電路的對(duì)偶

摘要：電路的元件、參數(shù)、結(jié)構(gòu)和定律等均具有對(duì)偶現(xiàn)象，利用電路的對(duì)偶關(guān)系，為分析電路提供一種便捷的方法。

關(guān)鍵詞：對(duì)偶；電路；對(duì)偶關(guān)系

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）15-0121-02

引言：

對(duì)偶是自然界中普遍存在的一種特殊現(xiàn)象。在分析和研究自然規(guī)律中，利用對(duì)偶現(xiàn)象，可以有效地揭示元素之間一些相似或相對(duì)的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化認(rèn)知事物的過(guò)程。

一、電路的對(duì)偶現(xiàn)象

在純電阻電路中，串聯(lián)總電阻與各電阻的關(guān)系為：總電阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同樣在純電阻電路中，并聯(lián)總電導(dǎo)與各電導(dǎo)的關(guān)系為：總電導(dǎo)GS=G1+G2+G3+…+Gn。它們的數(shù)學(xué)表達(dá)形式很相似，這種相似性表現(xiàn)為對(duì)偶。又如電容元件的電流與加在它兩端的電壓關(guān)系為：i=Cdu/dt；而電感元件的電壓與流經(jīng)它的電流關(guān)系為：u=Ldi/dt。這兩種元件的電流電壓關(guān)系表達(dá)式也呈現(xiàn)對(duì)偶現(xiàn)象。

二、電路的對(duì)偶關(guān)系

電路中某些元素之間的關(guān)系（或方程），用它們的對(duì)偶元素對(duì)應(yīng)地置換后，所得的新關(guān)系（新方程）也一定成立，后者與前者互為對(duì)偶。[1]電路元素之間的一些對(duì)偶關(guān)系如下表：

（一）電路元件的對(duì)偶

組成電路的元件中，兩者之間互為對(duì)偶的元件有電阻R與電導(dǎo)G、電容C與電感L、電壓源US與電流源IS等。下圖是電源的對(duì)偶：

圖1和圖2是電壓源和電流源的模型，其對(duì)應(yīng)的電壓和電流表達(dá)式分別如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它們互為對(duì)偶。

（二）電路的結(jié)構(gòu)對(duì)偶

由電路元件組成的不同結(jié)構(gòu)之間的對(duì)偶有串聯(lián)與并聯(lián)、開(kāi)路與短路、回路與節(jié)點(diǎn)等。

（三）電路的定律對(duì)偶

基爾霍夫定律包含電流和電壓兩個(gè)定律，這兩個(gè)定律互為對(duì)偶。KCL指出：任一時(shí)刻，流入電路中的任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流代數(shù)和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一時(shí)刻，沿電路中的任一回路繞行一周，所有支路電壓代數(shù)和恒等于零，即Σu=0。KCL與KVL是對(duì)偶關(guān)系。它的子元素如電流與電壓、節(jié)點(diǎn)與回路、串聯(lián)與并聯(lián)也互為對(duì)偶。

（四）電路參數(shù)的對(duì)偶

二端口網(wǎng)絡(luò)是具有2個(gè)端口的電路，端口與電路內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)相連接。圖3是反映二端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗參數(shù)的等效電路。

阻抗參數(shù)Z的矩陣方程形式為：

Z11 Z12Z21 Z22

圖4是反映二端口的導(dǎo)納參數(shù)的等效電路。

導(dǎo)納參數(shù)Y的矩陣方程的形式為：

Y11 Y12Y21 Y22

以上二端口網(wǎng)路的開(kāi)路阻抗參數(shù)Z和短路導(dǎo)納參數(shù)Y互為對(duì)偶。

（五）電路結(jié)論的對(duì)偶

電路中某些結(jié)論存在對(duì)偶，如開(kāi)路電流為零與短路電壓為0互為對(duì)偶的結(jié)論；又如數(shù)字電路運(yùn)算中A·A=A與A+A=A這兩個(gè)結(jié)論也互為對(duì)偶。

三、電路對(duì)偶的分析

由于電路對(duì)偶的存在，運(yùn)用它來(lái)分析電路，可同時(shí)獲得電路及它的對(duì)偶電路的解，一舉兩得。

（一）無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的對(duì)偶

在單相交流電路中，分析R-L串聯(lián)電路（圖5）和它的對(duì)偶電路（圖6）的電壓、電流的關(guān)系。

圖5中RL串聯(lián)電路的等效阻抗為Z=R+jωL；端電壓U與電流I的關(guān)系為U=ZI。圖6并聯(lián)電路的等效導(dǎo)納為Y=G+jωC。

