線性平移在捕食者—食餌數(shù)學模型穩(wěn)定性分析中的應用*

華極鑫,馮維龍,王 娜,姜玉秋

(吉林師范大學 數(shù)學學院,吉林 四平 136000)

線性平移在捕食者—食餌數(shù)學模型穩(wěn)定性分析中的應用*

華極鑫,馮維龍,王 娜,姜玉秋*

(吉林師范大學 數(shù)學學院,吉林 四平 136000)

文中通過線性平移的方法分析和討論捕食者-食餌系統(tǒng)的數(shù)學模型平衡點的穩(wěn)定性態(tài)，來描述和研究捕食種群和食餌種群規(guī)模隨時間的變化趨勢，并且用MATLAB進行了模擬，數(shù)值模擬和理論分析相一致.

線性平移;捕食者—食餌系統(tǒng);平衡點;穩(wěn)定性;數(shù)值模擬

考察共同生活在一確定的理想環(huán)境內(nèi)的捕食種群和食餌種群，假定沒有遷出和遷入發(fā)生，由于生育、死亡和種群的相互作用，兩種群的數(shù)量將隨著時間變化.由于部分捕食者以一種食餌為食，食餌通常會被殺死[1](捕食者食動物)或者造成很大的損害[1](捕食者食植物).為了預測捕食種群和食餌種群數(shù)量的變化規(guī)律，20世紀20年代Volterra提出了比較完備的捕食者-食餌系統(tǒng)的數(shù)學模型[2]，一般形式為：

(S)

那么為了更好的討論捕食者和食餌相互間關系，建立如下模型：

(M)其中r1>0，r2>0，b>0，d>0,a>0,c=kb>0.

x(t)和y(t)分別表示t時刻食餌與捕食者的數(shù)量或密度；r1為食餌種群的內(nèi)稟增長率，-r2表示不存在食餌時捕食者的死亡率；-ax2和-dy2分別為食餌和捕食者的種群密度對種群規(guī)模增長的抑制項(密度制約項)；c=kb表示當存在食餌種群時，捕食者對被捕食食餌的轉(zhuǎn)化率(k為轉(zhuǎn)化系數(shù))；-bxy為t時刻有y個捕食者吃掉食餌的總數(shù)量.

本文將對模型(M)運用數(shù)學理論和方法對其平衡點的穩(wěn)定性進行全面分析.

1 預備知識

為了方便討論，對于捕食者-食餌系統(tǒng)模型(M)給出相關定理及符號.

定理1[3]對于非線性系統(tǒng)

定理2 (1)q>0，p>0，Δ>0(兩特征根為不同實根且同號)，則平衡點漸近穩(wěn)定；q<0，則平衡點不穩(wěn)定；(2)q>0，p>0，Δ=0(特征根為重根)，則奇點漸近穩(wěn)定；p<0，則平衡點不穩(wěn)定;(3)q>0，p>0，Δ<0(兩共軛復特征根)，則奇點漸近穩(wěn)定；p<0，則平衡點不穩(wěn)定；p=0，平衡點穩(wěn)定，但非漸近穩(wěn)定.

定理2對于平衡點(0,0)的穩(wěn)定性分析很容易，那么對于平衡點不是(0,0)時，我們就得利用平移變換不改變平衡點的穩(wěn)定性態(tài)的性質(zhì)，對此平衡點作平移變換[4].

2 系統(tǒng)分析

2.1 系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性的分析

對于系統(tǒng)

考慮捕食者和食餌的實際生物學的涵義，我們在D={(x,y)|x≥0,y≥0}中討論.

其相應的自治系統(tǒng)

(1)對p1(0,0)，根據(jù)定理1.1，可知其線性近似系統(tǒng)為

λ2+(r2-r1)λ-r1r2=0,

其中p=-(r1-r2)，q=-r1r2<0,p0(0,0)為鞍點，故p1不穩(wěn)定.

代入系統(tǒng)(M)中，有

其特征方程為

代入系統(tǒng)(M)中，有

整理后得其線性近似系統(tǒng)為

其特征方程為

其中

利用根與系數(shù)的關系，得

時，p3漸近穩(wěn)定.

2.2MATLAB數(shù)值模擬結(jié)果

圖1 p2漸近穩(wěn)定

圖2 p3漸近穩(wěn)定

3 生物意義及應用

利用捕食這種生態(tài)學現(xiàn)象，可以限制種群的分布[5]和抑制種群的數(shù)量，如果受抑制的種群是有害動物的話，那么捕食現(xiàn)象就可以用于防治目的.比如我們?nèi)粘Ｉa(chǎn)中，尤其是農(nóng)業(yè)上，害蟲會損害農(nóng)作物，使農(nóng)作物減產(chǎn)，如果引入適當數(shù)量害蟲的天敵，把天敵看作捕食種群，害蟲是食餌種群，這就構成了捕食者-食餌相互作用系統(tǒng)，既控制了害蟲所害農(nóng)作物，又省去了用農(nóng)藥污染環(huán)境的麻煩.再如我國特有的珍稀水生獸類白鰭豚面臨瀕臨滅絕的危機，利用捕食種群和食餌種群間的相互作用關系，我們可以人為的投放魚類(食餌)，禁止捕殺白鰭豚(捕食者)，創(chuàng)造適合白鰭豚的生存的環(huán)境資源.

由此可見，對捕食者-食餌系統(tǒng)數(shù)學模型的研究，可以幫助我們利用捕食種群和食餌種群間的相互作用關系，來預測種群隨時間的變化規(guī)律，或者人工干預對某些珍稀種群進行保護、開發(fā)和利用，這一理論的應用對人類的可持續(xù)生存發(fā)展有重要的指導意義和經(jīng)濟意義.

[1]尚玉昌.普通生態(tài)學[M].北京:北京大學出版社,2002.

[2]馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京:科學出版社,2001.

[3]中山大學.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1978.

[4]毛凱,李日華.種群競爭模型的穩(wěn)定性分析[J].生物數(shù)學學報,1999(3).

[5]姜玉秋.棲息地的破壞和生態(tài)種群滅絕的數(shù)學動力學研究[J].吉林師范大學學報,2008(1).

(責任編輯:王宏志)

2013-12-10

華極鑫(1989-),吉林松原人,吉林師范大學在讀碩士；姜玉秋為通訊作者.

國家外專局項目(LZ0122200048).

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1008-7974(2014)01-0026-03