淺析凱尼曼心理學(xué)對(duì)概率教學(xué)的影響

紀(jì)祥

人類(lèi)擁有極高的智慧和豐富的思維能力。凱尼曼教授和他的同事特維斯基通過(guò)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)并不能時(shí)刻保持思維清晰，當(dāng)面臨不確定因素時(shí)，人類(lèi)通常不會(huì)先去分析那些信息，或查找相關(guān)的數(shù)據(jù)，相反，他們更傾向于通過(guò)自己的直覺(jué)去判斷所面臨的問(wèn)題，而最終的結(jié)果證明他們往往是錯(cuò)的。下面的故事可以充分說(shuō)明凱尼曼他們的發(fā)現(xiàn)。

在一個(gè)有50個(gè)學(xué)生的班級(jí)，美國(guó)斯坦福大學(xué)商學(xué)院的數(shù)學(xué)教授庫(kù)珀和他的學(xué)生打賭：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個(gè)人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”幾個(gè)男學(xué)生舉起手來(lái)，另外七八個(gè)學(xué)生也掏出5美元扔在桌子上。有的學(xué)生暗想：一年365天，我們班只有50個(gè)同學(xué)，同一天生日的可能性也太小了，庫(kù)珀這不是白送錢(qián)嗎？

結(jié)果怎么樣呢？當(dāng)然是教授贏了。教授用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出50個(gè)人中沒(méi)有兩個(gè)人同一天生日的概率只有3%，而至少有兩個(gè)人同一天生日的概率就有97%，也就是說(shuō)，教授贏的把握足足有九成以上。

凱尼曼教授最重要的成果是關(guān)于不確定情形下，人類(lèi)如何作決策的研究，他證明了人類(lèi)的決策行為如何系統(tǒng)性地偏離標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)濟(jì)理論所預(yù)測(cè)的結(jié)果。那么凱尼曼心理學(xué)對(duì)概率教學(xué)到底有哪些影響呢？

一、代表性啟發(fā)的偏差

事實(shí)上，人們總是不自覺(jué)地根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，為各類(lèi)事物塑造了它們各自的原型。該原型具有本群體的最典型特征和最大代表性，做決策時(shí)，人們往往是將事物與各個(gè)原型相對(duì)照，一旦對(duì)照匹配相似，就將其歸入該原型所代表的范疇。由代表性啟發(fā)法造成的認(rèn)知偏差基本就表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：對(duì)基率或者先驗(yàn)概率敏感性低；結(jié)合效應(yīng)和小數(shù)法則。

凱尼曼教授論證了在不確定情形下，人們?cè)趯?duì)事物的判斷上出現(xiàn)的一個(gè)基本偏差就是，人們應(yīng)用小數(shù)法則，把從小樣本和大樣本中得到的經(jīng)驗(yàn)平均值賦予相同的概率分布，因此違反了概率論中的大數(shù)法則。

經(jīng)常可以看到學(xué)生有以下的錯(cuò)誤：在擲硬幣活動(dòng)中，如果前面7次得到的結(jié)果都是正面，那么第8次的結(jié)果會(huì)如何？許多學(xué)生會(huì)認(rèn)為結(jié)果更可能是反面。這種認(rèn)識(shí)上的偏差就是應(yīng)用了小數(shù)法則簡(jiǎn)單地認(rèn)為：8次試驗(yàn)中應(yīng)該是4次正面和4次反面，現(xiàn)在已經(jīng)知道前7次是正面，那么第8次出現(xiàn)反面的可能性就大了。其實(shí)大數(shù)法則是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗(yàn)中，個(gè)別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會(huì)相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來(lái)。大數(shù)法則中強(qiáng)調(diào)試驗(yàn)次數(shù)的大量性，在很少的幾次試驗(yàn)中，規(guī)律不一定顯現(xiàn)出來(lái)，也就是說(shuō)，8次擲硬幣試驗(yàn)中結(jié)果未必是4次正面和4次反面。