端電流I與電壓U的關(guān)系為I=YU。若參數(shù)R與G、C與L在數(shù)值上相等，且接在頻率相同的正弦交流電路中，則兩個(gè)電路的U與I數(shù)值相等。這個(gè)關(guān)系也可以用矢量圖來(lái)表示：R-L串聯(lián)電路的矢量關(guān)系為圖7；G-C并聯(lián)電路的矢量關(guān)系為圖8。

兩矢量對(duì)應(yīng)重合，即兩電路互為對(duì)偶關(guān)系。

（二）有源網(wǎng)絡(luò)電路的對(duì)偶分析

如圖9是一個(gè)有源網(wǎng)絡(luò)的平面電路，對(duì)它進(jìn)行求解，可使用網(wǎng)孔法，方程組為：

（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0

根據(jù)對(duì)偶原理，將對(duì)偶量相應(yīng)地置換后，可以轉(zhuǎn)換成另一個(gè)電路（圖10），它的節(jié)點(diǎn)方程組：

（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0

電路分析方法的對(duì)偶是電路多種元素對(duì)偶的綜合體現(xiàn)。上述對(duì)偶電路的對(duì)應(yīng)元素有：（1）回路電壓法與支路電流法的對(duì)偶；（2）電阻串聯(lián)與并聯(lián)的對(duì)偶；（3）電壓源與電流源的對(duì)偶；（4）電流控制電壓源（CCVS）與電壓控制電流源VCCS的對(duì)偶。若對(duì)偶元素?cái)?shù)值相等，則在數(shù)值上兩個(gè)電路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。

小結(jié)：

1.根據(jù)對(duì)偶原理，如果導(dǎo)出電路中某一關(guān)系和結(jié)論，就等于解出了與它相對(duì)偶的另一關(guān)系和結(jié)論。例如，含源一端口電阻網(wǎng)絡(luò)的兩種等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互為對(duì)偶，只要論證了戴維南定理的正確性，它的對(duì)偶——諾頓定理自然也成立。

2.互為對(duì)偶電路的特征方程和特征值相同，由對(duì)偶方程導(dǎo)出的各種公式和結(jié)果也是對(duì)偶的。

參考文獻(xiàn)：

[1]邱關(guān)源.電路[M].第4版.北京：高等教育出版社，1999.

[2]李翰遜.電路分析基礎(chǔ)[M].第3版.北京：高等教育出版社，1993.

作者簡(jiǎn)介：李聯(lián)福（1963-），男，本科，福建泉州人，高級(jí)講師，研究方向：多媒體課件開(kāi)發(fā)、電力機(jī)車電器與控制的教學(xué)研究工作。endprint

摘要：電路的元件、參數(shù)、結(jié)構(gòu)和定律等均具有對(duì)偶現(xiàn)象，利用電路的對(duì)偶關(guān)系，為分析電路提供一種便捷的方法。

關(guān)鍵詞：對(duì)偶；電路；對(duì)偶關(guān)系

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）15-0121-02

引言：

對(duì)偶是自然界中普遍存在的一種特殊現(xiàn)象。在分析和研究自然規(guī)律中，利用對(duì)偶現(xiàn)象，可以有效地揭示元素之間一些相似或相對(duì)的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化認(rèn)知事物的過(guò)程。

一、電路的對(duì)偶現(xiàn)象

在純電阻電路中，串聯(lián)總電阻與各電阻的關(guān)系為：總電阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同樣在純電阻電路中，并聯(lián)總電導(dǎo)與各電導(dǎo)的關(guān)系為：總電導(dǎo)GS=G1+G2+G3+…+Gn。它們的數(shù)學(xué)表達(dá)形式很相似，這種相似性表現(xiàn)為對(duì)偶。又如電容元件的電流與加在它兩端的電壓關(guān)系為：i=Cdu/dt；而電感元件的電壓與流經(jīng)它的電流關(guān)系為：u=Ldi/dt。這兩種元件的電流電壓關(guān)系表達(dá)式也呈現(xiàn)對(duì)偶現(xiàn)象。

二、電路的對(duì)偶關(guān)系

電路中某些元素之間的關(guān)系（或方程），用它們的對(duì)偶元素對(duì)應(yīng)地置換后，所得的新關(guān)系（新方程）也一定成立，后者與前者互為對(duì)偶。[1]電路元素之間的一些對(duì)偶關(guān)系如下表：

