三次冪等算子線性組合的遺傳性質(zhì)

鄧春源

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州 510631)

(ii) 存在單位算子I的預(yù)解集{E():σ(A)}和可逆算子S使得

由引理1可知，如果P3=P，則σ(P)?{0,1,-1}.如果σ(P)={0,1,-1}，則存在可逆算子S使得SPS-1=I1?-I2?0.特別地，如果σ(P)={0,1}，則三次冪等退化成冪等P2=P，且有對(duì)角矩陣表示SPS-1=I1?0；如果σ(P)={1,-1}，則三次冪等退化成對(duì)合P2=I，且有對(duì)角矩陣表示SPS-1=I1?-I2. 也就是說，三次冪等向冪等和對(duì)合的退化是通過譜點(diǎn)的減少來實(shí)現(xiàn)的.

下面給出本文的主要結(jié)論.

(1)

其中，k=0,1,2,…,8.

冪等算子Fi(i=1,…,27)的定義如下：

F27=(I-P2)(I-Q2)(I-R2).

(2)

本文得到如下定理，其表示簡(jiǎn)潔，有效地涵蓋、推廣了一些已有的結(jié)論.

(3)

則以下結(jié)論成立：

證明由式(2)的定義，易得

TPT-1=[I1I2I3I4I5I6I7I8I9][-I10-I11-I12-I13-I14-I15-I16-I17-I18]

(4)

特別要注意的是，如果式(2)中的某個(gè)Fi=0，則相應(yīng)的對(duì)角元Ii和系數(shù)αi，βi，γi將自動(dòng)消失，此時(shí)式(4)中的對(duì)角算子階數(shù)將小于27.比如說，如果P，Q，R退化成P2=I，Q2=I，R2=I，則Fi=0(i=3,6,7,8,9,12,15,16,…,27).相應(yīng)的Ii和系數(shù)αi，βi，γi將不會(huì)出現(xiàn)，TPT-1，TQT-1，TRT-1將自動(dòng)約化為至多8×8對(duì)角算子矩陣：

TPT-1=I1I2I4I5-I10-I11-I13-I14,

TQT-1=I1I2-I4-I5I10I11-I13-I14,

TRT-1=I1-I2I4-I5I10-I11I13-I14.

(5)

基于上述構(gòu)造，由式(4)知，存在可逆算子T使得

(6)

注意到α27=β27=γ27=0.由引理1知，Ψ是三次冪等的充要條件是：當(dāng)Fi≠0時(shí)，aαi+bβi+cγi=1，或-1，或0.類似地有結(jié)論(b)和(c).證畢.

下面給出一個(gè)實(shí)例(文獻(xiàn)[3]中的定理3.1)具體解釋定理1的應(yīng)用.

證明在定理1中，取R=0.由式(2)知，非零Fi(i=1,…,27)只剩下F3=PQ,F9=P(I-Q)，F(xiàn)21=(I-P)Q和F27=(I-P)(I-Q).從而式(4)中的TPT-1,TQT-1和式(6)中的Ψ分別退化成TPT-1=I3I900，TQT-1=I30I210和

TΨT-1=T(aP+bQ)T-1=(a+b)I3aI9bI210.

(1)若F3=PQ=0,項(xiàng)(a+b)I3將不會(huì)出現(xiàn)，從而a=1，b=1.

(2)若F21=(I-P)Q=0,項(xiàng)bI21將不會(huì)出現(xiàn)，從而a=1，b=-1.

(3)若F9=P(I-Q)=0,項(xiàng)aI9將不會(huì)出現(xiàn)，從而a=-1，b=1.

文獻(xiàn)[1]的定理2.2和定理2.3給出了問題(a)和問題(b)所有可能情況，我們這里給出一種簡(jiǎn)潔的證明，定理1的一個(gè)特殊情況是P2=I，Q2=I和R2=I(問題(a))，此時(shí)式(4)中的TPT-1,TQT-1和TRT-1退化為式(5)，并且

T(aP+bQ+cR)T-1=(a+b+c)I1

(a+b-c)I2(a-b+c)I4(a-b-c)I5

(-a+b+c)I10(-a+b-c)I11

(-a-b+c)I13(-a-b-c)I14.