在教學(xué)過(guò)程中，教師有時(shí)也會(huì)不經(jīng)意用到應(yīng)用小數(shù)法則。例如，為了向?qū)W生解釋“游戲的公平性”，在課堂上組織了摸球的游戲（學(xué)生在裝有4個(gè)白球、4個(gè)黃球的袋子里重復(fù)摸球30次）。10組學(xué)生匯報(bào)的白、黃球摸到的結(jié)果分別是：（15，15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、（16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15，15）（數(shù)據(jù)中的前一個(gè)數(shù)是白球被摸到的次數(shù)，后一個(gè)數(shù)是黃球被摸到的次數(shù)）。在最后總結(jié)結(jié)論時(shí)，教師卻只將其中的三組（15，15）的數(shù)據(jù)寫(xiě)在了黑板上，并向?qū)W生提出問(wèn)題：“通過(guò)這個(gè)游戲，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”有的學(xué)生說(shuō)：“白球和黃球被摸到的次數(shù)是相等的?！苯處熀芸斓卣f(shuō)：“通過(guò)游戲得到的結(jié)果可以說(shuō)明這個(gè)游戲是公平的?！苯處煂?duì)其他小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果再?zèng)]有繼續(xù)講解、說(shuō)明。其實(shí)我們應(yīng)該知道：在這個(gè)試驗(yàn)中，重復(fù)摸球30次球，未必一定是15次白球和15次黃球，這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是很小的。

小數(shù)法則也使得人們易于從一個(gè)短序列（小樣本）中過(guò)分地推斷潛在的大樣本的概率分布。我們都有過(guò)這樣的經(jīng)驗(yàn)：如果一個(gè)人能連續(xù)幾次預(yù)測(cè)正確，那么我們就會(huì)相信他的判斷力，并且認(rèn)為他下次的預(yù)測(cè)一定是正確的。

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，一位三年級(jí)教師在講解“可能性”一課時(shí)，把學(xué)生分成4人一組，每組有3個(gè)黃球和1個(gè)紅球，每次摸一個(gè)球，摸10次，請(qǐng)學(xué)生先進(jìn)行猜測(cè)。學(xué)生的猜測(cè)結(jié)果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六種。操作結(jié)果情況如下：（8，2）、（7，3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、（5，5）。在課堂實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，教師提出問(wèn)題：“誰(shuí)的猜測(cè)是對(duì)的呢？”顯然，有兩組實(shí)際的結(jié)果是（5，5）。在實(shí)際數(shù)據(jù)面前，教師不得不承認(rèn)（5，5）的估計(jì)也是很準(zhǔn)的。事實(shí)上，教學(xué)中所用的實(shí)驗(yàn)方法“每人做10次、20次，小組不過(guò)百次，全班不過(guò)千次”，根據(jù)大數(shù)定律，試驗(yàn)的次數(shù)太小，不一定能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)反而把學(xué)生弄糊涂了。

教學(xué)啟示：小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該在一定的情況下滲透大數(shù)法則的思想。課堂上每組摸球30次，10個(gè)人合起來(lái)也不過(guò)300次，太少了。這時(shí)可以用計(jì)算機(jī)軟件解決這樣的問(wèn)題：“要拋多少次才能判斷硬幣正面朝上接近1/2？”也可以通過(guò)數(shù)學(xué)史上一些著名數(shù)學(xué)家的擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，說(shuō)明重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，正面、反面的可能性就會(huì)趨向相等。

二、可得性啟發(fā)的偏差

當(dāng)人們遇到未知事物沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可循的時(shí)候，通常會(huì)根據(jù)該事物可想象的難易程度來(lái)判定它的發(fā)生概率。例如，從一個(gè)21人組成的樣本中抽取2人組織評(píng)委會(huì)和從一個(gè)同樣大的樣本中抽取19人組織評(píng)委會(huì)，問(wèn)這兩種情況的組織方式各有多少種？這個(gè)問(wèn)題讓兩組被試成員對(duì)上述兩種情況進(jìn)行直覺(jué)判斷，他們都認(rèn)為：第一種情況的結(jié)果要遠(yuǎn)大于第二種情況的結(jié)果。而實(shí)際上，由任意兩人組成的一個(gè)評(píng)委會(huì)的同時(shí)，樣本中余下的19人也就相應(yīng)地形成一個(gè)組織，所以這兩種情況下的答案應(yīng)是相同的。而之所以會(huì)有這樣大的偏差，就是因?yàn)閮扇说慕M成情況更容易在我們的想象中進(jìn)行。

教學(xué)啟示：學(xué)生經(jīng)常會(huì)依靠直覺(jué)來(lái)解決一些看起來(lái)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這是人的正常心理。教師對(duì)于看似簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，都存有如此“可怕”的錯(cuò)誤，況且尚在成長(zhǎng)過(guò)程中的學(xué)生。當(dāng)學(xué)生被告知他們的答案是不正確時(shí)，他們的頭腦里一定會(huì)出現(xiàn)困惑與疑問(wèn)，此時(shí)教師的工作就是讓學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考，經(jīng)歷思維和智力的歷險(xiǎn)，使他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解更準(zhǔn)確、更深入。