（一）電路元件的對(duì)偶

組成電路的元件中，兩者之間互為對(duì)偶的元件有電阻R與電導(dǎo)G、電容C與電感L、電壓源US與電流源IS等。下圖是電源的對(duì)偶：

圖1和圖2是電壓源和電流源的模型，其對(duì)應(yīng)的電壓和電流表達(dá)式分別如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它們互為對(duì)偶。

（二）電路的結(jié)構(gòu)對(duì)偶

由電路元件組成的不同結(jié)構(gòu)之間的對(duì)偶有串聯(lián)與并聯(lián)、開(kāi)路與短路、回路與節(jié)點(diǎn)等。

（三）電路的定律對(duì)偶

基爾霍夫定律包含電流和電壓兩個(gè)定律，這兩個(gè)定律互為對(duì)偶。KCL指出：任一時(shí)刻，流入電路中的任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流代數(shù)和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一時(shí)刻，沿電路中的任一回路繞行一周，所有支路電壓代數(shù)和恒等于零，即Σu=0。KCL與KVL是對(duì)偶關(guān)系。它的子元素如電流與電壓、節(jié)點(diǎn)與回路、串聯(lián)與并聯(lián)也互為對(duì)偶。

（四）電路參數(shù)的對(duì)偶

二端口網(wǎng)絡(luò)是具有2個(gè)端口的電路，端口與電路內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)相連接。圖3是反映二端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗參數(shù)的等效電路。

阻抗參數(shù)Z的矩陣方程形式為：

Z11 Z12Z21 Z22

圖4是反映二端口的導(dǎo)納參數(shù)的等效電路。

導(dǎo)納參數(shù)Y的矩陣方程的形式為：

Y11 Y12Y21 Y22

以上二端口網(wǎng)路的開(kāi)路阻抗參數(shù)Z和短路導(dǎo)納參數(shù)Y互為對(duì)偶。

（五）電路結(jié)論的對(duì)偶

電路中某些結(jié)論存在對(duì)偶，如開(kāi)路電流為零與短路電壓為0互為對(duì)偶的結(jié)論；又如數(shù)字電路運(yùn)算中A·A=A與A+A=A這兩個(gè)結(jié)論也互為對(duì)偶。

三、電路對(duì)偶的分析

由于電路對(duì)偶的存在，運(yùn)用它來(lái)分析電路，可同時(shí)獲得電路及它的對(duì)偶電路的解，一舉兩得。

（一）無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的對(duì)偶

在單相交流電路中，分析R-L串聯(lián)電路（圖5）和它的對(duì)偶電路（圖6）的電壓、電流的關(guān)系。

圖5中RL串聯(lián)電路的等效阻抗為Z=R+jωL；端電壓U與電流I的關(guān)系為U=ZI。圖6并聯(lián)電路的等效導(dǎo)納為Y=G+jωC。

端電流I與電壓U的關(guān)系為I=YU。若參數(shù)R與G、C與L在數(shù)值上相等，且接在頻率相同的正弦交流電路中，則兩個(gè)電路的U與I數(shù)值相等。這個(gè)關(guān)系也可以用矢量圖來(lái)表示：R-L串聯(lián)電路的矢量關(guān)系為圖7；G-C并聯(lián)電路的矢量關(guān)系為圖8。

兩矢量對(duì)應(yīng)重合，即兩電路互為對(duì)偶關(guān)系。

（二）有源網(wǎng)絡(luò)電路的對(duì)偶分析

如圖9是一個(gè)有源網(wǎng)絡(luò)的平面電路，對(duì)它進(jìn)行求解，可使用網(wǎng)孔法，方程組為：

（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0

根據(jù)對(duì)偶原理，將對(duì)偶量相應(yīng)地置換后，可以轉(zhuǎn)換成另一個(gè)電路（圖10），它的節(jié)點(diǎn)方程組：

（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0

電路分析方法的對(duì)偶是電路多種元素對(duì)偶的綜合體現(xiàn)。上述對(duì)偶電路的對(duì)應(yīng)元素有：（1）回路電壓法與支路電流法的對(duì)偶；（2）電阻串聯(lián)與并聯(lián)的對(duì)偶；（3）電壓源與電流源的對(duì)偶；（4）電流控制電壓源（CCVS）與電壓控制電流源VCCS的對(duì)偶。若對(duì)偶元素?cái)?shù)值相等，則在數(shù)值上兩個(gè)電路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。

