淺談Mathematica在組合數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：利用數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的符號計(jì)算功能，我們可以改變傳統(tǒng)課堂的教學(xué)方式，并收到良好的教學(xué)效果。本文通過用Mathematica解數(shù)列遞歸關(guān)系的例子，來說明Mathematica在組合數(shù)學(xué)教學(xué)中的巨大功效。數(shù)學(xué)在某種程度上也可以變成一門“實(shí)驗(yàn)科學(xué)”。

關(guān)鍵詞：組合數(shù)學(xué)；Mathematica；遞歸關(guān)系

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）23-0114-02

一、引言

組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支學(xué)科，也是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課，它主要研究離散對象在各種約束條件下的安排和配置問題。近年來計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展對我們的生活有了越來越大的影響。計(jì)算機(jī)計(jì)算速度的提升，使我們能夠解決許多以往難以想象的大規(guī)模的計(jì)算問題。但計(jì)算機(jī)裸機(jī)并不能自己進(jìn)行運(yùn)算，它需要相應(yīng)的程序作為基礎(chǔ)，而這些程序的基礎(chǔ)又往往是一些組合算法，因此組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展中起著非常重要的作用。反過來，計(jì)算機(jī)技術(shù)特別是數(shù)學(xué)軟件也可以在組合數(shù)學(xué)的教學(xué)中發(fā)揮作用?，F(xiàn)在有幾款比較成熟的數(shù)學(xué)軟件，比如Mathematica，Maple，Matlab，它們都具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和符號計(jì)算功能，可以給我們的數(shù)學(xué)研究與教學(xué)帶來極大的便利。在教學(xué)中適當(dāng)?shù)厥褂眠@些軟件，同時(shí)教會(huì)學(xué)生使用這些軟件，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，取得更好的教學(xué)效果，同時(shí)也讓學(xué)生有一技之長，對他們?nèi)蘸蟮墓ぷ骱蛯W(xué)習(xí)都是很有幫助的。本文通過用Mathematica求解數(shù)列遞歸關(guān)系的例子，來說明Mathematica在組合數(shù)學(xué)教學(xué)中的巨大功效。

二、使用Mathematica求解數(shù)列遞歸

（一）求解線性齊次遞歸關(guān)系

求解線性遞歸關(guān)系（齊次或者非齊次）是組合數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，我們舉一個(gè)例子來說明：an=5an-1-6an-2，n≥2。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們采用特征方程的方法：上述遞歸關(guān)系的特征方程是x2=5x-6，兩個(gè)特征根是x1=2，x2=3，因?yàn)閮蓚€(gè)特征根不相等，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=c12n+c23n，其中c1，c2是任意的常數(shù)。

在Mathemacita中，求解遞歸關(guān)系的命令是RSolve。我們只需要在Mathematica的工作環(huán)境中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]}，a[n]，n]

（注意我們要用兩個(gè)等號==來表示相等，一個(gè)等號=表示的是賦值）然后運(yùn)行（按Shift+Enter），就得到了以下結(jié)果

a[n] 2n C[1]+3n C[2]

注意在Mathematica中，兩個(gè)任意的常數(shù)是用C[1]，C[2]來表示的。

如果給定了初值，比如a0=1，a2=4，那么我們只需要改一下命令

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]，a[0] 1，a[1] 4}，a[n]，n]

運(yùn)行之后就得到

a[n] -2n+2 3n

（二）求解線性非齊次遞歸關(guān)系

求解線性非齊次遞歸關(guān)系是一個(gè)比較困難的問題，主要的難點(diǎn)在于要先找到一個(gè)特解。雖然也有現(xiàn)成的規(guī)則，但因?yàn)榉浅┈嵍y以記憶，學(xué)生要么記不住這些規(guī)則，要么記住了但不明白為什么，實(shí)際的掌握效果是很差的。另外，求解一個(gè)非齊次的遞歸關(guān)系往往需要較長的時(shí)間，一般程度的學(xué)生大約需要花十分鐘，而且很容易算錯(cuò)，這導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)做很多的練習(xí)，計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)相當(dāng)缺乏。利用Mathematica，我們可以在短時(shí)間內(nèi)演算大量的例子，并且通過改動(dòng)遞歸關(guān)系中的參數(shù)，用直觀的結(jié)果讓學(xué)生體會(huì)解的細(xì)微變化，這樣可以給學(xué)生留下較為深刻的印象，并激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情。

1.比如我們要求解an=5an-1-6an-2+（n2+2），我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）}，a[n]，n]

運(yùn)行后就能得到

a[n] 1/2（17+7n+n2）+2n C[1]+3n C[2]

初始的非齊次項(xiàng)n2+2是n的二次多項(xiàng)式，特解（n2+7n+17）也是n的二次多項(xiàng)式，很符合常理，也符合學(xué)生們的預(yù)期。

2.如果我們改變一下非齊次項(xiàng)，多一個(gè)2的冪次，變?yōu)閍n=5an-1-6an-2+（n2+2）2n，它的解會(huì)有什么變化呢？我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）2^n}，a[n]，n]