三、錨定啟發(fā)式的偏差

這種效應(yīng)是凱尼曼和特維斯基早期在進(jìn)行關(guān)于啟發(fā)式思維和認(rèn)知偏差的研究中發(fā)現(xiàn)的。在他們的研究過(guò)程中，先讓接受測(cè)試者啟動(dòng)未來(lái)之輪（一種上面有很多數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，這些數(shù)字是隨機(jī)的），并看著轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)字，然后估計(jì)另外一個(gè)事件（比如，加入聯(lián)合國(guó)的非洲國(guó)家）的數(shù)量。凱尼曼和特維斯基對(duì)結(jié)果分析后發(fā)現(xiàn)，面對(duì)著有較小數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，受試者估計(jì)了一個(gè)較小的數(shù)量，而面對(duì)具有較大數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，受試者估計(jì)了一個(gè)較大的數(shù)量。

“錨定啟發(fā)式”是我們?cè)谧鳑Q策和判斷時(shí)經(jīng)常采用的一種方法，即先把自己“錨定”在某個(gè)事物上，然后再根據(jù)事物的特性進(jìn)行判斷。

例如，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)恰好相等的概率又是怎樣的呢？我們認(rèn)為隨著擲硬幣次數(shù)的增加，這個(gè)概率是增加的，因?yàn)檫@個(gè)事件發(fā)生的概率“錨定”在“擲硬幣次數(shù)越多，正反面出現(xiàn)的可能性都趨于二分之一”上。但實(shí)際結(jié)果卻與學(xué)生的判斷相反，擲硬幣2次時(shí)出現(xiàn)正反兩面各1次的概率是50%，擲6次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各3次的概率是31.26%，而擲10次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各5次的概率是24.62%，當(dāng)擲100次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各50次的概率卻只有大約8%。

教學(xué)啟示：人們傾向于根據(jù)留在大腦里的最新信息片斷對(duì)事物做出決定，而不取決于這個(gè)信息是否與事件相關(guān)。但我們不能根據(jù)這些來(lái)武斷做決定，而要根據(jù)事實(shí)做分析。這種根據(jù)數(shù)學(xué)方法分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力是學(xué)生走上社會(huì)面對(duì)工作所必需的。學(xué)生學(xué)習(xí)概率的目的之一就是意識(shí)到概率和確定性數(shù)學(xué)一樣，是科學(xué)的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實(shí)世界中的眾多問(wèn)題，從而逐漸樹(shù)立起新的信念。

總之，概率與確定性數(shù)學(xué)有許多不同之處，廣大教師必須掌握、弄懂有關(guān)概率的知識(shí)。同時(shí)，教師還必須了解相關(guān)的心理學(xué)知識(shí)，如凱尼曼心理學(xué)，這樣才能更好地開(kāi)展概率內(nèi)容的教學(xué)與研究，同時(shí)讓學(xué)習(xí)概率的心理體驗(yàn)與理性思考成為解決不確定問(wèn)題的有力武器。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

人類(lèi)擁有極高的智慧和豐富的思維能力。凱尼曼教授和他的同事特維斯基通過(guò)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)并不能時(shí)刻保持思維清晰，當(dāng)面臨不確定因素時(shí)，人類(lèi)通常不會(huì)先去分析那些信息，或查找相關(guān)的數(shù)據(jù)，相反，他們更傾向于通過(guò)自己的直覺(jué)去判斷所面臨的問(wèn)題，而最終的結(jié)果證明他們往往是錯(cuò)的。下面的故事可以充分說(shuō)明凱尼曼他們的發(fā)現(xiàn)。

在一個(gè)有50個(gè)學(xué)生的班級(jí)，美國(guó)斯坦福大學(xué)商學(xué)院的數(shù)學(xué)教授庫(kù)珀和他的學(xué)生打賭：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個(gè)人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”幾個(gè)男學(xué)生舉起手來(lái)，另外七八個(gè)學(xué)生也掏出5美元扔在桌子上。有的學(xué)生暗想：一年365天，我們班只有50個(gè)同學(xué)，同一天生日的可能性也太小了，庫(kù)珀這不是白送錢(qián)嗎？

結(jié)果怎么樣呢？當(dāng)然是教授贏了。教授用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出50個(gè)人中沒(méi)有兩個(gè)人同一天生日的概率只有3%，而至少有兩個(gè)人同一天生日的概率就有97%，也就是說(shuō)，教授贏的把握足足有九成以上。

凱尼曼教授最重要的成果是關(guān)于不確定情形下，人類(lèi)如何作決策的研究，他證明了人類(lèi)的決策行為如何系統(tǒng)性地偏離標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)濟(jì)理論所預(yù)測(cè)的結(jié)果。那么凱尼曼心理學(xué)對(duì)概率教學(xué)到底有哪些影響呢？

