數(shù)形結(jié)合話正交

唐駿，劉虹

摘要：正交信號處理應(yīng)用于科學(xué)和工程的很多領(lǐng)域，而且用正交信號來描述現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)中的處理和實(shí)現(xiàn)過程也十分必要。本文主要討論基于復(fù)數(shù)概念的正交信號，借助復(fù)平面，采用數(shù)形相結(jié)合的手段解釋復(fù)信號和實(shí)信號之間的關(guān)系，并在時頻域中用三維圖形對正交信號的物理意義加以闡述。

關(guān)鍵詞：復(fù)信號；復(fù)指數(shù)函數(shù)；正交；信號處理

中圖分類號：G642.4？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）15-0117-03

正交信號是一類復(fù)信號，用于數(shù)字信號處理的很多領(lǐng)域，如數(shù)字通信系統(tǒng)、雷達(dá)系統(tǒng)、無線電測向、天線波束形成、信號邊帶調(diào)制等等，這些應(yīng)用都屬于正交處理的基本范疇[1]。一個正交信號是二維的數(shù)據(jù)，其瞬時值可由包含兩部分?jǐn)?shù)據(jù)的復(fù)數(shù)來表示——我們稱之為實(shí)部和虛部，在通信工程中分別用同相分量和正交分量表示。

復(fù)信號或復(fù)數(shù)是一般數(shù)的一種延伸，但復(fù)數(shù)（尤其是虛數(shù)）有時似乎讓人難以想象和感到不真實(shí)。其實(shí)，這種不真實(shí)的感覺源自對它們不熟悉和新奇，而并不是它們真的虛幻。當(dāng)初數(shù)學(xué)家將這些數(shù)稱為“虛數(shù)”似乎犯了一個很大的錯誤，因?yàn)檫@個術(shù)語本身帶有偏見，并導(dǎo)致在相當(dāng)長的歷史時期內(nèi)不被接受。后來在歐拉、高斯、柯西的著作中完全確立了復(fù)數(shù)的重要地位。高斯也是第一位系統(tǒng)而有條理地描述復(fù)數(shù)，并將復(fù)數(shù)解釋為復(fù)平面上的點(diǎn)的人。正是由于他引入了“復(fù)數(shù)”這一術(shù)語，才為它們的應(yīng)用鋪平了道路[2]。

一、復(fù)數(shù)（信號）的表示形式

復(fù)數(shù)有以下幾種常見的表示形式：

（a）直角坐標(biāo)形式：c=a+jb

（b）三角函數(shù)形式：c=M[cos（φ）+jsin（φ）]

（c）極坐標(biāo)形式：c=Mejφ

（d）幅度—相角形式：c=M∠φ

如果令表示形式（b）和（c）相等，即Mejφ=M[cos（φ）+jsin（φ）]，可得到著名的歐拉等式：ejφ=cos（φ）+jsin（φ） （1）

（1）式看起來有點(diǎn)怪誕——自然對數(shù)的底，即的虛數(shù)次冪表示一個復(fù)數(shù)？歐拉利用級數(shù)理論給出了漂亮的證明。

ez=1+z+■+■+■+L （2）

ejφ=1+jφ+■+■+■+L

=1+jφ-■-j■+■+L

=cosφ+jsinφ （3）

如果將（2）式中的用z-jφ代替，就可以得到一個稍微不同但是很有用的歐拉公式的另外一種表達(dá)式：e-jφ=cos（φ）-jsin（φ） （4）

方程（3）和（4）的極坐標(biāo)表達(dá)式非常有用，因?yàn)樗喕藬?shù)學(xué)微分和分析，把三角方程轉(zhuǎn)換為簡單的指數(shù)代數(shù)形式，而且復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算完全遵循實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則；它使信號的相加僅僅是復(fù)數(shù)的加法（向量相加）；有最簡潔的記法；用來說明數(shù)字通信系統(tǒng)是如何實(shí)現(xiàn)與描述很直觀。所以，我們將用方程（3）和（4）來說明為什么正交信號會用于數(shù)字通信系統(tǒng)，并說明是怎么樣用的。

二、實(shí)信號的向量表示

現(xiàn)在，我們先關(guān)注一類復(fù)數(shù)，它是時間的函數(shù)，其幅度為1，而相位隨時間的增加而增加。這個數(shù)可寫為e■，如圖1（a）所示。隨著時間t的增加，復(fù)數(shù)的相位也在增加，該數(shù)圍繞復(fù)平面原點(diǎn)作逆時針旋轉(zhuǎn)。圖1（a）表示該數(shù)某一時刻的值，用一個黑色的點(diǎn)來表示。假設(shè)f0=2Hz，那么該點(diǎn)將沿著該圓每秒旋轉(zhuǎn)2周。我們也可以考慮另外一個復(fù)數(shù)，e■，圖中用白色的點(diǎn)表示，它沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)，因?yàn)殡S著時間的增加，其相位是負(fù)向地增加。

