 力幅響應(yīng)曲線

3.3 輸出功率分析

由圖8、圖9看出，外加激勵頻率對功率影響與外加激勵對振幅r影響相似。隨非線性系數(shù)b的增大，不穩(wěn)定區(qū)域變大，功率先增加后減小；對不同阻抗參數(shù)值μ，功率幅值先增加后減小，調(diào)節(jié)磁化強(qiáng)度及負(fù)載阻抗，對應(yīng)非線性系數(shù)b與阻抗參數(shù)值μ隨之發(fā)生變化，使系統(tǒng)輸出功率最大。

圖10、圖11為力-功率響應(yīng)曲線，隨磁化強(qiáng)度MA，MB的增加，非線性系數(shù)b值增大，功率響應(yīng)變小，不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)的激勵幅值也變?。浑S阻抗參數(shù)μ的增大，功率響應(yīng)幅值先增大后減小。

圖8 功率頻率響應(yīng)曲線

圖11 力功率響應(yīng)曲線

4 實驗研究

雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)實驗原理見圖12。將雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁裝置固定在激振臺上，加速度傳感器貼在壓電懸臂梁自由端，利用激振控制器控制激勵信號輸出大小，用數(shù)據(jù)采集器采集實驗數(shù)據(jù)。

不同激勵幅值下系統(tǒng)輸出電壓頻率響應(yīng)曲線見圖13，圖中橫軸為激勵頻率，縱軸為輸出電壓有效值。隨激勵幅值的增加，系統(tǒng)輸出電壓逐漸增加，且增加幅度逐漸變小，與圖5力幅曲線趨勢相同。1條曲線在一段較寬頻率下系統(tǒng)輸出電壓較高，系統(tǒng)的解被吸引到高能量解時，系統(tǒng)輸出電壓也較高。

圖12 實驗原理圖

不同頻率下輸出功率隨電阻變化曲線見圖14，隨頻率的增加，系統(tǒng)輸出功率不斷增加，頻率為14Hz時輸出功率最大；若繼續(xù)增加頻率，輸出功率反會降低。對同一條隨電阻變化功率曲線，存在的匹配電阻與激勵頻率無關(guān)，使輸出功率最大。

5 結(jié) 論

利用諧波平衡法、實驗方法研究雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)響應(yīng)特性。結(jié)論如下：

(1) 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線存在跳躍、多解現(xiàn)象。隨非線性系數(shù)b的增加，不穩(wěn)定區(qū)域范圍增加，響應(yīng)幅值先增加后減小，調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

(2) 雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)力幅響應(yīng)曲線存在跳躍、多解現(xiàn)象。隨非線性系數(shù)b的增加，響應(yīng)幅值變小，不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?yīng)的激勵幅值也變小，調(diào)節(jié)阻抗參數(shù)μ可使不穩(wěn)定區(qū)域最小。

(3) 通過調(diào)節(jié)磁化強(qiáng)度及負(fù)載阻抗可使系統(tǒng)輸出功率最大。

參 考 文 獻(xiàn)

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