一、代表性啟發(fā)的偏差

事實(shí)上，人們總是不自覺(jué)地根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，為各類(lèi)事物塑造了它們各自的原型。該原型具有本群體的最典型特征和最大代表性，做決策時(shí)，人們往往是將事物與各個(gè)原型相對(duì)照，一旦對(duì)照匹配相似，就將其歸入該原型所代表的范疇。由代表性啟發(fā)法造成的認(rèn)知偏差基本就表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：對(duì)基率或者先驗(yàn)概率敏感性低；結(jié)合效應(yīng)和小數(shù)法則。

凱尼曼教授論證了在不確定情形下，人們?cè)趯?duì)事物的判斷上出現(xiàn)的一個(gè)基本偏差就是，人們應(yīng)用小數(shù)法則，把從小樣本和大樣本中得到的經(jīng)驗(yàn)平均值賦予相同的概率分布，因此違反了概率論中的大數(shù)法則。

經(jīng)常可以看到學(xué)生有以下的錯(cuò)誤：在擲硬幣活動(dòng)中，如果前面7次得到的結(jié)果都是正面，那么第8次的結(jié)果會(huì)如何？許多學(xué)生會(huì)認(rèn)為結(jié)果更可能是反面。這種認(rèn)識(shí)上的偏差就是應(yīng)用了小數(shù)法則簡(jiǎn)單地認(rèn)為：8次試驗(yàn)中應(yīng)該是4次正面和4次反面，現(xiàn)在已經(jīng)知道前7次是正面，那么第8次出現(xiàn)反面的可能性就大了。其實(shí)大數(shù)法則是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗(yàn)中，個(gè)別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會(huì)相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來(lái)。大數(shù)法則中強(qiáng)調(diào)試驗(yàn)次數(shù)的大量性，在很少的幾次試驗(yàn)中，規(guī)律不一定顯現(xiàn)出來(lái)，也就是說(shuō)，8次擲硬幣試驗(yàn)中結(jié)果未必是4次正面和4次反面。

在教學(xué)過(guò)程中，教師有時(shí)也會(huì)不經(jīng)意用到應(yīng)用小數(shù)法則。例如，為了向?qū)W生解釋“游戲的公平性”，在課堂上組織了摸球的游戲（學(xué)生在裝有4個(gè)白球、4個(gè)黃球的袋子里重復(fù)摸球30次）。10組學(xué)生匯報(bào)的白、黃球摸到的結(jié)果分別是：（15，15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、（16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15，15）（數(shù)據(jù)中的前一個(gè)數(shù)是白球被摸到的次數(shù)，后一個(gè)數(shù)是黃球被摸到的次數(shù)）。在最后總結(jié)結(jié)論時(shí)，教師卻只將其中的三組（15，15）的數(shù)據(jù)寫(xiě)在了黑板上，并向?qū)W生提出問(wèn)題：“通過(guò)這個(gè)游戲，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”有的學(xué)生說(shuō)：“白球和黃球被摸到的次數(shù)是相等的?！苯處熀芸斓卣f(shuō)：“通過(guò)游戲得到的結(jié)果可以說(shuō)明這個(gè)游戲是公平的。”教師對(duì)其他小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果再?zèng)]有繼續(xù)講解、說(shuō)明。其實(shí)我們應(yīng)該知道：在這個(gè)試驗(yàn)中，重復(fù)摸球30次球，未必一定是15次白球和15次黃球，這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是很小的。

小數(shù)法則也使得人們易于從一個(gè)短序列（小樣本）中過(guò)分地推斷潛在的大樣本的概率分布。我們都有過(guò)這樣的經(jīng)驗(yàn)：如果一個(gè)人能連續(xù)幾次預(yù)測(cè)正確，那么我們就會(huì)相信他的判斷力，并且認(rèn)為他下次的預(yù)測(cè)一定是正確的。

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，一位三年級(jí)教師在講解“可能性”一課時(shí)，把學(xué)生分成4人一組，每組有3個(gè)黃球和1個(gè)紅球，每次摸一個(gè)球，摸10次，請(qǐng)學(xué)生先進(jìn)行猜測(cè)。學(xué)生的猜測(cè)結(jié)果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六種。操作結(jié)果情況如下：（8，2）、（7，3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、（5，5）。在課堂實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，教師提出問(wèn)題：“誰(shuí)的猜測(cè)是對(duì)的呢？”顯然，有兩組實(shí)際的結(jié)果是（5，5）。在實(shí)際數(shù)據(jù)面前，教師不得不承認(rèn)（5，5）的估計(jì)也是很準(zhǔn)的。事實(shí)上，教學(xué)中所用的實(shí)驗(yàn)方法“每人做10次、20次，小組不過(guò)百次，全班不過(guò)千次”，根據(jù)大數(shù)定律，試驗(yàn)的次數(shù)太小，不一定能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)反而把學(xué)生弄糊涂了。

