四元數(shù)矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式*

黃 莉

(武漢商學(xué)院信息工程系 湖北武漢 430056)

四元數(shù)矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式*

黃 莉

(武漢商學(xué)院信息工程系 湖北武漢 430056)

本文研究了四元數(shù)矩陣的右特征值、左特征值的存在性，并且比較了它們之間的差異，最后給出了在特殊情況下四元數(shù)矩陣右、左特征值統(tǒng)一的一個(gè)充分條件.

四元數(shù)矩陣，復(fù)表示陣，特征值，特征多項(xiàng)式

由于四元數(shù)乘法不滿足交換律，這使得四元數(shù)矩陣的特征值與特征多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)比常規(guī)矩陣復(fù)雜得多.

設(shè)R為實(shí)數(shù)域，C為復(fù)數(shù)域，記

Q{q|q∈R+Ri+Rj+Rk,ij=-ji=k,i2=j2=k2=-1}

定義1[1]設(shè)A∈Qn×n，若存在λ∈Q及0≠α∈Qn×1，使得Aα=αλ(或Aα=λα)，則稱λ為A的右(或左)特征值.而稱α為A的屬于右(或左)特征值λ的特征向量，如果λ既是A的右特征值，又是A的左特征值，則稱 為A的特征值.

注：①四元數(shù)矩陣A的右特征值不一定是左特征值，反之，左特征值也不一定是右特征值.

②由Aα=αλ?A(αq)=(Aα)q=αλq=αqq-1λq(?q∈Q)知若λ為A的右特征值，則任何與λ在Q上相似的四元數(shù)q-1λq也為A的右特征值，故A的右特征值若存在則有無窮多個(gè)，記這無窮多個(gè)右特征值的集合為[λ].但左特征值沒有這樣的性質(zhì).

定義2[2]設(shè)A∈Qm×n，則稱‖λI-A‖為A的重特征多項(xiàng)式，記為FA(λ)，即FA(λ=‖λIn-A‖.

引理1[1]設(shè)A=A1+A2j∈Qm×n，其中A1，A2∈Cm×n則AH=A1H-A1Tj.

引理2[3]設(shè)A,B∈Qn×n，則Ac=Bc?A=B;(A+B)c,(AB)c=AcBc;(f(A))c=f(Ac)其中f(x)為R上多項(xiàng)式.

定理1[4]一個(gè)復(fù)數(shù)λ是四元數(shù)矩陣A∈Qn×n的一個(gè)右特征值?λ為A的擬特征多項(xiàng)式fAc(λ)的根.

以常見的居住建設(shè)項(xiàng)目選址為例，由于居住用地項(xiàng)目主要以多層、中高層及高層單元式居住建筑為主、配套設(shè)施齊全、布局完整的用地，該類項(xiàng)目在城市分布廣泛，在居住用地中占主導(dǎo)地位。因此，在選址過程中，除了考慮政府的管控限制條件，還需權(quán)衡區(qū)位交通便捷度、市政交通的可達(dá)性、公共服務(wù)設(shè)施配套。根據(jù)設(shè)定的因子評價(jià)體系對篩選出來的符合條件候選圖斑進(jìn)行綜合打分，最后生成選址分析對比報(bào)告如圖6。

定理2[5]任何n階四元數(shù)矩陣A至少有一個(gè)在Q上的左特征值.

證明(筆者用拓?fù)渲R來反證)記Ax=λx為(λI-A)x=0，假設(shè)λI-A對于 非奇異，即(λI-A)x=0只有零解，也即A無左特征值，筆者下面考慮Q上的n階可逆陣組成的線性群GL(n,Q)，

令f(t,λ)∶=ft(λ)=tλI-A0≤t≤1， |λ|=1,

g(t,λ)∶=gt(λ)=λI-tA0≤t≤1 |λ|=1,

故假設(shè)不成立，則任意四元數(shù)矩陣至少有一個(gè)在Q上的左特征值.

定理3[2]λ∈Q為A∈Qn×n的一個(gè)左特征值?λ為A重特征多項(xiàng)式FA(λ)的根.

注：①筆者知道四元數(shù)矩陣的左，右特征值沒有必然聯(lián)系，則由定理1和定理3知，四元數(shù)矩陣的重特征多項(xiàng)式和擬特征多項(xiàng)式也沒有必然聯(lián)系.

② 由于A的擬特征多項(xiàng)式與右特征值都與A的復(fù)表示陣Ac有密切聯(lián)系，故由復(fù)數(shù)域C上矩陣?yán)碚撝脑獢?shù)矩陣A的擬特征多項(xiàng)式與右特征值都是相似變換的不變量.但重特征多項(xiàng)式與左特征值都不是相似變換的不變量，但加上一定的限制條件筆者有如下定理：

定理4 若A∈Qn×n為自共軛陣，則A的左，右特征值統(tǒng)一，此時(shí)FA(λ)=FAc(λ).

證： 設(shè)A=A1+A2jA1，A2∈Cn×n，則由引理1知AH=A1H-A2Tj，由于A=AH，則：

設(shè)λ=λ1+λ2j(λ1,λ2∈C是A的任一右特征值，則存在0≠α∈Qn×1，s.t.Aα=αλ另設(shè)：

α=α1+α2j(α1,α2∈Cn×1且不全為0)?(A1+A2j)(α1+α2j)=(α1+α2j)(λ1+λ2j),

由引理1，上式左右兩邊可化簡為：

由復(fù)分解式的唯一性得：

(1)

(2)

由于

(3)

將方程組(3)第1個(gè)矩陣方程取共軛轉(zhuǎn)置，注意到A1=A1H，再用第2個(gè)矩陣方程去減，得：

顯然，若λ∈R，且存在0≠α∈Qn×1，使Aα=αλ則Aα=αλ=λα故λ也為A的左特征值.即A的左，右特征值統(tǒng)一，則由定理1和定理3知FA(λ)=fAc(λ).

[1]李文亮.四元數(shù)矩陣[M].長沙：國防科技大學(xué)出版社，2002.32.

[2]李樣明.四元數(shù)矩陣?yán)碚撝械膸讉€(gè)概念間的關(guān)系[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，41(3)：583.

[3]Fuzhen Zhang. Quaternions and matrices of quaternions linear algebra and its applications[J]. Linear Algbra and its Applications,1997，251(15)：21.

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(責(zé)任編輯李平)

2013年度武漢市屬高校教學(xué)研究項(xiàng)目(編號 2013132)成果。

2014-1-13

黃莉，ihuangli@foxmail.com。

O 151.2

A

1674-9545(2014)02-0056-(03)