基于傅里葉幅值檢驗(yàn)擴(kuò)展法的軌道車輛垂向模型全局靈敏度分析

余衍然， 李 成， 姚林泉， 朱忠奎

(蘇州大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215006)

隨我國(guó)列車運(yùn)行速度的不斷提高，輪軌間相互作用愈加顯著、劇烈，軌道列車的動(dòng)力學(xué)性能問題，如在高速運(yùn)行下列車的穩(wěn)定性、乘坐舒適性及運(yùn)行安全性等越來越受到重視。提升列車的動(dòng)力學(xué)性能，須對(duì)車輛系統(tǒng)模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)?？紤]軌道車輛涉及的建模工作愈加復(fù)雜，如“車輛-軌道-橋梁”耦合系統(tǒng)中，模型系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)數(shù)目較龐大。因此，需對(duì)車輛模型系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析，以便確定調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)改變模型結(jié)構(gòu)特性效果影響，去除對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)性能影響不大參數(shù)，為模型參數(shù)優(yōu)化過程提供可靠的理論依據(jù)與工程參考。

參數(shù)靈敏度分析為評(píng)價(jià)因模型參數(shù)的不確定性引起模型結(jié)構(gòu)特性變化程度方法。影響程度即靈敏度。按模型分析不同思路，靈敏度分析法可分為局部靈敏度分析法[1]與全局靈敏度分析法。前者為每次只改變某單一參數(shù)取值，對(duì)其余參數(shù)取其各自中心值，以此獲得模型響應(yīng)輸出，評(píng)價(jià)考察單一參數(shù)發(fā)生變化時(shí)模型結(jié)果的變化量。該方法包括解析法(即直接求導(dǎo)法)、有限差分法及格林函數(shù)法等[2]，適用于目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式簡(jiǎn)單、靈敏度微分方程較易推出、不確定性因素較少的系統(tǒng)模型。而全局靈敏度分析[3]考慮參數(shù)選取的實(shí)際概率分布，所有因素允許同時(shí)變化，變動(dòng)范圍可擴(kuò)展到因素的整個(gè)定義域，故該方法不僅能反映局部情況，且可反映整個(gè)參數(shù)空間的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響。全局靈敏度分析允許各參數(shù)在不同數(shù)量級(jí)取值變化，而局部靈敏度分析則不能保證在此情況下的有效性[4]。局部靈敏度分析要求目標(biāo)函數(shù)有明確易推導(dǎo)的解析表達(dá)式；全局靈敏度分析目標(biāo)函數(shù)只需有確定的輸入、輸出關(guān)系即可。此外，全局靈敏度分析亦考慮各輸入?yún)?shù)間交互作用對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響；局部靈敏度分析則假定輸入?yún)?shù)間相互獨(dú)立且互不影響。因此，全局靈敏度分析較局部靈敏度分析更具優(yōu)越性，且可分為定性、定量分析兩類。定性全局靈敏度分析可以較小的計(jì)算量定性按靈敏度大小對(duì)各輸入?yún)?shù)排序，包括多元回歸法、Morris法、傅里葉幅度靈敏度檢驗(yàn)法(Fourier Amplitude Sensitivity Test，F(xiàn)AST)等。定量全局靈敏度分析可定量確定各模型參數(shù)對(duì)模型結(jié)果誤差的貢獻(xiàn)率，目前有Sobol’與傅里葉幅值靈敏度檢驗(yàn)擴(kuò)展法(Extend Fourier Amplitude Sensitivity Test，EFAST)兩種[3]，且均基于方差方法，認(rèn)為結(jié)果方差可完全反映模型結(jié)果的不確定性。鑒于此，全局靈敏度分析法在艦艇設(shè)備、生態(tài)模型、可靠性等多領(lǐng)域參數(shù)靈敏度分析中獲得應(yīng)用[3-5]。但軌道車輛模型參數(shù)的全局靈敏度分析研究目前尚未見報(bào)道。已有研究中，多利用局部靈敏度分析方法研究軌道車輛模型系統(tǒng)的振動(dòng)特性，如張立民等[6]利用局部靈敏度分析法中直接求導(dǎo)法對(duì)車輛垂向懸掛參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析。結(jié)果表明，增加二系懸掛剛度可同時(shí)提高車體沉浮、點(diǎn)頭及構(gòu)架沉浮振動(dòng)頻率。吳會(huì)超等[7]建立高速車輛三維剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，分析車下設(shè)備質(zhì)量偏心及彈性懸掛參數(shù)小范圍變化對(duì)車體振動(dòng)響應(yīng)影響程度。