現(xiàn)在，我們稱這兩個復(fù)數(shù)表達(dá)式，e■和e■，為正交信號。它們都有實(shí)部和虛部，而且都是時間t的函數(shù)。e■和e■在文獻(xiàn)中也常被稱作復(fù)指數(shù)函數(shù)。

我們也可以把e■和e■，看作是沿相反方向變化的兩個向量，如圖1（b）所示。利用向量的概念，會很容易幫助我們實(shí)現(xiàn)在復(fù)平面中表示一個實(shí)的正弦信號。

為了更好地理解這些向量的性質(zhì)，圖2（a）展示了e■向量隨時間增長的三維圖形。我們增加了時間軸，其方向經(jīng)頁面朝外。圖2（b）給出了該向量末端一種連續(xù)形式的運(yùn)動軌跡。復(fù)數(shù)e■，正如所期望的，其末端以時間軸為中心，并呈螺旋線前進(jìn)。在圖2（b）中，e■的實(shí)部和虛部投影分別為正弦和余弦函數(shù)。

回到圖1（b），這兩個沿著相反方向旋轉(zhuǎn)的向量，它們的和是什么呢？易知，這兩個向量的實(shí)部將同向相加，而虛部將相互抵消。這就意味著向量e■和e■的和將是一個純實(shí)數(shù)。當(dāng)今數(shù)字通信系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)就基于這條性質(zhì)。

觀察這些向量，便不難理解為什么一個余弦函數(shù)可由兩個復(fù)指數(shù)函數(shù)的和來表示：

cos（2πf0t）=■=■+■ （5）

方程（5）是一個眾所周知的重要表達(dá)式，也被稱為歐拉等式之一。我們可以從方程（3）和（4）推出該等式，對于方程（3）和（4）中的jsin（φ），令其相等，然后從等式中即可求解出cos（φ）。同理，我們可以通過同樣的代數(shù)運(yùn)算，得到一個實(shí)的正弦函數(shù)也可以表示為兩個復(fù)指數(shù)函數(shù)之和的形式：

sin（2πf0t）=■=■-■ （6）

我們現(xiàn)在可以很容易地實(shí)現(xiàn)復(fù)指數(shù)信號和實(shí)正弦信號之間的相互轉(zhuǎn)換。由于復(fù)信號的分析及計(jì)算較實(shí)信號有優(yōu)勢，因此，那些能夠通過信道傳輸、數(shù)字化及存儲的實(shí)信號常常通過復(fù)數(shù)的概念來描述[3]。的確，一個復(fù)數(shù)的每個組成部分都是實(shí)數(shù)，但是，我們用特殊的方式——正交——來處理它們。

三、正交信號的頻域表示

現(xiàn)在我們已經(jīng)熟知正交信號在時域的很多性質(zhì)，接下來我們將看看它們在頻域中的描述。本文將讓大家很容易理解這些性質(zhì)，因?yàn)槲覀儗娜S全方位來展示頻域的相關(guān)特性。這樣，正交信號的相位關(guān)系將完全得以展現(xiàn)。e■和e■的相位分別為2πf0t和-2πf0t，對時間t求導(dǎo)即得正頻率2πf0和負(fù)頻率-2πf0。我們將其中一個復(fù)指數(shù)表示為一個窄帶脈沖，其頻率所在位置由指數(shù)確定。此外，我們將在實(shí)軸和虛軸上給出這些復(fù)指數(shù)函數(shù)的相位關(guān)系。為了展現(xiàn)它們相位的關(guān)系，復(fù)頻域的表示方式是必需的。綜上，如圖3所示。endprint

從圖3右側(cè)可以看出實(shí)正弦波和余弦波是如何在復(fù)頻域中表示的。圖3右側(cè)中的粗箭頭不是旋轉(zhuǎn)的向量，而是頻域中的脈沖符號，用于表示一個復(fù)指數(shù)函數(shù)e■的一根譜線。譜脈沖所指方向僅僅表明譜分量的相對相位。這些譜線的幅度（強(qiáng)度）為1/2。