運(yùn)行后得到

a[n] -（1/3）2n（288+121n+21n2+2n3）+2n C[1]+3n C[2]

學(xué)生在這個(gè)時(shí)候會(huì)很驚訝：為什么特解-（2n3+21n2+121n+288）2n中包含n的三次方呢？比非齊次項(xiàng)中n的次數(shù)高了一。

3.我們再改變一下非齊次項(xiàng)，多一個(gè)3的冪次，變?yōu)閍n=5an-1-6an-2+（n2+2）3n，解會(huì)如何變化呢？我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）3^n}，a[n]，n]

運(yùn)行后得到

a[n] 1/2 3n（-162+61n-9n2+2n3）+2n C[1]+3n C[2]

特解（2n3-9n2+61n-162）3n中也包含n的三次方，比非齊次項(xiàng)中n的次數(shù)高了一。

4.我們繼續(xù)改變非齊次項(xiàng)，多一個(gè)5的冪次，變?yōu)閍n=5an-1-6an-2+（n2+2）5n，解會(huì)如何變化呢？我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==5a[n-1]-6a[n-2]+（n^2+2）5^n}，a[n]，n]

運(yùn)行后得到

a[n] 1/54 52+n（104-39n+9n2）+2n C[1]+3n C[2]

特解（9n2-39n+104）5n是的二次多項(xiàng)式，比非齊次項(xiàng)中n的次數(shù)一樣。

通過對比上面四個(gè)例子，學(xué)生們有了一個(gè)模糊的認(rèn)識(shí)：如果非齊次項(xiàng)含有特征根的冪次，則特解中n的次數(shù)會(huì)升高；否者就不會(huì)升高。我們的教學(xué)目的在很大程度上也就達(dá)到了，因?yàn)槲覀兂晒σ鹆藢W(xué)生的興趣，并且讓他們自己總結(jié)出了規(guī)律。

5.我們還可以更進(jìn)一步，舉一個(gè)更復(fù)雜的例子：an=3an-2-2an-3+（n2+2）。這是一個(gè)三階的線性非齊次遞歸關(guān)系，它的特征方程的三個(gè)根是1（二重根）和-2。我們在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==3a[n-2]-2a[n-3]+n^2+2}，a[n]，n]

運(yùn)行（并且用命令Simplify[%]簡化之后）得到

a[n]80/243+（79n2）/108+（5n3）/27+n4/36+（-2）n C[1]+C[2]+n（-313/162+C[3]）

此時(shí)特解中包含n的四次方，比非齊次項(xiàng)中n的次數(shù)高了二！為什么會(huì)這樣？學(xué)生們發(fā)出這樣的疑問。這正是一個(gè)解釋理論的良機(jī)。

筆者在課堂上完整地演示過上面的過程，外加2.5中例子的變形，收到了良好的效果，學(xué)生的求知欲確實(shí)被激發(fā)出來了，并且能夠自己把規(guī)律總結(jié)出來。

（三）求解非線性的遞歸

Mathematica在求解非線性的遞歸關(guān)系方面也有很高的效率。比如我們要求解遞歸關(guān)系an=+1，這是一個(gè)分式線性變換，它也可以用特征方程的方法求解，但大部分學(xué)生難以掌握其要領(lǐng)。在Mathematica中輸入

RSolve[{a[n]==2/a[n-1]+1}，a[n]，n]

運(yùn)行后就得到

a[n]-（（-1/2）n+4 C[1]）/（（-1/2）n-2 C[1]）

三、總結(jié)

借助數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的符號計(jì)算能力，我們可以在極短的時(shí)間內(nèi)向?qū)W生展示很多的例子。通過改變遞歸關(guān)系中的參數(shù)，學(xué)生觀察到了解的性狀的變化，這個(gè)反饋是很及時(shí)的（只需幾秒鐘），因而學(xué)生們可以總結(jié)出解對參數(shù)的依賴關(guān)系。結(jié)合了現(xiàn)代技術(shù)的教學(xué)方式，我們可以不強(qiáng)求理論的完備性，也不必拘泥于“定義——定理——例子”的授課模式，而是以啟發(fā)為主，通過例子向?qū)W生展示具體的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在觀察中總結(jié)規(guī)律，把數(shù)學(xué)變成一門“實(shí)驗(yàn)科學(xué)”。在學(xué)生有足夠的興趣的時(shí)候，我們就可以講解現(xiàn)象背后的原理，或者鼓勵(lì)他們自己去探索背后的原理。

四、致謝

本文受到北京市教委2013北京市共建項(xiàng)目人才培養(yǎng)項(xiàng)目：“數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)模式改革”的支持。

參考文獻(xiàn)：

[1]南基洙.組合數(shù)學(xué)[M]，北京：高等教育出版社，2008.

[2]洪維恩.數(shù)學(xué)運(yùn)算大師Mathematica 4[M]，北京：人民郵電出版社，2002.

作者簡介：張漢雄（1983-），男，浙江海寧人，博士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)物理。

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