小結(jié)：

1.根據(jù)對(duì)偶原理，如果導(dǎo)出電路中某一關(guān)系和結(jié)論，就等于解出了與它相對(duì)偶的另一關(guān)系和結(jié)論。例如，含源一端口電阻網(wǎng)絡(luò)的兩種等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互為對(duì)偶，只要論證了戴維南定理的正確性，它的對(duì)偶——諾頓定理自然也成立。

2.互為對(duì)偶電路的特征方程和特征值相同，由對(duì)偶方程導(dǎo)出的各種公式和結(jié)果也是對(duì)偶的。

參考文獻(xiàn)：

[1]邱關(guān)源.電路[M].第4版.北京：高等教育出版社，1999.

[2]李翰遜.電路分析基礎(chǔ)[M].第3版.北京：高等教育出版社，1993.

作者簡(jiǎn)介：李聯(lián)福（1963-），男，本科，福建泉州人，高級(jí)講師，研究方向：多媒體課件開(kāi)發(fā)、電力機(jī)車電器與控制的教學(xué)研究工作。endprint

摘要：電路的元件、參數(shù)、結(jié)構(gòu)和定律等均具有對(duì)偶現(xiàn)象，利用電路的對(duì)偶關(guān)系，為分析電路提供一種便捷的方法。

關(guān)鍵詞：對(duì)偶；電路；對(duì)偶關(guān)系

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）15-0121-02

引言：

對(duì)偶是自然界中普遍存在的一種特殊現(xiàn)象。在分析和研究自然規(guī)律中，利用對(duì)偶現(xiàn)象，可以有效地揭示元素之間一些相似或相對(duì)的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化認(rèn)知事物的過(guò)程。

一、電路的對(duì)偶現(xiàn)象

在純電阻電路中，串聯(lián)總電阻與各電阻的關(guān)系為：總電阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同樣在純電阻電路中，并聯(lián)總電導(dǎo)與各電導(dǎo)的關(guān)系為：總電導(dǎo)GS=G1+G2+G3+…+Gn。它們的數(shù)學(xué)表達(dá)形式很相似，這種相似性表現(xiàn)為對(duì)偶。又如電容元件的電流與加在它兩端的電壓關(guān)系為：i=Cdu/dt；而電感元件的電壓與流經(jīng)它的電流關(guān)系為：u=Ldi/dt。這兩種元件的電流電壓關(guān)系表達(dá)式也呈現(xiàn)對(duì)偶現(xiàn)象。

二、電路的對(duì)偶關(guān)系

電路中某些元素之間的關(guān)系（或方程），用它們的對(duì)偶元素對(duì)應(yīng)地置換后，所得的新關(guān)系（新方程）也一定成立，后者與前者互為對(duì)偶。[1]電路元素之間的一些對(duì)偶關(guān)系如下表：

（一）電路元件的對(duì)偶

組成電路的元件中，兩者之間互為對(duì)偶的元件有電阻R與電導(dǎo)G、電容C與電感L、電壓源US與電流源IS等。下圖是電源的對(duì)偶：

圖1和圖2是電壓源和電流源的模型，其對(duì)應(yīng)的電壓和電流表達(dá)式分別如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它們互為對(duì)偶。

（二）電路的結(jié)構(gòu)對(duì)偶

由電路元件組成的不同結(jié)構(gòu)之間的對(duì)偶有串聯(lián)與并聯(lián)、開(kāi)路與短路、回路與節(jié)點(diǎn)等。

（三）電路的定律對(duì)偶

基爾霍夫定律包含電流和電壓兩個(gè)定律，這兩個(gè)定律互為對(duì)偶。KCL指出：任一時(shí)刻，流入電路中的任一節(jié)點(diǎn)的各支路電流代數(shù)和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一時(shí)刻，沿電路中的任一回路繞行一周，所有支路電壓代數(shù)和恒等于零，即Σu=0。KCL與KVL是對(duì)偶關(guān)系。它的子元素如電流與電壓、節(jié)點(diǎn)與回路、串聯(lián)與并聯(lián)也互為對(duì)偶。

（四）電路參數(shù)的對(duì)偶

二端口網(wǎng)絡(luò)是具有2個(gè)端口的電路，端口與電路內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)相連接。圖3是反映二端口網(wǎng)絡(luò)的阻抗參數(shù)的等效電路。