(7)

則aP+bQ+cR是三次冪等的充要條件是式(7)中的系數(shù)只能是1，-1和0. 容易驗(yàn)證文獻(xiàn)[1]的定理2.2中的條件(a)～(f)滿足上述條件.定理的另外一個(gè)特殊情況是P2=I，Q2=I和R3=R(問題(b))，此時(shí)式(2)中的非零元是Fi≠0(i=1,…,6,10,…,15).同樣可驗(yàn)證aP+bQ+cR是三次冪等的充要條件是文獻(xiàn)[1]的定理2.3中(a′)～(o′)成立.

如果P2=P，Q2=Q和R2=R，此時(shí)式(2)中的非零元Fi≠0(i=1,3,7,9,19,21,25,27),因此TPT-1,TQT-1和TRT-1退化為

TPT-1=I1I3I7I90000,

TQT-1=I1I300I19I2100,

TRT-1=I10I70I190I250.

(8)

注意到

PQ=P?F7=0,F9=0;

PR=P?F3=0,F9=0;

QR=R?F7=0,F25=0.

(9)

式(6)中的表示退化為：

T(aP+bQ+cR)T-1=(a+b+c)I1(a+b)I3

(a+c)I7aI9(b+c)I19bI21cI250.

(10)

文獻(xiàn)[3]的定理3.2證明了如果a=b=1,c=-1,PQ=P,PR=P,QR=R(由式(9)知這些條件等價(jià)于Fi=0(i=3,7,9,25))，那么Ψ是冪等.然而，在式(10)中的表示顯示，若a=b=1,c=-1，Ψ是冪等的充要條件是Fi=0(i=3,25)，即PQ(I-R)=0,(I-P)(I-Q)R=0.所以文獻(xiàn)[4]中的條件PQ=P是多余的.

更進(jìn)一步，如果式(10)中的R=0，則Fi=0，Ii(i=1,7,19,25)也不再出現(xiàn)，T(aP+bQ)T-1進(jìn)一步退化為

T(aP+bQ)T-1=(a+b)I3aI9bI210.

從而aP+bQ是三次冪等的充要條件是所有系數(shù)a+b,a,b只能取0，1，-1.

線性組合的保冪等性、三次冪等性和對(duì)合性近年來被一些學(xué)者所研究[4-8].該問題對(duì)于正規(guī)變量的二次型分布問題的研究起著重要的作用.對(duì)于任意交換n次冪等也有類似的結(jié)論.特別值得提出的是，定理1涵蓋了如下的一些結(jié)論.

(1)由文獻(xiàn)[9]有：P=P3,Q=Q3,R=0時(shí)，使Ψ是三次冪等；

(2)由文獻(xiàn)[10]有：P=P2,Q=Q2,R=0時(shí)，使Ψ是三次冪等；

(3)由文獻(xiàn)[11]的定理1和文獻(xiàn)[3]的定理3.2，有：P=P2,Q=Q2,R=R2時(shí)，使Ψ是冪等；

(4)由文獻(xiàn)[12]的定理4，有：P=P+,Q=Q+,R=0時(shí)，使Ψ廣義對(duì)和算子；

(5)由文獻(xiàn)[13]的定理2.2，有：P=P3,Q=Q3,R=0時(shí)，使Ψ是冪等；

(6)由文獻(xiàn)[14]的定理2.1和定理2.2，有：P2=I,Q2=I,R=R3時(shí)，使Ψ是冪等或三次冪等；

(7)由文獻(xiàn)[14]的定理2.3，有：P=P3,Q=Q3,R=0時(shí)，使Ψ是對(duì)合算子；

(8)由文獻(xiàn)[14]的定理2.5，有：P=P2,Q=Q2,R=0時(shí)，使Ψ是對(duì)合算子；

(9)由文獻(xiàn)[1]的定理2.2，有：P2=I,Q2=I,R2=I時(shí)，使Ψ是三次冪等；

(10)由文獻(xiàn)[1]的定理2.3，有：P2=I,Q2=I,R=R3時(shí)，使Ψ是三次冪等.

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