本文引入全局靈敏度分析法，將EFAST分析法直接應(yīng)用于軌道車輛垂向模型中，以垂向模型系統(tǒng)絕對(duì)傳遞率為目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算模型相關(guān)參數(shù)靈敏度，討論分析算例結(jié)果，為車輛系統(tǒng)模型參數(shù)靈敏度分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供更全面的參考依據(jù)。

1 傅里葉幅值靈敏度檢驗(yàn)擴(kuò)展法

EFAST法基本原理為選取合適的搜索曲線在由各參數(shù)組成的多維空間內(nèi)搜索，將一組非線性相關(guān)整數(shù)頻率分配給每個(gè)輸入?yún)?shù)，并對(duì)模型系統(tǒng)每個(gè)輸入?yún)?shù)搜索函數(shù)引入共同的獨(dú)立變量，使模型成為獨(dú)立變量的周期函數(shù)，從而使多維積分轉(zhuǎn)化為一維積分。然后將目標(biāo)函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，分別獲得各頻率的傅里葉頻譜曲線，獲得每個(gè)參數(shù)及參數(shù)間相互作用引起的模型結(jié)果方差在總模型結(jié)果方差中所占比例，此即為該參數(shù)靈敏度。因此，在分析過程中首先為每個(gè)需分析參數(shù)設(shè)定一搜索函數(shù)[1]：

xn=Gn[sin(ωns)]

(1)

式中：n為參數(shù)數(shù)目。序列{ωn}的選取需滿足非線性相關(guān)，即：

(2)

其中：rn為整數(shù)；s為共同獨(dú)立變量，在(-π,π)區(qū)間內(nèi)等間隔取Ns個(gè)值，Ns=2Mωmax+1，其中M取4，ωmax為各參數(shù)對(duì)應(yīng)頻率組成的序列中最大值。

式(1)中Gn應(yīng)滿足[1]：

(3)

其中：Pn為xn的概率密度函數(shù)。將式(3)轉(zhuǎn)化為[8]：

(4)

對(duì)式(4)等號(hào)兩邊積分，得在xn所屬概率分布下搜索函數(shù)表達(dá)式。將搜索函數(shù)代入模型結(jié)果y=f(x1,x2,…,xn)便可轉(zhuǎn)化為y=f(s)，并由傅里葉展開得[3]：

(5)

其中：

式中：sk=π/Ns(2k-Ns-1)為s在[-π,π]內(nèi)的等間隔取樣值。

(6)

其中：Z0=Z-{0}。則總方差為[1]：

(7)

將s在區(qū)間[-π,π]內(nèi)等間隔取樣所得每個(gè)參數(shù)輸入模型，經(jīng)多次計(jì)算，通過上述方程總可獲得每個(gè)參數(shù)引起的方差Vn及模型結(jié)果總方差V。因此xn一階靈敏度為：

(8)

計(jì)算xn總靈敏度可先給xn一較大頻率ωn，給剩余參數(shù)設(shè)定一組較小的各不同頻率{ωn’}，且滿足關(guān)系ωn≥2Mmax{ωn’}[9]。便將頻譜分割成兩部分[1,Mmax(ω’n)](含除xn外的其它參數(shù)頻率)與[Mmax(ω’n+1),(Ns-1)/2](含xn在高頻范圍內(nèi)影響)。

計(jì)算參數(shù)xn總靈敏度公式[9]為：

(9)

由以上分析知，EFAST第一階靈敏度反映參數(shù)獨(dú)立作用對(duì)模型輸出影響，而參數(shù)總敏感度則反映參數(shù)間作用對(duì)模型輸出影響。若所得總靈敏度數(shù)值與一階靈敏度非常接近，說明參數(shù)間交互作用不明顯。

2 車輛垂向模型參數(shù)全局靈敏度計(jì)算

2.1 垂向振動(dòng)模型及目標(biāo)函數(shù)設(shè)定

典型軌道車輛垂向模型見圖1，其中Mc，Jc，Mt分別為車體質(zhì)量、車體點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、構(gòu)架質(zhì)量；Kpz，Cpz及Ksz，Csz分別為一二系懸掛剛度及阻尼；lc，lt分別為車輛定距之半與及轉(zhuǎn)向架固定軸距之半；Zc，βc為車體垂向位移、點(diǎn)頭角位移；Zt1(t2)，Z01(02，03，04)分別為2個(gè)構(gòu)架垂向位移及4副輪對(duì)處所受垂向輸入激勵(lì)；v為車輛行駛速度。