教學(xué)啟示：小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該在一定的情況下滲透大數(shù)法則的思想。課堂上每組摸球30次，10個(gè)人合起來(lái)也不過(guò)300次，太少了。這時(shí)可以用計(jì)算機(jī)軟件解決這樣的問(wèn)題：“要拋多少次才能判斷硬幣正面朝上接近1/2？”也可以通過(guò)數(shù)學(xué)史上一些著名數(shù)學(xué)家的擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，說(shuō)明重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，正面、反面的可能性就會(huì)趨向相等。

二、可得性啟發(fā)的偏差

當(dāng)人們遇到未知事物沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可循的時(shí)候，通常會(huì)根據(jù)該事物可想象的難易程度來(lái)判定它的發(fā)生概率。例如，從一個(gè)21人組成的樣本中抽取2人組織評(píng)委會(huì)和從一個(gè)同樣大的樣本中抽取19人組織評(píng)委會(huì)，問(wèn)這兩種情況的組織方式各有多少種？這個(gè)問(wèn)題讓兩組被試成員對(duì)上述兩種情況進(jìn)行直覺(jué)判斷，他們都認(rèn)為：第一種情況的結(jié)果要遠(yuǎn)大于第二種情況的結(jié)果。而實(shí)際上，由任意兩人組成的一個(gè)評(píng)委會(huì)的同時(shí)，樣本中余下的19人也就相應(yīng)地形成一個(gè)組織，所以這兩種情況下的答案應(yīng)是相同的。而之所以會(huì)有這樣大的偏差，就是因?yàn)閮扇说慕M成情況更容易在我們的想象中進(jìn)行。

教學(xué)啟示：學(xué)生經(jīng)常會(huì)依靠直覺(jué)來(lái)解決一些看起來(lái)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這是人的正常心理。教師對(duì)于看似簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，都存有如此“可怕”的錯(cuò)誤，況且尚在成長(zhǎng)過(guò)程中的學(xué)生。當(dāng)學(xué)生被告知他們的答案是不正確時(shí)，他們的頭腦里一定會(huì)出現(xiàn)困惑與疑問(wèn)，此時(shí)教師的工作就是讓學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考，經(jīng)歷思維和智力的歷險(xiǎn)，使他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解更準(zhǔn)確、更深入。

三、錨定啟發(fā)式的偏差

這種效應(yīng)是凱尼曼和特維斯基早期在進(jìn)行關(guān)于啟發(fā)式思維和認(rèn)知偏差的研究中發(fā)現(xiàn)的。在他們的研究過(guò)程中，先讓接受測(cè)試者啟動(dòng)未來(lái)之輪（一種上面有很多數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，這些數(shù)字是隨機(jī)的），并看著轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)字，然后估計(jì)另外一個(gè)事件（比如，加入聯(lián)合國(guó)的非洲國(guó)家）的數(shù)量。凱尼曼和特維斯基對(duì)結(jié)果分析后發(fā)現(xiàn)，面對(duì)著有較小數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，受試者估計(jì)了一個(gè)較小的數(shù)量，而面對(duì)具有較大數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，受試者估計(jì)了一個(gè)較大的數(shù)量。

“錨定啟發(fā)式”是我們?cè)谧鳑Q策和判斷時(shí)經(jīng)常采用的一種方法，即先把自己“錨定”在某個(gè)事物上，然后再根據(jù)事物的特性進(jìn)行判斷。

例如，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)恰好相等的概率又是怎樣的呢？我們認(rèn)為隨著擲硬幣次數(shù)的增加，這個(gè)概率是增加的，因?yàn)檫@個(gè)事件發(fā)生的概率“錨定”在“擲硬幣次數(shù)越多，正反面出現(xiàn)的可能性都趨于二分之一”上。但實(shí)際結(jié)果卻與學(xué)生的判斷相反，擲硬幣2次時(shí)出現(xiàn)正反兩面各1次的概率是50%，擲6次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各3次的概率是31.26%，而擲10次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各5次的概率是24.62%，當(dāng)擲100次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各50次的概率卻只有大約8%。

