函數(shù)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)的充分條件

郭欣紅(遼寧金融職業(yè)學(xué)院 素質(zhì)教育學(xué)院， 遼寧 沈陽 110122)

函數(shù)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)的充分條件

郭欣紅

(遼寧金融職業(yè)學(xué)院 素質(zhì)教育學(xué)院， 遼寧 沈陽 110122)

通過幾個(gè)例子指出判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否可導(dǎo)要注意它的充分條件，剖析了錯(cuò)誤判斷產(chǎn)生的原因.

函數(shù)；可導(dǎo)；充分條件

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)基本概念，關(guān)于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處是否可導(dǎo)，一般是根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義和定理，即函數(shù)y=f(x)在x=x0點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是：左右導(dǎo)數(shù)存在且相等.如果對(duì)導(dǎo)數(shù)概念沒有深刻領(lǐng)會(huì)和理解，往往會(huì)對(duì)一些相關(guān)結(jié)論做出錯(cuò)誤判斷.本文列舉了幾個(gè)例子，剖析判斷函數(shù)在x=x0處是否可導(dǎo)應(yīng)注意它的充分條件.

1 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處是否可導(dǎo)

例1設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是( )[1].

這道題很容易選錯(cuò)，如果對(duì)導(dǎo)數(shù)概念沒有充分理解，會(huì)認(rèn)為4個(gè)選項(xiàng)都對(duì)，而正確答案是(D)，下面我們來剖析一下其他3個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)在哪兒.

1)剖析選項(xiàng)(A)： 如果函數(shù)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，顯然

可見選項(xiàng)(A)是函數(shù)可導(dǎo)的必要不充分條件.

2 函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在x=x0處是否可導(dǎo)

例2函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)是F(x)=f(x)+g(x)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的( )[2].

(A) 充分不必要條件； (B) 必要不充分條件 ；(C) 充分必要條件 ；(D) 既不充分也不必要條件.

剖析此題容易錯(cuò)誤地認(rèn)為f(x)和g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)?F(x)=f(x)+g(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，從而選(C).

例3函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)是F(x)=f(x)·g(x)在該點(diǎn)處可導(dǎo)的( ).

(A)充分不必要條件；(B)必要不充分條件；(C)充分必要條件；(D)既不充分也不必要條件.

剖析同理此題也容易錯(cuò)誤地認(rèn)為f(x)和g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)?F(x)=f(x)·g(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，從而選(C).

解如果f(x)和g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)定義可知，F(xiàn)(x)=f(x)·g(x)在x0處也可導(dǎo)；反之，則不一定成立.如f(x)=|x|，g(x)=-|x|，F(xiàn)(x)=f(x)·g(x)=-x2在點(diǎn)x=0處有導(dǎo)數(shù)，且F′(0)=-2x|x=0=0，然而f(x)=|x|，g(x)=-|x|,它們?cè)邳c(diǎn)x=0處都不可導(dǎo)，因此選擇(A)充分不必要條件.

3 函數(shù)在點(diǎn)x=x0處是否可導(dǎo)

剖析此題可以利用導(dǎo)數(shù)定義，分別求出左右導(dǎo)數(shù)，判斷它們是否相等，也可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理解決.

需要注意的是：導(dǎo)數(shù)極限定理只是函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分條件，如果把定理當(dāng)做充要條件，很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果.

通過文中例題的剖析，我們看到，關(guān)注導(dǎo)數(shù)存在的充分條件，能更深入準(zhǔn)確掌握導(dǎo)數(shù)的定義，加深對(duì)概念的理解.

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M]. 6版.北京: 高等教育出版社, 2009：125

[2]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解 [M]. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2005.

[3]時(shí)文俊. 分段函數(shù)分段點(diǎn)處可導(dǎo)性的討論 [J]. 科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2013(15)：168-169.

TheSufficientConditionfortheDerivableFunctionatthePointx=x0

GUO Xin-hong

(CollegeofQualityEducation,LiaoningFinanceVocationalCollege，Shenyang110122，China)

By several examples, it points out that sufficient condition should be paid attention to in judgment of whether the function is derivative and the reason of making error judgment is analyzed.

function; derivable; sufficient condition

2014-01-22

郭欣紅(1969—)，女，遼寧沈陽人，遼寧金融職業(yè)學(xué)院素質(zhì)教育學(xué)院教授，主要研究方向： 高等數(shù)學(xué)教學(xué)教法.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.01.002

O172.1

A

1007-0834(2014)01-0004-03