圖1 軌道車輛垂向模型

據(jù)軌道車輛垂向物理模型，得運(yùn)動(dòng)微分方程組[10]：

(10)

由于構(gòu)架點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)與車輛垂向振動(dòng)系統(tǒng)其它運(yùn)動(dòng)不耦合，不影響車體運(yùn)動(dòng)，故只考慮4個(gè)自由度，Z01(t)，Z02(t)，Z03(t)，Z04(t)間關(guān)系為：

(11)

其中：τ1=2lt/v，τ2=2lc/v，τ3=2(lt+lc)/v為輪對(duì)時(shí)間滯后量，v為車輛行駛速度。

將式(10)用矩陣形式可表示為：

(12)

其中：[M]，[C]，[K]分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；[Dw]，[Ddw]分別為激勵(lì)位移、速度輸入矩陣；{ft(t)}為系統(tǒng)位移激勵(lì)輸入項(xiàng)；{x(t)}為系統(tǒng)位移響應(yīng)矢量。

對(duì)式(10)進(jìn)行拉普拉斯變換得：

([M]s2+[C]s+[K]){x(s)}=

([Dw]+[Ddw]s){ft(s)}

(13)

移項(xiàng)并用虛宗量iω代替復(fù)宗量s，得系統(tǒng)頻率特性為：

[H(iω)]=(-[M]ω2+i[C]ω+

[K])-1([Dw]+i[Ddw]ω)

(14)

綜合以上各式，計(jì)算車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率T(ω)(即頻率特性的模[11])幅頻特性，見圖2。各輸入?yún)?shù)包含在系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣中，由式(14)知，參數(shù)取值發(fā)生變化，會(huì)致頻率特性矩陣中對(duì)應(yīng)元素大小變化，從而可建立輸出與輸入?yún)?shù)間聯(lián)系。

圖2分別給出車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率在懸掛參數(shù)優(yōu)化區(qū)間的上下限值、中間值處曲線。其中圖2(c)中三者幾乎重合，說明一系懸掛剛度取值變化對(duì)絕對(duì)傳遞率影響甚微，該絕對(duì)傳遞率對(duì)參數(shù)變化不敏感。由圖2看出，在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)，輪對(duì)對(duì)車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率影響因素中，二系懸掛阻尼最顯著，一系次之，而后為二系懸掛剛度，一系懸掛剛度影響甚微。而絕對(duì)傳遞率峰值大小對(duì)參數(shù)變化最敏感。因此，設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為絕對(duì)傳遞率T(ω)在1～20 Hz范圍內(nèi)最大值-max[T(ω)]較合理。絕對(duì)傳遞率越小，系統(tǒng)響應(yīng)越小，其動(dòng)力學(xué)性能也越好。

2.2 實(shí)例計(jì)算

設(shè)目標(biāo)函數(shù)為某確定頻率范圍內(nèi)車體構(gòu)架絕對(duì)傳遞率峰值。以車輛垂向模型參數(shù)為輸入?yún)?shù)，用EFAST法進(jìn)行車輛垂向模型全局靈敏度分析。參考常用軌道車輛模型參數(shù)數(shù)據(jù)，確定車體質(zhì)量為Mc=33.6 t，車體點(diǎn)頭慣量Jc=2 040 t·m2，該參數(shù)值保持不變，即二者不進(jìn)行靈敏度分析，其它參數(shù)見表1。

圖2 車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率幅頻特性

表1 車輛垂向模型參數(shù)概率分布

對(duì)均勻分布，文獻(xiàn)[1]未能給出任意取值范圍內(nèi)的搜索函數(shù)，本文采用與文獻(xiàn)[9]類似思路，即由式(1)推導(dǎo)出可在任意范圍內(nèi)取值的搜索函數(shù)，但區(qū)別在于本文推導(dǎo)中考慮隨機(jī)相位Rn[1]，使搜索函數(shù)搜索起點(diǎn)

可在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)任意位置，使參數(shù)取值更均勻合理。搜索函數(shù)為：

(15)

其中：bn，an分別為參數(shù)取值上、下限，即參數(shù)優(yōu)化范圍；Rn為在(0,2π)上服從均勻分布的隨機(jī)變量。據(jù)上述算法，用MATLAB編程，便可計(jì)算EFAST法全局靈敏度值。