教學(xué)啟示：人們傾向于根據(jù)留在大腦里的最新信息片斷對(duì)事物做出決定，而不取決于這個(gè)信息是否與事件相關(guān)。但我們不能根據(jù)這些來(lái)武斷做決定，而要根據(jù)事實(shí)做分析。這種根據(jù)數(shù)學(xué)方法分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力是學(xué)生走上社會(huì)面對(duì)工作所必需的。學(xué)生學(xué)習(xí)概率的目的之一就是意識(shí)到概率和確定性數(shù)學(xué)一樣，是科學(xué)的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實(shí)世界中的眾多問(wèn)題，從而逐漸樹(shù)立起新的信念。

總之，概率與確定性數(shù)學(xué)有許多不同之處，廣大教師必須掌握、弄懂有關(guān)概率的知識(shí)。同時(shí)，教師還必須了解相關(guān)的心理學(xué)知識(shí)，如凱尼曼心理學(xué)，這樣才能更好地開(kāi)展概率內(nèi)容的教學(xué)與研究，同時(shí)讓學(xué)習(xí)概率的心理體驗(yàn)與理性思考成為解決不確定問(wèn)題的有力武器。

（責(zé)編 金 鈴）endprint

人類(lèi)擁有極高的智慧和豐富的思維能力。凱尼曼教授和他的同事特維斯基通過(guò)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)并不能時(shí)刻保持思維清晰，當(dāng)面臨不確定因素時(shí)，人類(lèi)通常不會(huì)先去分析那些信息，或查找相關(guān)的數(shù)據(jù)，相反，他們更傾向于通過(guò)自己的直覺(jué)去判斷所面臨的問(wèn)題，而最終的結(jié)果證明他們往往是錯(cuò)的。下面的故事可以充分說(shuō)明凱尼曼他們的發(fā)現(xiàn)。

在一個(gè)有50個(gè)學(xué)生的班級(jí)，美國(guó)斯坦福大學(xué)商學(xué)院的數(shù)學(xué)教授庫(kù)珀和他的學(xué)生打賭：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個(gè)人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”幾個(gè)男學(xué)生舉起手來(lái)，另外七八個(gè)學(xué)生也掏出5美元扔在桌子上。有的學(xué)生暗想：一年365天，我們班只有50個(gè)同學(xué)，同一天生日的可能性也太小了，庫(kù)珀這不是白送錢(qián)嗎？

結(jié)果怎么樣呢？當(dāng)然是教授贏了。教授用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出50個(gè)人中沒(méi)有兩個(gè)人同一天生日的概率只有3%，而至少有兩個(gè)人同一天生日的概率就有97%，也就是說(shuō)，教授贏的把握足足有九成以上。

凱尼曼教授最重要的成果是關(guān)于不確定情形下，人類(lèi)如何作決策的研究，他證明了人類(lèi)的決策行為如何系統(tǒng)性地偏離標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)濟(jì)理論所預(yù)測(cè)的結(jié)果。那么凱尼曼心理學(xué)對(duì)概率教學(xué)到底有哪些影響呢？

一、代表性啟發(fā)的偏差

事實(shí)上，人們總是不自覺(jué)地根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，為各類(lèi)事物塑造了它們各自的原型。該原型具有本群體的最典型特征和最大代表性，做決策時(shí)，人們往往是將事物與各個(gè)原型相對(duì)照，一旦對(duì)照匹配相似，就將其歸入該原型所代表的范疇。由代表性啟發(fā)法造成的認(rèn)知偏差基本就表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：對(duì)基率或者先驗(yàn)概率敏感性低；結(jié)合效應(yīng)和小數(shù)法則。

凱尼曼教授論證了在不確定情形下，人們?cè)趯?duì)事物的判斷上出現(xiàn)的一個(gè)基本偏差就是，人們應(yīng)用小數(shù)法則，把從小樣本和大樣本中得到的經(jīng)驗(yàn)平均值賦予相同的概率分布，因此違反了概率論中的大數(shù)法則。

經(jīng)?？梢钥吹綄W(xué)生有以下的錯(cuò)誤：在擲硬幣活動(dòng)中，如果前面7次得到的結(jié)果都是正面，那么第8次的結(jié)果會(huì)如何？許多學(xué)生會(huì)認(rèn)為結(jié)果更可能是反面。這種認(rèn)識(shí)上的偏差就是應(yīng)用了小數(shù)法則簡(jiǎn)單地認(rèn)為：8次試驗(yàn)中應(yīng)該是4次正面和4次反面，現(xiàn)在已經(jīng)知道前7次是正面，那么第8次出現(xiàn)反面的可能性就大了。其實(shí)大數(shù)法則是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗(yàn)中，個(gè)別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會(huì)相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來(lái)。大數(shù)法則中強(qiáng)調(diào)試驗(yàn)次數(shù)的大量性，在很少的幾次試驗(yàn)中，規(guī)律不一定顯現(xiàn)出來(lái)，也就是說(shuō)，8次擲硬幣試驗(yàn)中結(jié)果未必是4次正面和4次反面。

