電磁感應(yīng)中導(dǎo)線(xiàn)切割引起的穩(wěn)定問(wèn)題分析

(南京市金陵中學(xué)，江蘇 南京 210005)

1 單個(gè)導(dǎo)體棒切割引起的穩(wěn)定問(wèn)題

(1)僅單個(gè)導(dǎo)體棒切割

圖1

例1 如圖1所示，U形導(dǎo)體框架寬L=1m，與水平面成α=30°角傾斜放置在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，垂直框面向上．在框架上垂直框邊放一根質(zhì)量m=0.2kg、有效電阻R=0.1Ω的導(dǎo)體棒ab，從靜止起沿框架無(wú)摩擦下滑，設(shè)框架電阻不計(jì)，框邊足夠長(zhǎng)，取g=10m/s2．求：

①ab棒下滑的最大速度vmax；

②在達(dá)到最大速度時(shí)，ab棒上釋放的電功率．

所以，導(dǎo)體棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且回路一直閉合，導(dǎo)體棒做加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體穩(wěn)定狀態(tài)為勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

(2)直流電源與單個(gè)導(dǎo)體棒切割

圖2

例2 如圖2所示，水平放置的U形金屬框架中接有電源，電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r0，框架上放置一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬桿，它可以在框架上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，框架兩邊相距L，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向上．當(dāng)ab桿受到水平向右足夠大的恒力F后．求ab棒可以達(dá)到的最大速度vmax.

解析:一開(kāi)始ab棒受到水平向右的力F、水平向左的安培力FB,因?yàn)榱足夠大，所以ab棒向右加速運(yùn)動(dòng)，之后ab棒切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E2與直流電源E順向連接，故回路中的電流方向?yàn)閺腶流向b．

例3 上題中，若磁場(chǎng)反向，分析ab棒的運(yùn)動(dòng)情況.

解析：一開(kāi)始ab棒受到水平向右的力F、水平向右的安培力FB，所以ab棒向右加速運(yùn)動(dòng)，之后ab棒切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E2與直流電源E反向連接.

ab棒的受力方程為:F+BIL=ma,

顯然，穩(wěn)定后ab棒切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E2比直流電源E大，安培力已反向.

2 兩個(gè)導(dǎo)體棒切割引起的穩(wěn)定問(wèn)題

(1)兩個(gè)導(dǎo)體棒反向切割

圖3

例4 兩金屬桿ab和cd長(zhǎng)均為L(zhǎng)，電阻均為R，質(zhì)量分別為M和m，且M>m.用兩根質(zhì)量和電阻均可忽略不計(jì)的柔軟金屬絲把它們連成回路，并懸掛在水平、光滑絕緣棒上(如圖3)，兩金屬桿水平，整個(gè)裝置處在一與回路平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.若金屬桿ab從靜止開(kāi)始下落，分析金屬桿ab的運(yùn)動(dòng)情況.

ab棒的受力：豎直向下的重力，豎直向上的安培力，豎直向上的繩的拉力，加速度向下.

cd棒的受力：豎直向下的重力，豎直向下的安培力，豎直向上的繩的拉力，加速度向上.

設(shè)運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，ab棒受力方程為：Mg-BIL-T=Ma，cd棒受力方程為：

所以，當(dāng)導(dǎo)體棒反向切割時(shí)，分別產(chǎn)生的電源為順接，穩(wěn)定后棒所受的合力為零，兩棒均做勻速運(yùn)動(dòng).

(2)兩個(gè)導(dǎo)體棒同向切割

例5 兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖4所示，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻不計(jì)，在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行，開(kāi)始時(shí)棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0.若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，分析金屬桿ab的運(yùn)動(dòng)情況，并求在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

圖4

解析：棒ab棒向右運(yùn)動(dòng)，切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生由b到a的電流，受向左的安培力作用減速，cd棒受向右的安培力作用向右加速運(yùn)動(dòng).同時(shí)，兩棒會(huì)產(chǎn)生反接的電動(dòng)勢(shì).所以穩(wěn)定時(shí)兩棒均應(yīng)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，回路中應(yīng)沒(méi)有電流，此時(shí)，回路中的磁通量應(yīng)不發(fā)生變化.兩棒所受的安培力任何時(shí)刻均為等值反向，所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒.

例6 光滑平行金屬導(dǎo)軌如圖5所示，軌道的水平部分bcd位于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，bc部分的寬度為cd部分寬度的2倍，bc、cd部分軌道足夠長(zhǎng)，將質(zhì)量都為m的金屬棒P和Q分別置于軌道上的ab段和cd段，P棒位于距水平軌道高為h的地方，放開(kāi)P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最終速度及回路中所產(chǎn)生的電能.

圖5

解析：棒P下滑的過(guò)程，回路中沒(méi)有電流，機(jī)械能守恒.

其后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析與例5相同，只是兩棒所受的安培力不同，所以整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒，還有，穩(wěn)定后回路中沒(méi)有感應(yīng)電流，bc部分的寬度與cd部分寬度不同，所以此時(shí)兩棒的速度不等.

所以導(dǎo)體棒同向切割，分別產(chǎn)生的電源為反接，若棒所受其他力作用為零，安培力也應(yīng)為零，所以回路中沒(méi)有感應(yīng)電流，兩棒均做勻速運(yùn)動(dòng).

圖6

例7 在水平面上間距為L(zhǎng)的兩根平行光滑的金屬導(dǎo)軌間有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(如圖6)，金屬棒ab和cd擱置在導(dǎo)軌上，并始終垂直于導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的左端接一電阻R，ab和cd棒電阻也均為R，當(dāng)ab在外力作用下勻速向右以速度υ運(yùn)動(dòng)時(shí)，cd棒達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的速度為多少？此時(shí)作用在ab棒上水平向右的外力F為多大？.

導(dǎo)體處于穩(wěn)定狀態(tài)，一般是指導(dǎo)體的速度不變的狀態(tài)，通常根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況判斷回路中的電流方向，再分析導(dǎo)體棒的受力情況，討論其加速度變化的情況，穩(wěn)定后根據(jù)合力為零以及變化過(guò)程中遵循的規(guī)律求解.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李全備.電磁感應(yīng)中"雙桿同時(shí) 切割磁感線(xiàn)"問(wèn)題分析高中數(shù)理化[J].2014，(2).

[2] 劉明祖.一個(gè)電磁感應(yīng)問(wèn)題的探討--切割磁感線(xiàn)的金屬棒究竟在做何種運(yùn)動(dòng)？[J].物理通報(bào)，2011，(11).

[3] 張前軍.談導(dǎo)體棒切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的命制[J].物理教學(xué), 2011,(10).

[4] 鄭金.對(duì)雙桿切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析[J].物理教師, 2011,(7).