利用復(fù)頻域，可以直觀地理解如何利用兩個正交信號構(gòu)成一個復(fù)指數(shù)信號[4]。其過程如圖4所示。首先給出一個實(shí)的正弦波，然后讓它乘以j，最后再加上一個同頻率的實(shí)余弦函數(shù)。其結(jié)果就是復(fù)指數(shù)函數(shù)e■。如果令復(fù)信號

e■=xc（t）=i（t）+jq（t），其中i（t）稱為同相分量，而q（t）稱為正交分量。三維的頻域表示是我們用來理解通信系統(tǒng)中正交信號的產(chǎn)生、調(diào)制和解調(diào)的重要工具[5]。

四、眼見未必為“實(shí)”

為了充分理解上述討論的正交信號xc（t）=i（t）+jq（t）的物理含義，我們要認(rèn)識到，一個連續(xù)的正交信號不僅僅是一個數(shù)學(xué)抽象。我們可以在實(shí)驗(yàn)室中產(chǎn)生信號xc（t），也可以在實(shí)際中將其進(jìn)行傳輸。我們所需要的僅僅是兩個具有相同頻率f0的正弦信號發(fā)生器。然后我們連接電纜到發(fā)生器的輸出端，并將標(biāo)記為'i（t）'的余弦信號和'q（t）'的正弦信號傳輸?shù)浇邮斩?。在接收端，將連續(xù)信號i（t）和q（t）分別連接示波器的水平輸入與垂直輸入端，如圖5所示，我們將在示波器上看到一個亮點(diǎn)逆時針地作圓周運(yùn)動。如果將電纜被互換，我們看到的將是順時針方向的圓周運(yùn)動。

這個示波器的例子幫助我們解答了一個重要的問題——當(dāng)我們處理正交信號時，是如何在硬件上實(shí)現(xiàn)j算子呢？答案就是，j算子的實(shí)現(xiàn)主要依賴于我們怎么處理兩個信號之間的關(guān)系。我們將兩個信號設(shè)定為正交的，即同相分量i（t）表示一個東—西向的值，而正交分量q（t）則表示為垂直的南—北向的值。所以，在上面例子中，j算子的實(shí)現(xiàn)僅僅是看發(fā)生器的輸出端是怎樣接到示波器的。同相信號i（t）控制的是水平偏轉(zhuǎn)，而正交相信號q（t）則控制的是垂直偏轉(zhuǎn)。其結(jié)果是一個二維的正交信號通過示波器顯示的瞬時位置表示。

五、結(jié)語

在復(fù)信號、正交信號理論與處理方法中，諸如j算子、復(fù)數(shù)、虛部、實(shí)部、正交等術(shù)語和概念，往往令信號處理的初學(xué)者望而生畏。本文采用數(shù)形結(jié)合的方法，借助復(fù)平面，揭示了復(fù)指數(shù)信號e■和正、余弦信號sin（ωt）、cos（ωt）之間的關(guān)系及相互表示方法。通過時域和頻域三維圖形的描述，分析了正交信號和實(shí)信號之間的關(guān)系，有助于我們理解正交信號的產(chǎn)生和傳輸?shù)雀拍罴疤幚矸椒ā?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]郭永明，水鵬朗.離散正交信號的離散時頻分析[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，41（1）：48-52.

[2]B.P.LATHI.線性系統(tǒng)與信號[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2006.

[3]Lyons R.Quadrature signals：Complex，but not complicated[J].URL：http：//www.dspguru. com/info/tutor/quadsig.htm，2000.

[4]楊平，耿富錄.正交采樣的理論和技術(shù)實(shí)現(xiàn)[J].火控雷達(dá)技術(shù)，1992，（1）：25-30.

[5]張海濱.正交頻分復(fù)用的基本原理與關(guān)鍵技術(shù)[M].國防工業(yè)出版社，2006.

基金項(xiàng)目：福建省教育廳A類科技項(xiàng)目——基于多特征的2D轉(zhuǎn)3D視頻算法研究；廈門理工學(xué)院教改項(xiàng)目——基于CDIO模式的信號處理課程群建設(shè)。

作者簡介：唐駿（1977-），男，湖南永州人，研究生，講師，研究方向：多媒體信號處理；劉虹（1978-），女，福建建甌人，研究生，講師，研究方向：嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì)。endprint

從圖3右側(cè)可以看出實(shí)正弦波和余弦波是如何在復(fù)頻域中表示的。圖3右側(cè)中的粗箭頭不是旋轉(zhuǎn)的向量，而是頻域中的脈沖符號，用于表示一個復(fù)指數(shù)函數(shù)e■的一根譜線。譜脈沖所指方向僅僅表明譜分量的相對相位。這些譜線的幅度（強(qiáng)度）為1/2。

