機(jī)器人空間三點(diǎn)圓弧算法的研究與實(shí)現(xiàn)

曾輝 柳賀

摘 要：本文介紹了一種針對(duì)機(jī)器人空間圓弧的插補(bǔ)方法。機(jī)器人TCP經(jīng)歷的空間任意三點(diǎn),求出空間圓弧的圓心和半徑，繼而推導(dǎo)出機(jī)器人控制系統(tǒng)中任意空間圓弧的實(shí)現(xiàn)方法，該算法不僅理論上可使所有插補(bǔ)點(diǎn)均在圓弧上，而且采用了矢量算法，避免了插補(bǔ)方向和過象限的判斷。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人；空間圓??；插補(bǔ)；矢量

中圖分類號(hào)：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 引言

機(jī)器人一般應(yīng)用于比較惡劣或人難于企及的環(huán)境以替代勞動(dòng)者完成必要的任務(wù)，因而機(jī)器人的編程，很多情況下是采用示教完成的。示教過程包括把機(jī)器人移動(dòng)到幾個(gè)所要求的目標(biāo)點(diǎn)并把這些點(diǎn)的位置記錄在存儲(chǔ)器中，然后定義經(jīng)過這些點(diǎn)的曲線軌跡及速度。

當(dāng)曲線軌跡為圓弧時(shí)，除了示教圓弧起點(diǎn)(機(jī)器人當(dāng)前點(diǎn)) 和終點(diǎn)外，至少還應(yīng)知道圓心或圓弧上一中間點(diǎn)。顯然，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，機(jī)器人終端TCP的軌跡圓弧通常由示教的圓弧起點(diǎn)、中間點(diǎn)及圓弧終點(diǎn)決定，而這三點(diǎn)所決定的平面通常不一定平行于某一坐標(biāo)平面，因而需要研究空間任意三點(diǎn)圓弧的插補(bǔ)算法。

本研究以上述需求為出發(fā)點(diǎn)，基于機(jī)器人TCP經(jīng)歷的空間任意三點(diǎn)，推導(dǎo)出了機(jī)器人控制系統(tǒng)中任意空間圓弧的實(shí)現(xiàn)方法，并將該算法轉(zhuǎn)化為機(jī)器人語言進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用。

1 由空間任意三點(diǎn)求圓弧的圓心和半徑

已知空間任意三點(diǎn)分別為圓弧起點(diǎn)P ( Xp ,Yp , Zp ) 、中間點(diǎn) Q ( Xq , Yq , Zq )和圓弧終點(diǎn)R( Xr , Yr , Zr ) ,如圖1所示。設(shè)圓心為C( Xc ,Yc , Zc) ,半徑為r ,則有：

（1）

設(shè)坐標(biāo)系 O-X Y Z 上各坐標(biāo)軸的單位坐標(biāo)矢量分別為i , j , k ,則有：

（2）

P、Q、R確定的平面I的法向量

（3）

則在平面I內(nèi)垂直于的向量為：

（4）

則在平面I內(nèi)過中點(diǎn)N1（XN1，YN1，ZN1），和垂直的直線L1為：

（5）

則在平面I內(nèi)垂直于的向量為：

（6）

則在平面I內(nèi)過中點(diǎn)N2（XN2，YN2，ZN2），和垂直的直線L2為：

（7）

直線L1和直線L2的交點(diǎn)即為所求圓弧的圓心C( Xc ,Yc , Zc)，由CP、CQ、CR任一求出半徑r。

在求解過程中應(yīng)注意平行于任一坐標(biāo)平面的圓弧的處理，若L1平行于X平面，則N1i=0，若L2平行于X、Y平面，則N2i、N2j均等于0。在這些情況下都需要程序特殊處理。如圖2所示。

2插補(bǔ)算法

空間給定了起點(diǎn)、終點(diǎn)和一個(gè)中間點(diǎn)的空間三點(diǎn)圓弧的走向是確定的,因此無需用順時(shí)針和逆時(shí)針來區(qū)分。事實(shí)上，用表示空間三點(diǎn)圓弧所在平面的法矢量 n ,則從 n 的正方向看,從 P 到 Q 到R 的圓弧始終是逆時(shí)針圓弧。機(jī)器人的控制系統(tǒng)讀入此段程序后,首先求出圓心和半徑,然后再計(jì)算插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)。

在平面I內(nèi)建立新的二維坐標(biāo)系XOY。以CP為新的Y軸，以nXCP為X軸，對(duì)X、Y分別進(jìn)行單位化，就可得到新的坐標(biāo)系O-XY到原坐標(biāo)系O-XYZ的轉(zhuǎn)換矩陣。

（7）

（8）

（9）

（10）

則轉(zhuǎn)換矩陣

（11）

這樣就把空間圓弧算法轉(zhuǎn)化為平面I的圓弧算法。

平面圓弧上的任一點(diǎn)M的O-XY坐標(biāo)系下坐標(biāo)（Xm，Ym）都能轉(zhuǎn)化為空間的O-XYZ坐標(biāo)系的坐標(biāo)（Xm，Ym，Zm）。

（12）

3 終點(diǎn)判別

圓弧插補(bǔ)的終點(diǎn)判別只需算出圓心角θ和步距角δ,以兩者的商作為插補(bǔ)次數(shù)。

圓心角θ的計(jì)算則要考慮如圖3所示的 (圓弧 PQR )和 (圓弧 PQR )兩種情況。

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí)，

（14）

從圖3可以看出,當(dāng)時(shí)，矢量

與圓弧所在平面的法矢量方向相同；

當(dāng)時(shí)，矢量與方向相反。因而可用公式：

（15）

的正負(fù)來判斷的范圍,當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，。式中為矢量在各坐標(biāo)軸方向上的分量。

算出δ和θ后，插補(bǔ)次數(shù)(不包括 P點(diǎn))。

4仿真分析

在空間任意給定三點(diǎn)，首先算出圓心，然后根據(jù)上述算法畫出圓弧。

時(shí)的圓弧如圖4所示。

時(shí)的圓弧如圖5所示。

5機(jī)器人實(shí)現(xiàn)

對(duì)于6自由度機(jī)器人來說，通過圓弧的插補(bǔ)算法實(shí)時(shí)獲取圓弧的插補(bǔ)位置,然后經(jīng)過機(jī)器人逆解，獲得機(jī)器人的關(guān)節(jié)角度，驅(qū)動(dòng)各軸電機(jī)運(yùn)動(dòng)到相應(yīng)位置，到達(dá)TCP所要求的位置和方位，改方法成功應(yīng)用到自己開發(fā)的ER-165點(diǎn)焊與ER6弧焊機(jī)器人，經(jīng)激光跟蹤儀測(cè)定，跟隨誤差都能控制在+-0.02mm以內(nèi)。

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