以全空間為-n-攀援集的系統(tǒng)

符和滿, 譚 楓

(1.肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,肇慶 526061; 2.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510631)

設(shè)(X,f)是1個(gè)動(dòng)力系統(tǒng) (簡(jiǎn)稱系統(tǒng)), 即X是一個(gè)含至少2個(gè)點(diǎn)的完備度量空間,f:X→X是1個(gè)連續(xù)映射. 設(shè)d表示度量空間X的度量.

令

2007年,Xiong等[2]對(duì)任意給定的Furstenberg族,定義了族-混沌, 使得原來(lái)備受關(guān)注的Li-Yorke混沌和分布混沌都成為某種特定族混沌, 即Li-Yorke混沌就是-混沌; 分布混沌就是混沌, 其中是所有正整數(shù)無(wú)限集構(gòu)成的Furstenberg族,是所有上密度為1的正整數(shù)集構(gòu)成的Furstenberg族. 在此基礎(chǔ)上,Tan和Xiong[3]對(duì)給定的2個(gè)Furstenberg族和定義了(,)-混沌.

1997年，Mai[4]指出,存在(0,1)n(n≥2)上的自同胚以整個(gè)空間為L(zhǎng)i-Yorke攀援集. Huang和Ye[5]證明了:存在“許多”非平凡的動(dòng)力系統(tǒng)(X,f)以全空間X為L(zhǎng)i-Yorke攀援集,其中X可以為可數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的緊致度量空間、康托空間和任意維的連續(xù)統(tǒng).Wang等[6]證明了不存在緊致的動(dòng)力系統(tǒng)以全空間為分布攀援集, 并舉出了只含可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的非緊致的可逆系統(tǒng),以全空間為分布攀援集.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)F?+. 稱F是一個(gè)thick集, 如果對(duì)任意的m+,存在amF,使得am,am+1,…,am+mF. 即F中包含了任意長(zhǎng)的連續(xù)自然數(shù)片斷. 全體thick集構(gòu)成的集合是一個(gè)Furstenberg族,記為t.

最近, 熊金城等在文獻(xiàn)[7]中引入如下一類新的Furstenberg族. 對(duì)每一個(gè)(0,1],定義

=F:

其中Fc=+-F. 并且定義.易見(jiàn), 對(duì)每一個(gè)[0,1],均是Furstenberg族;且對(duì)任意的0≤1≤2≤1,有?.此外,?t.

對(duì)于U,V?X,記

稱為集合U和V的碰撞時(shí)間集. 特別地, 當(dāng)U是某獨(dú)點(diǎn)集{x}時(shí),簡(jiǎn)單地記Nf({x},V)為Nf(x,V), 稱為點(diǎn)x在集合V中的回復(fù)時(shí)間集.

2 主要結(jié)果

定義1 設(shè)(X,f)為動(dòng)力系統(tǒng),[0,1],以及整數(shù)n≥2.設(shè)x1,x2,…,xnX兩兩互異,δ>0.記稱是f的一個(gè)-δ-n-串, 如果以及對(duì)任意.

命題1 設(shè)(X,f)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng), 實(shí)數(shù)δ>0,[0,1]以及整數(shù)n≥2. 則Xn-Δn(X)是一個(gè)-δ-n-串當(dāng)且僅當(dāng)在乘積系統(tǒng)(Xn,f(n))中,是Δn(X)的-趨附點(diǎn), 又是Δn(X)的-δ-逃匿點(diǎn).

定義2 設(shè)(X,f)為動(dòng)力系統(tǒng),C?X非空,[0,1]以及整數(shù)n≥2.

(i)給定δ>0. 稱C是f的一個(gè)-δ-n-攀援集, 如果對(duì)于C中任意n個(gè)互異的點(diǎn)x1,x2,…,xn,(x1,x2,…,xn)都是f的一個(gè)-δ-n-串.

(ii)稱C是f的一個(gè)-n-攀援集, 如果對(duì)于C中任意n個(gè)互異的點(diǎn)x1,x2,…,xn, 存在δ>0,使得(x1,x2,…,xn)是f的一個(gè)-δ-n-串.

注1 設(shè)(X,f)為動(dòng)力系統(tǒng), 整數(shù)n≥2.

定理1 設(shè)(X,f)是動(dòng)力系統(tǒng), 其中X緊致. 設(shè)族?t以及整數(shù)n≥2. 如果Δn(X)有-逃匿點(diǎn),則f有distaln-串,即存在串(x1,…,xn)Xn-Δn(X)和δ>0,使得對(duì)任意的k≥0,有

這是因?yàn)?/p>

由于每個(gè)(f(n))-l(Xn-[Δn(X)]δ)是緊致集, 從而

取

□

推論1 對(duì)任意的[0,1]和任意整數(shù)n≥2, 不存在緊致的動(dòng)力系統(tǒng),使得全空間就是-n-攀援集.

證明反證法. 倘若存在某緊致的動(dòng)力系統(tǒng)(X,f),使得X就是-n-攀援集. 根據(jù)命題1可知,Δn(X)有-逃匿點(diǎn). 注意到, 對(duì)任意的[0,1],?t. 故由定理1,f有一個(gè)distaln-串. 這與全空間是-n-攀援集矛盾.

令XS={xm:m≥0}, 其上的度量d取上所誘導(dǎo)的歐氏度量. 定義一個(gè)映射fS:XS→XS使得對(duì)每一個(gè)m≥0,fS(xm)=xm+1.則fS:XS→XS是連續(xù)映射.

則對(duì)于任意的整數(shù)n≥2,XS是一個(gè)-1-n-攀援集.

則對(duì)于任意的整數(shù)n≥2,XS是一個(gè)0-1-n-攀援集.

故對(duì)任意的ε>0,當(dāng)k充分大時(shí),若r2k-p

即對(duì)任意的ε>0,

另一方面, 由XS的定義, 可知當(dāng)k充分大時(shí),若r2k+1-p

即

綜合上述,可得對(duì)于任意整數(shù)n≥2,XS是一個(gè)-1-n-攀援集.

□

例1 對(duì)任意的(0,1], 取序列S={sm}m+如下:s1=2,sm+1=m?其中r0=0,rm=s1+…+sm,m+且?a」代表不超過(guò)實(shí)數(shù)a的最大整數(shù).則S滿足定理3的(1).此時(shí)就該系統(tǒng)(XS,fS)來(lái)說(shuō),對(duì)于任意的整數(shù)n≥2,XS是一個(gè)-1-n-攀援集.

參考文獻(xiàn)：

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[3] Tan F, Xiong J. Chaos via Furstenberg family couple[J]. Topology and Its Applications, 2009, 156(3): 525-532.

[4] Mai J H. Continuous maps with the whole space being a scrambled set[J]. Chinese Science Bulletin, 1997, 42: 1494-1497.

[5] Huang W, Ye X D. Homeoporphisms with the whole compacta being scrambled sets[J]. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2001, 21: 77-91.

[6] Wang H, Liao G F, Fan Q J. A note on the map with the whole space being a scrambled set[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2009, 70(6): 2400-2402.

[7] Xiong J C, Fu H M, Wang H Y. A class of Furstenberg families and their applications to chaotic dynamics[J]. Science China:Mathematics,2013,doi: 10.1007/s11425-013-4720-z.