利用復(fù)頻域，可以直觀地理解如何利用兩個正交信號構(gòu)成一個復(fù)指數(shù)信號[4]。其過程如圖4所示。首先給出一個實(shí)的正弦波，然后讓它乘以j，最后再加上一個同頻率的實(shí)余弦函數(shù)。其結(jié)果就是復(fù)指數(shù)函數(shù)e■。如果令復(fù)信號

e■=xc（t）=i（t）+jq（t），其中i（t）稱為同相分量，而q（t）稱為正交分量。三維的頻域表示是我們用來理解通信系統(tǒng)中正交信號的產(chǎn)生、調(diào)制和解調(diào)的重要工具[5]。

四、眼見未必為“實(shí)”

為了充分理解上述討論的正交信號xc（t）=i（t）+jq（t）的物理含義，我們要認(rèn)識到，一個連續(xù)的正交信號不僅僅是一個數(shù)學(xué)抽象。我們可以在實(shí)驗(yàn)室中產(chǎn)生信號xc（t），也可以在實(shí)際中將其進(jìn)行傳輸。我們所需要的僅僅是兩個具有相同頻率f0的正弦信號發(fā)生器。然后我們連接電纜到發(fā)生器的輸出端，并將標(biāo)記為'i（t）'的余弦信號和'q（t）'的正弦信號傳輸?shù)浇邮斩恕Ｔ诮邮斩?，將連續(xù)信號i（t）和q（t）分別連接示波器的水平輸入與垂直輸入端，如圖5所示，我們將在示波器上看到一個亮點(diǎn)逆時針地作圓周運(yùn)動。如果將電纜被互換，我們看到的將是順時針方向的圓周運(yùn)動。

這個示波器的例子幫助我們解答了一個重要的問題——當(dāng)我們處理正交信號時，是如何在硬件上實(shí)現(xiàn)j算子呢？答案就是，j算子的實(shí)現(xiàn)主要依賴于我們怎么處理兩個信號之間的關(guān)系。我們將兩個信號設(shè)定為正交的，即同相分量i（t）表示一個東—西向的值，而正交分量q（t）則表示為垂直的南—北向的值。所以，在上面例子中，j算子的實(shí)現(xiàn)僅僅是看發(fā)生器的輸出端是怎樣接到示波器的。同相信號i（t）控制的是水平偏轉(zhuǎn)，而正交相信號q（t）則控制的是垂直偏轉(zhuǎn)。其結(jié)果是一個二維的正交信號通過示波器顯示的瞬時位置表示。

五、結(jié)語

在復(fù)信號、正交信號理論與處理方法中，諸如j算子、復(fù)數(shù)、虛部、實(shí)部、正交等術(shù)語和概念，往往令信號處理的初學(xué)者望而生畏。本文采用數(shù)形結(jié)合的方法，借助復(fù)平面，揭示了復(fù)指數(shù)信號e■和正、余弦信號sin（ωt）、cos（ωt）之間的關(guān)系及相互表示方法。通過時域和頻域三維圖形的描述，分析了正交信號和實(shí)信號之間的關(guān)系，有助于我們理解正交信號的產(chǎn)生和傳輸?shù)雀拍罴疤幚矸椒ā?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]郭永明，水鵬朗.離散正交信號的離散時頻分析[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，41（1）：48-52.

[2]B.P.LATHI.線性系統(tǒng)與信號[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2006.

[3]Lyons R.Quadrature signals：Complex，but not complicated[J].URL：http：//www.dspguru. com/info/tutor/quadsig.htm，2000.

[4]楊平，耿富錄.正交采樣的理論和技術(shù)實(shí)現(xiàn)[J].火控雷達(dá)技術(shù)，1992，（1）：25-30.

[5]張海濱.正交頻分復(fù)用的基本原理與關(guān)鍵技術(shù)[M].國防工業(yè)出版社，2006.

基金項(xiàng)目：福建省教育廳A類科技項(xiàng)目——基于多特征的2D轉(zhuǎn)3D視頻算法研究；廈門理工學(xué)院教改項(xiàng)目——基于CDIO模式的信號處理課程群建設(shè)。

作者簡介：唐駿（1977-），男，湖南永州人，研究生，講師，研究方向：多媒體信號處理；劉虹（1978-），女，福建建甌人，研究生，講師，研究方向：嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì)。endprint

從圖3右側(cè)可以看出實(shí)正弦波和余弦波是如何在復(fù)頻域中表示的。圖3右側(cè)中的粗箭頭不是旋轉(zhuǎn)的向量，而是頻域中的脈沖符號，用于表示一個復(fù)指數(shù)函數(shù)e■的一根譜線。譜脈沖所指方向僅僅表明譜分量的相對相位。這些譜線的幅度（強(qiáng)度）為1/2。

