Spar平臺垂蕩-縱搖內共振特性研究

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(中國船舶工業(yè)集團公司第七O八研究所， 上海 200011)

0 引言

圖1 Spar平臺垂蕩-縱搖耦合示意圖

Spar平臺的垂蕩運動和縱搖運動具有強烈的耦合性(如圖1所示)。典型Spar平臺的垂蕩與縱搖的固有運動頻率比接近于。在某些特殊海況下，會產(chǎn)生一個線性激勵的垂蕩共振運動[1]，從而使一階波浪力比二階差頻波浪漂移力變得更為重要。在發(fā)生共振的情況下，首先垂蕩響應幅值會急劇增大，并會向縱搖運動產(chǎn)生能量傳遞，從而產(chǎn)生不穩(wěn)定的縱搖運動。

由于多自由度系統(tǒng)在使用攝動法求解時比較困難[2，3]，采用單自由度參數(shù)激勵方程來研究平臺縱搖運動的穩(wěn)定性，這樣雖然能夠建立更為精確的非線性運動方程，但僅考慮了垂蕩運動對于縱搖運動的影響，而忽略了縱搖運動對于垂蕩運動的影響，其實質還是單自由度的問題，不能很好地反映兩者之間的耦合關系。因此，應用多尺度法導出了垂蕩運動發(fā)生主共振，即入射波波浪頻率接近垂蕩固有頻率時響應方程的一階攝動解，然后對方程解的穩(wěn)定性進行了研究，提出預報平臺出現(xiàn)內共振的方法。

1 運動方程的簡化及求解

Spar平臺垂蕩-縱搖經(jīng)簡化后的耦合運動方程[4，5]如下：

(1)

(2)

其中：

在采用多尺度法[6,7]求解多自由度非線性方程之前，首先對方程的變量進行線性變換[8]，

(3)

對方程變量進行適當形式上的替換，得到如下一個考慮二自由度系統(tǒng)的強迫振動方程[9]：

(4)

其中：

設

(5)

其中：ε是與振幅同階的小量，Tn=εnt。

把式(5)代入式(4)，比較ε同冪次項的系數(shù)，得

(6)

(7)

式(6)的解可表示為

(8)

把式(8)代入(7)，得

(9)

當垂蕩運動發(fā)生主共振時，波浪激勵頻率是接近或等于垂蕩運動固有頻率的，故令：ω=p1+εσ1。根據(jù)Spar平臺的實際結構特征，平臺的垂蕩和縱搖運動頻率之比約為2∶1，因此使p1=2p2-εσ2。

此時式(9)消除永年項，得到

(10)

式(14)中不含有縱搖激勵力矩f2，可以表明在發(fā)生垂蕩主共振時耦合內共振運動主要是由垂蕩激勵力引起的，而與縱搖激勵力矩f2關系不是很大。

引入極坐標變量：

(11)

代入式(14)并分離實虛部得

(12)

其中：γ1=β1-2β2-σ2T1,γ2=σ1T1-β1+θ1

2 解的穩(wěn)定性分析

對于定常響應，D1α1=D1α2=D1γ1=D1γ2=0,則

(13)

其中：

直接受到力幅為F1的激勵的坐標x1的振幅α1的表達式中完全看不到F1或f1的影響。由式(8)、式(13)可得最終平臺發(fā)生垂蕩主共振時垂蕩-縱搖耦合運動響應的一階近似表達式：

(14)

由式(14)可以看出解有多值現(xiàn)象，這時初始條件將決定哪個解是真實的響應。

圖2 響應幅值隨波浪激勵幅值變化曲線 (σ1=σ2=0) 圖3 響應幅值隨波浪激勵幅值變化曲線(σ2=0)

σ1=σ2=0時,垂蕩、縱搖一階定常幅值曲線如圖2所示。從圖2可以看出，當波浪激勵在小于0.085×10-4變化時，垂蕩運動幅值一直是線性增大的，而此時縱搖運動未被激起，幅值為0；當波浪激勵繼續(xù)增大時，處于較高模態(tài)的垂蕩能量首先達到飽和，飽和之后垂蕩運動幅值保持不變，但由于垂蕩自由度的激勵依然存在，使得整個平臺運動系統(tǒng)的能量仍然不斷增加，于是能量便向縱搖自由度傳遞，又由于垂蕩、縱搖兩自由度的耦合原因，此時縱搖運動幅值從零開始逐漸非線性增長。

σ2=0時，垂蕩、縱搖定常響應及穩(wěn)定性分析如圖3所示，此時G1<0。由圖3可知，當波浪激勵小于0.87×10-4時，縱搖運動的振幅沒有被激發(fā)，垂蕩運動的振幅隨著波浪激勵的增加而承線性增加，f1=0.87×10-4，是一個分岔點，在該點處的一個實根發(fā)生符號的改變，解的數(shù)目也發(fā)生變化。當f1>0.87×10-4時，隨著波浪激勵f1的增加，垂蕩運動的振幅保持為一個常數(shù)，即達到飽和；縱搖運動的振幅從零開始增加，表明垂蕩運動的能量傳遞到了縱搖運動進而發(fā)生的滲透現(xiàn)象。由此可見，即使縱搖運動不是被直接激發(fā)，仍可能達到一個很大的幅值。從圖3中也可以看出非線性運動所特有的跳躍現(xiàn)象。