阻抗參數(shù)Z的矩陣方程形式為：

Z11 Z12Z21 Z22

圖4是反映二端口的導(dǎo)納參數(shù)的等效電路。

導(dǎo)納參數(shù)Y的矩陣方程的形式為：

Y11 Y12Y21 Y22

以上二端口網(wǎng)路的開(kāi)路阻抗參數(shù)Z和短路導(dǎo)納參數(shù)Y互為對(duì)偶。

（五）電路結(jié)論的對(duì)偶

電路中某些結(jié)論存在對(duì)偶，如開(kāi)路電流為零與短路電壓為0互為對(duì)偶的結(jié)論；又如數(shù)字電路運(yùn)算中A·A=A與A+A=A這兩個(gè)結(jié)論也互為對(duì)偶。

三、電路對(duì)偶的分析

由于電路對(duì)偶的存在，運(yùn)用它來(lái)分析電路，可同時(shí)獲得電路及它的對(duì)偶電路的解，一舉兩得。

（一）無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的對(duì)偶

在單相交流電路中，分析R-L串聯(lián)電路（圖5）和它的對(duì)偶電路（圖6）的電壓、電流的關(guān)系。

圖5中RL串聯(lián)電路的等效阻抗為Z=R+jωL；端電壓U與電流I的關(guān)系為U=ZI。圖6并聯(lián)電路的等效導(dǎo)納為Y=G+jωC。

端電流I與電壓U的關(guān)系為I=YU。若參數(shù)R與G、C與L在數(shù)值上相等，且接在頻率相同的正弦交流電路中，則兩個(gè)電路的U與I數(shù)值相等。這個(gè)關(guān)系也可以用矢量圖來(lái)表示：R-L串聯(lián)電路的矢量關(guān)系為圖7；G-C并聯(lián)電路的矢量關(guān)系為圖8。

兩矢量對(duì)應(yīng)重合，即兩電路互為對(duì)偶關(guān)系。

（二）有源網(wǎng)絡(luò)電路的對(duì)偶分析

如圖9是一個(gè)有源網(wǎng)絡(luò)的平面電路，對(duì)它進(jìn)行求解，可使用網(wǎng)孔法，方程組為：

（R1+R2）IL1-R2IL2=us-（R2-rm）IL1+（R2+R3）IL2=0

根據(jù)對(duì)偶原理，將對(duì)偶量相應(yīng)地置換后，可以轉(zhuǎn)換成另一個(gè)電路（圖10），它的節(jié)點(diǎn)方程組：

（G1+G2）VN1-G2VN2=is-（G2-gm）VN1+（G2+G3）VN2=0

電路分析方法的對(duì)偶是電路多種元素對(duì)偶的綜合體現(xiàn)。上述對(duì)偶電路的對(duì)應(yīng)元素有：（1）回路電壓法與支路電流法的對(duì)偶；（2）電阻串聯(lián)與并聯(lián)的對(duì)偶；（3）電壓源與電流源的對(duì)偶；（4）電流控制電壓源（CCVS）與電壓控制電流源VCCS的對(duì)偶。若對(duì)偶元素?cái)?shù)值相等，則在數(shù)值上兩個(gè)電路同解：IL1=VN1；IL2=VN2。

小結(jié)：

1.根據(jù)對(duì)偶原理，如果導(dǎo)出電路中某一關(guān)系和結(jié)論，就等于解出了與它相對(duì)偶的另一關(guān)系和結(jié)論。例如，含源一端口電阻網(wǎng)絡(luò)的兩種等效：（UOC，Ri）和（isc，Gi）互為對(duì)偶，只要論證了戴維南定理的正確性，它的對(duì)偶——諾頓定理自然也成立。

2.互為對(duì)偶電路的特征方程和特征值相同，由對(duì)偶方程導(dǎo)出的各種公式和結(jié)果也是對(duì)偶的。

參考文獻(xiàn)：

[1]邱關(guān)源.電路[M].第4版.北京：高等教育出版社，1999.

[2]李翰遜.電路分析基礎(chǔ)[M].第3版.北京：高等教育出版社，1993.

作者簡(jiǎn)介：李聯(lián)福（1963-），男，本科，福建泉州人，高級(jí)講師，研究方向：多媒體課件開(kāi)發(fā)、電力機(jī)車電器與控制的教學(xué)研究工作。endprint