利用復(fù)頻域，可以直觀地理解如何利用兩個正交信號構(gòu)成一個復(fù)指數(shù)信號[4]。其過程如圖4所示。首先給出一個實(shí)的正弦波，然后讓它乘以j，最后再加上一個同頻率的實(shí)余弦函數(shù)。其結(jié)果就是復(fù)指數(shù)函數(shù)e■。如果令復(fù)信號

e■=xc（t）=i（t）+jq（t），其中i（t）稱為同相分量，而q（t）稱為正交分量。三維的頻域表示是我們用來理解通信系統(tǒng)中正交信號的產(chǎn)生、調(diào)制和解調(diào)的重要工具[5]。

四、眼見未必為“實(shí)”

為了充分理解上述討論的正交信號xc（t）=i（t）+jq（t）的物理含義，我們要認(rèn)識到，一個連續(xù)的正交信號不僅僅是一個數(shù)學(xué)抽象。我們可以在實(shí)驗(yàn)室中產(chǎn)生信號xc（t），也可以在實(shí)際中將其進(jìn)行傳輸。我們所需要的僅僅是兩個具有相同頻率f0的正弦信號發(fā)生器。然后我們連接電纜到發(fā)生器的輸出端，并將標(biāo)記為'i（t）'的余弦信號和'q（t）'的正弦信號傳輸?shù)浇邮斩?。在接收端，將連續(xù)信號i（t）和q（t）分別連接示波器的水平輸入與垂直輸入端，如圖5所示，我們將在示波器上看到一個亮點(diǎn)逆時針地作圓周運(yùn)動。如果將電纜被互換，我們看到的將是順時針方向的圓周運(yùn)動。

這個示波器的例子幫助我們解答了一個重要的問題——當(dāng)我們處理正交信號時，是如何在硬件上實(shí)現(xiàn)j算子呢？答案就是，j算子的實(shí)現(xiàn)主要依賴于我們怎么處理兩個信號之間的關(guān)系。我們將兩個信號設(shè)定為正交的，即同相分量i（t）表示一個東—西向的值，而正交分量q（t）則表示為垂直的南—北向的值。所以，在上面例子中，j算子的實(shí)現(xiàn)僅僅是看發(fā)生器的輸出端是怎樣接到示波器的。同相信號i（t）控制的是水平偏轉(zhuǎn)，而正交相信號q（t）則控制的是垂直偏轉(zhuǎn)。其結(jié)果是一個二維的正交信號通過示波器顯示的瞬時位置表示。

五、結(jié)語

在復(fù)信號、正交信號理論與處理方法中，諸如j算子、復(fù)數(shù)、虛部、實(shí)部、正交等術(shù)語和概念，往往令信號處理的初學(xué)者望而生畏。本文采用數(shù)形結(jié)合的方法，借助復(fù)平面，揭示了復(fù)指數(shù)信號e■和正、余弦信號sin（ωt）、cos（ωt）之間的關(guān)系及相互表示方法。通過時域和頻域三維圖形的描述，分析了正交信號和實(shí)信號之間的關(guān)系，有助于我們理解正交信號的產(chǎn)生和傳輸?shù)雀拍罴疤幚矸椒ā?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]郭永明，水鵬朗.離散正交信號的離散時頻分析[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，41（1）：48-52.

[2]B.P.LATHI.線性系統(tǒng)與信號[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2006.

[3]Lyons R.Quadrature signals：Complex，but not complicated[J].URL：http：//www.dspguru. com/info/tutor/quadsig.htm，2000.

[4]楊平，耿富錄.正交采樣的理論和技術(shù)實(shí)現(xiàn)[J].火控雷達(dá)技術(shù)，1992，（1）：25-30.

[5]張海濱.正交頻分復(fù)用的基本原理與關(guān)鍵技術(shù)[M].國防工業(yè)出版社，2006.

基金項(xiàng)目：福建省教育廳A類科技項(xiàng)目——基于多特征的2D轉(zhuǎn)3D視頻算法研究；廈門理工學(xué)院教改項(xiàng)目——基于CDIO模式的信號處理課程群建設(shè)。

作者簡介：唐駿（1977-），男，湖南永州人，研究生，講師，研究方向：多媒體信號處理；劉虹（1978-），女，福建建甌人，研究生，講師，研究方向：嵌入式系統(tǒng)設(shè)計(jì)。endprint