平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿數(shù)控加工誤差分析研究

(四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽 618000)

平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副是20世紀(jì)70年代由我國首創(chuàng)的一種優(yōu)良傳動副[1]。作為一種可靠的重載傳動副，它具有承載能力強(qiáng)、傳動效率高、使用壽命長等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于冶金礦山機(jī)械、化工硫化機(jī)械、軍艦和船舶甲板機(jī)械[2]。雖然平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副是我國的原創(chuàng)技術(shù)，但是加工高精度蝸桿副比較困難；所以，國內(nèi)平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動與國外的類似蝸桿傳動產(chǎn)品相比還是存在較大差距[3-10]。在機(jī)械加工中，機(jī)床加工精度最終是由刀具與工件間的相對位移決定的，刀具與工件間的誤差可用誤差數(shù)學(xué)模型來表示。本文根據(jù)多體系統(tǒng)理論及運動副的誤差運動學(xué)原理對包含2個移動副和2個轉(zhuǎn)動副并考慮幾何誤差和熱誤差等共計37個誤差元素的四軸數(shù)控蝸桿加工機(jī)床建立空間幾何誤差模型[3]。

1 理論基礎(chǔ)

第1次包絡(luò)過程的坐標(biāo)設(shè)置如圖1所示。Sj為蝸桿的靜坐標(biāo)系。S1為與蝸桿固聯(lián)的動坐標(biāo)系。S0為工作臺的固定坐標(biāo)系，也即蝸輪的靜坐標(biāo)系。S2為與工作臺一起轉(zhuǎn)動的動坐標(biāo)系即蝸輪的動坐標(biāo)系[4]。

圖1 包絡(luò)坐標(biāo)系的建立

利用空間嚙合原理和旋轉(zhuǎn)變換矩陣法可推導(dǎo)出蝸桿理論廓面方程為:

(1)

由蝸桿齒面方程[1]可知，式(1)為關(guān)于u和φ2(φ1)的函數(shù)，且其齒面接觸線為直線。φ2、φ1分別為第2次和第1次包絡(luò)轉(zhuǎn)角。當(dāng)確定某一φ2(φ1)值時，即得到某一時刻蝸桿齒面上的一條接觸線，此時變換u值即可得此接觸線上沿齒高方向的不同點。φ2和u值范圍可由以下幾何關(guān)系[5]求得：

(2)

式中：φi為蝸桿工作起始角；φh為蝸桿工作半角；rf2、ra2分別為與蝸桿配對的蝸輪的齒根圓弧半徑和齒頂圓弧半徑。

構(gòu)造蝸桿齒面時，首先將工作角φ2以一定的步長進(jìn)行離散，然后在每一確定的φ2處取u的最大值和最小值分別代入蝸桿齒面方程式即可得到接觸線兩端點，最后將所有點擬合即可得蝸桿齒面。

2 機(jī)床幾何空間誤差建模理論

本節(jié)詳細(xì)介紹蝸桿加工數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)、低序陣列圖以及低序體陣列表。下面根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)給出各軸運動誤差。圖2中四軸加工機(jī)床在實際加工中每根運動軸將包含6項運動誤差：TMX、TMY、TMZ、RMX、RMY、RMZ。其中，RMX、RMY、RMZ是轉(zhuǎn)動誤差，TMX、TMY、TMZ是移動誤差。機(jī)床在加工工件過程中所有的誤差都是在變化的，所以移動量與轉(zhuǎn)動量也是變化的；因此，機(jī)床就產(chǎn)生了24(4×6)項運動誤差。同時，主軸產(chǎn)生3項熱漂移誤差，X、Y、A、B軸又會產(chǎn)生4項垂直誤差，分別是Sxz、Sax、Say、Syx、Sab，一共37項誤差。T、R、S分別表示移動誤差、轉(zhuǎn)動誤差、垂直度誤差[6]。求出的各特征矩陣如下。

圖2 蝸桿加工機(jī)床示意圖

1)主軸與Y軸的轉(zhuǎn)換矩陣

(3)

2)Y軸的轉(zhuǎn)動變換矩陣

VXY=[VXY]pe[VXY]s[VXY]se=

(4)

其中，Y為其角位移。

3)X軸的移動變換矩陣

VZX=[VZX]pe[VZX]s[VZX]se=

(5)

其中，X為其角位移。

4)Z軸的移動變換矩陣

VOZ=[VOZ]s[VOZ]se=

(6)

其中，Z為其移動位移。

5)A軸的轉(zhuǎn)動變換矩陣

VOA=[VZX]pe[VZX]s[VZX]se=

(7)

其中，A表示其角位移。

6)B軸的轉(zhuǎn)動變換矩陣

VTB=[VTB]pe[VTB]s[VTB]se=

(8)

其中，B表示其角位移。

設(shè)刀尖點在刀具坐標(biāo)系的位置矢量t=[0 0 0]T，理論切削點在工件坐標(biāo)系中的位置矢量w=[xWyWzW]T，那么刀尖點和理論切削點在機(jī)床床身坐標(biāo)系中的位置矢量tO、wO分別為：

(9)

式中：VOZVZXVXYVYT表示從刀具到床身的刀具分支坐標(biāo)變換矩陣；VOA表示從工件到床身的工件分支坐標(biāo)變換矩陣。

令e=[ΔxΔyΔz]T表示機(jī)床加工的誤差矢量，則有

(10)

用牛頓迭代法[5]求解和φc的值，將其代入理論工作廓面方程即可得蝸桿理論廓面上點P2的坐標(biāo)(x,y,z)。平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面的法向誤差為

(11)