2.3 結(jié)果分析

計(jì)算中，Mt為構(gòu)架質(zhì)量，Kpz為一系懸掛剛度，Cpz為一系懸掛阻尼，Ksz為二系懸掛剛度，Csz為二系懸掛阻尼，lc為車輛定距之半，lt為轉(zhuǎn)向架固定軸距之半。車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果見圖3。由圖3看出，一、二系懸掛阻尼、二系懸掛剛度位居前三，其它參數(shù)靈敏度值均較小。

圖3 車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率參數(shù)靈敏度

靈敏度值代表因參數(shù)變化而引起目標(biāo)函數(shù)的變化程度，即其它參數(shù)變化對(duì)絕對(duì)傳遞率峰值影響不大，但并非此參數(shù)對(duì)絕對(duì)傳遞率貢獻(xiàn)不大。二系懸掛對(duì)絕對(duì)傳遞率影響較一系懸掛大，即二系懸掛剛度較一系懸掛剛度影響大，二系懸掛阻尼較一系懸掛阻尼影響大。分析結(jié)果與圖2計(jì)算結(jié)果及文獻(xiàn)[12]研究結(jié)論互相吻合，證明本文所用全局靈敏度分析法為行之有效的研究途徑，EFAST法能正確反映車輛垂向模型參數(shù)對(duì)隔振效果影響。車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)絕對(duì)傳遞率參數(shù)靈敏度計(jì)算結(jié)果見圖4。對(duì)比圖3、圖4，車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)絕對(duì)傳遞率變化程度同樣受一系懸掛阻尼及二系懸掛參數(shù)影響較大，但車輛定距之半影響不可忽略。此可通過分析車輛垂向模型運(yùn)動(dòng)微分方程式(10)知，雖車輛定距之半對(duì)車體垂向位移無影響，但對(duì)車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)則為重要參數(shù)。

分析輪對(duì)對(duì)其所屬構(gòu)架絕對(duì)傳遞率大小變化影響。由圖5看出，最主要參數(shù)為一系懸掛阻尼，靈敏度值達(dá)0.9，二系懸掛剛度靈敏度值排第二，相對(duì)不大，其它參數(shù)基本可忽略。因兩轉(zhuǎn)向架相互獨(dú)立，第二構(gòu)架輪對(duì)對(duì)第一構(gòu)架垂向振動(dòng)作用通過車體浮沉運(yùn)動(dòng)及點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)傳遞。故圖6中二系懸掛參數(shù)與車輛定距之半靈敏度值相比較圖5均明顯提高。此外，圖3～圖6各自顯示的總靈敏度較一階靈敏度總體趨勢(shì)相似，總靈敏度值有一定變化，但變化不很大，說明參數(shù)間存在彼此相互作用，影響不很大。若對(duì)車體及構(gòu)架的沉浮運(yùn)動(dòng)與車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)絕對(duì)傳遞率進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，可綜合考慮各部分參數(shù)靈敏度分析，篩選出參與優(yōu)化過程參數(shù)。

3 結(jié) 論

采用EFAST法，本文首次對(duì)典型軌道車輛垂向模型隔振效果進(jìn)行全局靈敏度分析。結(jié)論如下：

(1) 二系、一系懸掛阻尼及二系懸掛剛度取值變化對(duì)車體垂向振動(dòng)絕對(duì)傳遞率影響較大；車體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)絕對(duì)傳遞率變化程度受一系懸掛阻尼、二系懸掛參數(shù)及車輛定距之半影響明顯；輪對(duì)對(duì)其所屬構(gòu)架絕對(duì)傳遞率影響，主要為一系懸掛阻尼貢獻(xiàn)；由于二者間作用力可通過車體相互傳遞，某轉(zhuǎn)向架一、二系懸掛參數(shù)及車輛定距之半，對(duì)另一構(gòu)架垂向振動(dòng)亦存在一定影響；對(duì)比各參數(shù)總靈敏度與一階靈敏度發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)間存在一定相互作用，彼此并非完全獨(dú)立，但相互影響較小。

(2) 本文研究能較好體現(xiàn)全局靈敏度分析EFAST法計(jì)算量較小、所得結(jié)果直觀清晰、便于分析等優(yōu)點(diǎn)，研究結(jié)果與采用其它方法結(jié)論一致，證明EFAST法可用于軌道車輛模型系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)；其分析思路與研究方法也可適應(yīng)更復(fù)雜的大型系統(tǒng)研究模型，如車輛空間模型、車輛-軌道-橋梁耦合系統(tǒng)等非線性問題。

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