在教學(xué)過(guò)程中，教師有時(shí)也會(huì)不經(jīng)意用到應(yīng)用小數(shù)法則。例如，為了向?qū)W生解釋“游戲的公平性”，在課堂上組織了摸球的游戲（學(xué)生在裝有4個(gè)白球、4個(gè)黃球的袋子里重復(fù)摸球30次）。10組學(xué)生匯報(bào)的白、黃球摸到的結(jié)果分別是：（15，15）、（17，13）、（12，18）、（11，19）、（15，15）、（16，14）、（11，19）、（12，18）、（17，13）、（15，15）（數(shù)據(jù)中的前一個(gè)數(shù)是白球被摸到的次數(shù)，后一個(gè)數(shù)是黃球被摸到的次數(shù)）。在最后總結(jié)結(jié)論時(shí)，教師卻只將其中的三組（15，15）的數(shù)據(jù)寫(xiě)在了黑板上，并向?qū)W生提出問(wèn)題：“通過(guò)這個(gè)游戲，你們發(fā)現(xiàn)了什么？”有的學(xué)生說(shuō)：“白球和黃球被摸到的次數(shù)是相等的?！苯處熀芸斓卣f(shuō)：“通過(guò)游戲得到的結(jié)果可以說(shuō)明這個(gè)游戲是公平的。”教師對(duì)其他小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果再?zèng)]有繼續(xù)講解、說(shuō)明。其實(shí)我們應(yīng)該知道：在這個(gè)試驗(yàn)中，重復(fù)摸球30次球，未必一定是15次白球和15次黃球，這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是很小的。

小數(shù)法則也使得人們易于從一個(gè)短序列（小樣本）中過(guò)分地推斷潛在的大樣本的概率分布。我們都有過(guò)這樣的經(jīng)驗(yàn)：如果一個(gè)人能連續(xù)幾次預(yù)測(cè)正確，那么我們就會(huì)相信他的判斷力，并且認(rèn)為他下次的預(yù)測(cè)一定是正確的。

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，一位三年級(jí)教師在講解“可能性”一課時(shí)，把學(xué)生分成4人一組，每組有3個(gè)黃球和1個(gè)紅球，每次摸一個(gè)球，摸10次，請(qǐng)學(xué)生先進(jìn)行猜測(cè)。學(xué)生的猜測(cè)結(jié)果如下：（6，4）、（5，5）、（8，2）、（9，1）、（7，3）、（10，0）六種。操作結(jié)果情況如下：（8，2）、（7，3）、（8，2）、（7，3）、（5，5）、（7，3）、（8，2）、（5，5）。在課堂實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，教師提出問(wèn)題：“誰(shuí)的猜測(cè)是對(duì)的呢？”顯然，有兩組實(shí)際的結(jié)果是（5，5）。在實(shí)際數(shù)據(jù)面前，教師不得不承認(rèn)（5，5）的估計(jì)也是很準(zhǔn)的。事實(shí)上，教學(xué)中所用的實(shí)驗(yàn)方法“每人做10次、20次，小組不過(guò)百次，全班不過(guò)千次”，根據(jù)大數(shù)定律，試驗(yàn)的次數(shù)太小，不一定能說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)反而把學(xué)生弄糊涂了。

教學(xué)啟示：小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該在一定的情況下滲透大數(shù)法則的思想。課堂上每組摸球30次，10個(gè)人合起來(lái)也不過(guò)300次，太少了。這時(shí)可以用計(jì)算機(jī)軟件解決這樣的問(wèn)題：“要拋多少次才能判斷硬幣正面朝上接近1/2？”也可以通過(guò)數(shù)學(xué)史上一些著名數(shù)學(xué)家的擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，說(shuō)明重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，正面、反面的可能性就會(huì)趨向相等。