式中：P1是誤差點；P2是蝸桿理論廓面上的點。

將式(3)—(10)的變換矩陣帶入式(11)，計算得機(jī)床加工蝸桿廓面誤差

Re=R·VOZVZXVXYVYTVTB-C

(12)

式中C為蝸桿毛坯的轉(zhuǎn)動中心在第1次包絡(luò)坐標(biāo)系的位矢量。

3 計算結(jié)果與實例分析

3.1 蝸桿法向誤差計算

本文以一蝸桿計算為例進(jìn)行分析。蝸桿的具體參數(shù)：中心距a=200 mm，基圓半徑rb=65 mm，蝸桿分度圓直徑d1=70 mm，母平面傾角β=10°35′,蝸桿頭數(shù)=1，傳動比i=40，蝸桿工作起始角φi=7°14′,蝸桿工作半角φh=15°5′，rf2=157.575 mm,ra2=170.775 mm。

由式(1)、(2)可得φ2、u的范圍分別是：7°14′≤φ2≤39°10′；143.544 mm≤u≤157.920 mm。誤差計算時蝸桿坐標(biāo)系X2=h的步長取為1 mm，S2動坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角φ2的步長取為4°進(jìn)行計算。

設(shè)各軸誤差偏移量為1×10-3mm，角誤差轉(zhuǎn)動量為0.5×10-6rad，誤差數(shù)據(jù)如圖3—8。

圖3 X軸誤差對法向誤差的影響

圖4 Y軸誤差對法向誤差的影響

圖5 Z軸誤差對法向誤差的影響

圖6 A軸誤差對法向誤差的影響

圖7 綜合誤差對法向誤差的影響

3.2 結(jié)果分析

如圖3—8所示，在蝸桿副數(shù)控機(jī)床切削加工中，根據(jù)輸出的蝸桿副誤差輸出數(shù)據(jù)，取機(jī)床原始誤差對蝸桿法向誤差的影響平均值進(jìn)行排序，從大到小為Z軸、主軸、A軸、X軸。

X軸對法向誤差的影響在7°～23°區(qū)間遞減，在23°～39°區(qū)間上升，沿著u方向誤差增加，如圖3所示。Y軸對法向誤差的影響在7°～19°區(qū)間遞減，在19°～39°區(qū)間沿著u方向增加0.002 mm，如圖4所示。Z軸對法向誤差的影響在7°～23°區(qū)間線性遞減，在23°～39°區(qū)間變化不大，且沿u坐標(biāo)方向誤差很小，可以認(rèn)為u對Z軸的誤差幾乎沒影響，如圖5所示。A軸對法向誤差的影響在7°～19°區(qū)間遞減，在23°～39°區(qū)間變化不大，且沿u方向的誤差遞增，Δe≤0.001 mm。綜合誤差對法向誤差的影響在7°～23°區(qū)間遞減，在23°～39°區(qū)間遞增呈U型分布，在23°取得最小，e=0.003 mm。

4 結(jié)論

1)引入數(shù)控機(jī)床各軸運動誤差到平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面誤差分析中，推導(dǎo)出包含機(jī)床各軸運動誤差的平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿誤差廓面方程，給出了平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面法向誤差的計算方法。

2)通過實例計算分析，其結(jié)果表明，機(jī)床綜合誤差對平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面精度影響較大，所以在平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿實際加工過程中必須嚴(yán)格控制這些綜合誤差。

3)本文的研究成果對于數(shù)控機(jī)床各軸運動誤差補(bǔ)償和平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿廓面精度的預(yù)測以及高精度平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿的制造提供了理論參考。

[1]周良墉. 環(huán)面蝸桿的曲率修形原理[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2002， 38(2): 112-115.

[2]Chen K， Tsay C. Mathematical Model and Worm Wheel Tooth Working Surfaces of the ZN-type Hourglass Worm Gear Set[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009,44(9): 1701-1712.

[3]任永強(qiáng)，楊建國，竇小龍，等. 五軸數(shù)控機(jī)床綜合誤差建模分析[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2003,37(1): 70-75.

[4]夏江敬, 胡劍,張仲甫，等.平面二次包絡(luò)環(huán)面蝸輪副三維建模與數(shù)控仿真[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報:信息與管理工程版, 2003，25(1): 81-83.

[5]黃安貽，夏江敬，張仲甫，等. 平面包絡(luò)環(huán)面蝸桿嚙合齒面的結(jié)構(gòu)特性及其應(yīng)用[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報:信息與管理工程版, 2003，25(1):67-70.

[6]粟時平，李圣怡. 多體系統(tǒng)理論在數(shù)控加工精度軟件預(yù)測中的應(yīng)用[J]. 組合機(jī)床與自動化加工技術(shù), 2004 (3) :28-32.

[7]單樂生，徐燕申，陳永亮，等. 基于CAD平臺及其開發(fā)工具的箱體類零件CAD/CAPP集成系統(tǒng)開發(fā)技術(shù)[J]. 制造業(yè)自動化, 1999 (5) :15-18.

[8]Zhao Y D, Su Z Zhang. Meshing Analysis and Technological Parameters Selection of Dual Tori Double-enveloping Toroidal Worm Drive[J]. Mechanism and Machine Theory, 2010, 45(9): 1269-1285.

[9]Oiwa T K , Kobayashi A Toyama. Grinding of Highly Accurate Hourglass Worm Gears: Trial Manufacture of the Worm Grinding Device[J]. Precision Engineering, 1990, 12(2): 85-90.

[10]段振云，金嘉琦，鄭鵬，等. 齒輪整體誤差測量過程的平差效應(yīng)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2001，37 (2) :55-57.