令σ1=0，σ2取0.01,0.012,0.015，垂蕩、縱搖響應隨激勵的變化如圖4、圖5所示。

圖4 Spar平臺垂蕩-縱搖耦合示意圖 圖5 Spar平臺垂蕩-縱搖耦合示意圖

此種情況下，隨著調諧參數(shù)σ2逐漸增大，垂蕩運動響應達到飽和時的幅值也隨之增大σ2，而且垂蕩響應達到飽和之后的穩(wěn)定幅值也越大；對于縱搖運動響應，增大，激起縱搖運動所需的波浪激勵也隨著增大，而縱搖運動的幅值響應相對減小。

令σ2=0，σ1取0.01,0.011,0.012，垂蕩、縱搖響應隨激勵的變化如圖6、圖7所示。

圖6 Spar平臺垂蕩-縱搖耦合示意圖 圖7 Spar平臺垂蕩-縱搖耦合示意圖

此種情況下，增大調諧參數(shù)σ1，不但會使引起垂蕩運動達到飽和所需的波浪激勵隨著增大，同時也使得垂蕩運動幅值達到穩(wěn)定之前的幅值增長速度有所減緩；對于縱搖運動，當增大σ1時，需要更大的波浪激勵才能激起縱搖運動，并且在相同波浪激勵的情況下，σ1越大，縱搖運動幅值越小。

3 數(shù)值驗證

初始縱搖角為0.02 rad，波浪激勵幅值逐漸增大時，垂蕩、縱搖響應隨時間的變化如圖8～圖11所示。

圖8 波浪激勵為0.01時的垂蕩、縱搖響應時間歷程

圖9 波浪激勵為0.03時的垂蕩、縱搖響應時間歷程

圖10 波浪激勵為0.07時的垂蕩、縱搖響應時間歷程

圖11 波浪激勵為0.08時的垂蕩、縱搖響應時間歷程

4 結論

在考慮變化的排水體積和初穩(wěn)心高的基礎上，建立了Spar平臺垂蕩-縱搖兩自由度的非線性耦合方程，采用多尺度法分析了波浪頻率接近垂蕩固有運動頻率時運動方程的一階定常響應解，并對解的穩(wěn)定性進行了分析，得到如下結論：

(1)當波浪頻率接近Spar平臺垂蕩固有運動頻率，而且一階波浪激勵力達到一定幅值時，Spar平臺將出現(xiàn)垂蕩-縱搖耦合內共振運動，引起這種共振運動現(xiàn)象的主要原因是垂蕩、縱搖兩自由度固有運動頻率之比接近于2∶1和其耦合非線性因素。

(2)當Spar平臺出現(xiàn)內共振時，垂蕩運動發(fā)生幅值鎖定，即垂蕩運動響應幅值隨著波浪激勵力的增加基本保持不變；縱搖運動會隨著波浪激勵力的增加，從最開始的未被激活狀態(tài)開始出現(xiàn)非線性的增長。引起這種現(xiàn)象的主要原因是此時平臺垂蕩運動存在能量飽和現(xiàn)象，當波浪激勵力繼續(xù)增大時，多余的垂蕩共振能量將通過方程中的耦合項向縱搖模態(tài)滲透，導致縱搖運動加劇。

(3)較大幅值的垂蕩激勵力會使得耦合運動方程的解出現(xiàn)多值現(xiàn)象，初始條件將決定哪個解是真實響應，從而導致了跳躍現(xiàn)象的產(chǎn)生，這是Spar平臺出現(xiàn)耦合內共振運動的內在原因，而縱搖激勵力矩對于其耦合內共振運動的影響不大。

(4)當Spar平臺出現(xiàn)內共振運動后，此時垂蕩的運動幅值取決于縱搖阻尼以及垂蕩固有運動頻率與2倍縱搖固有運動頻率之間的差距，而與垂蕩激勵力無關。改變縱搖阻尼或兩自由度固有運動頻率之差可控制垂蕩共振能量向縱搖模態(tài)滲透的程度。所以建議在平臺的建造階段安裝可伸縮或其它能夠調整垂蕩板位置和間距的裝置，這樣當波浪頻率接近垂蕩固有運動頻率時，可根據(jù)實際作業(yè)要求對垂蕩板進行適當調整，也可安裝螺旋列板等裝置，增加縱搖阻尼，從而避免發(fā)生共振。

[1] Kamel M M. Effects of internal resonances in non-linear system under parametric and external excitations [J].Appl. Sci. 50 (2003) 1-19.

[2] 陳予恕. 非線性振動[M]. 天津：天津科學技術出版社.1982

[3] Nayfeh A H. Non-Linear Interactions[M]. Wiley/Interscience. New York. 2000.

[4] 張海燕. Spar平臺垂蕩-縱搖耦合運動特性研究[D]. 天津：天津大學. 2008.

[5] 趙晶瑞. 經(jīng)典式Spar平臺非線性耦合動力響應研究[D]. 天津：天津大學. 2010.

[6] Kamel M M. Bifurcation analysis of a nonlinear coupled pitch-roll ship [C]. Mathematics and Computers in Simulation 73 (2007) 300-308.

[7] 劉延柱,陳立群. 非線性振動[M]. 北京：高等教育出版社.2001.

[8] Zhao C T. Theoretical investigation of springing-ringing problem in tension leg platform [D]. PhD. Texas A&M university. 1996.

[9] 王海期. 非線性振動[M]. 北京：高等教育出版社.1992.