二、可得性啟發(fā)的偏差

當(dāng)人們遇到未知事物沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可循的時(shí)候，通常會(huì)根據(jù)該事物可想象的難易程度來(lái)判定它的發(fā)生概率。例如，從一個(gè)21人組成的樣本中抽取2人組織評(píng)委會(huì)和從一個(gè)同樣大的樣本中抽取19人組織評(píng)委會(huì)，問(wèn)這兩種情況的組織方式各有多少種？這個(gè)問(wèn)題讓兩組被試成員對(duì)上述兩種情況進(jìn)行直覺(jué)判斷，他們都認(rèn)為：第一種情況的結(jié)果要遠(yuǎn)大于第二種情況的結(jié)果。而實(shí)際上，由任意兩人組成的一個(gè)評(píng)委會(huì)的同時(shí)，樣本中余下的19人也就相應(yīng)地形成一個(gè)組織，所以這兩種情況下的答案應(yīng)是相同的。而之所以會(huì)有這樣大的偏差，就是因?yàn)閮扇说慕M成情況更容易在我們的想象中進(jìn)行。

教學(xué)啟示：學(xué)生經(jīng)常會(huì)依靠直覺(jué)來(lái)解決一些看起來(lái)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這是人的正常心理。教師對(duì)于看似簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，都存有如此“可怕”的錯(cuò)誤，況且尚在成長(zhǎng)過(guò)程中的學(xué)生。當(dāng)學(xué)生被告知他們的答案是不正確時(shí)，他們的頭腦里一定會(huì)出現(xiàn)困惑與疑問(wèn)，此時(shí)教師的工作就是讓學(xué)生經(jīng)歷復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考，經(jīng)歷思維和智力的歷險(xiǎn)，使他們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解更準(zhǔn)確、更深入。

三、錨定啟發(fā)式的偏差

這種效應(yīng)是凱尼曼和特維斯基早期在進(jìn)行關(guān)于啟發(fā)式思維和認(rèn)知偏差的研究中發(fā)現(xiàn)的。在他們的研究過(guò)程中，先讓接受測(cè)試者啟動(dòng)未來(lái)之輪（一種上面有很多數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，這些數(shù)字是隨機(jī)的），并看著轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)字，然后估計(jì)另外一個(gè)事件（比如，加入聯(lián)合國(guó)的非洲國(guó)家）的數(shù)量。凱尼曼和特維斯基對(duì)結(jié)果分析后發(fā)現(xiàn)，面對(duì)著有較小數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，受試者估計(jì)了一個(gè)較小的數(shù)量，而面對(duì)具有較大數(shù)字的轉(zhuǎn)盤(pán)，受試者估計(jì)了一個(gè)較大的數(shù)量。

“錨定啟發(fā)式”是我們?cè)谧鳑Q策和判斷時(shí)經(jīng)常采用的一種方法，即先把自己“錨定”在某個(gè)事物上，然后再根據(jù)事物的特性進(jìn)行判斷。

例如，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，隨著擲硬幣次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面的次數(shù)和出現(xiàn)反面的次數(shù)恰好相等的概率又是怎樣的呢？我們認(rèn)為隨著擲硬幣次數(shù)的增加，這個(gè)概率是增加的，因?yàn)檫@個(gè)事件發(fā)生的概率“錨定”在“擲硬幣次數(shù)越多，正反面出現(xiàn)的可能性都趨于二分之一”上。但實(shí)際結(jié)果卻與學(xué)生的判斷相反，擲硬幣2次時(shí)出現(xiàn)正反兩面各1次的概率是50%，擲6次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各3次的概率是31.26%，而擲10次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各5次的概率是24.62%，當(dāng)擲100次硬幣時(shí)出現(xiàn)正反兩面各50次的概率卻只有大約8%。

教學(xué)啟示：人們傾向于根據(jù)留在大腦里的最新信息片斷對(duì)事物做出決定，而不取決于這個(gè)信息是否與事件相關(guān)。但我們不能根據(jù)這些來(lái)武斷做決定，而要根據(jù)事實(shí)做分析。這種根據(jù)數(shù)學(xué)方法分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力是學(xué)生走上社會(huì)面對(duì)工作所必需的。學(xué)生學(xué)習(xí)概率的目的之一就是意識(shí)到概率和確定性數(shù)學(xué)一樣，是科學(xué)的方法，能夠有效地解決現(xiàn)實(shí)世界中的眾多問(wèn)題，從而逐漸樹(shù)立起新的信念。

總之，概率與確定性數(shù)學(xué)有許多不同之處，廣大教師必須掌握、弄懂有關(guān)概率的知識(shí)。同時(shí)，教師還必須了解相關(guān)的心理學(xué)知識(shí)，如凱尼曼心理學(xué)，這樣才能更好地開(kāi)展概率內(nèi)容的教學(xué)與研究，同時(shí)讓學(xué)習(xí)概率的心理體驗(yàn)與理性思考成為解決不確定問(wèn)題的有力武器。

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