數(shù)形結(jié)合思想

陸曄

數(shù)與形是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個最古老的，也是最基本的研究對象，它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論.可見數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，也是一種重要的思維方法.

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為以下兩種情形：第一，借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；第二，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”.

當(dāng)我們探究幾何問題的解題思路受阻，或雖有辦法但很艱難時，我們常?？紤]能否將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而轉(zhuǎn)化的常用方法是解析法即建立坐標(biāo)系；還可引進(jìn)復(fù)平面用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識解決，綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法，?？傻玫胶啙嵉慕夥? 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應(yīng)用.

思路點(diǎn)撥 本題用幾何的方法證明不易，可考慮用解析法，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征，所以巧妙利用這一性質(zhì)就可以闡明“形”的某些屬性，從而準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，使問題得以解決.

思路點(diǎn)撥 題設(shè)所描述的語言都非常形象直觀，同學(xué)們很容易就能畫出對應(yīng)的圖形，但是要求出實(shí)數(shù)m的范圍，卻不是靠看圖就能看出來的，這需要我們把圖形語言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語言，然后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算來求得m的精確范圍.

由于圖形具有生動性和直觀性的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)乩脠D形就能使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使問題靈活、簡潔、準(zhǔn)確地獲解.說白了，就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來研究，思路與方法便在圖形中直觀顯示出來，不僅可以加深對數(shù)量關(guān)系的理解，而且還能簡化運(yùn)算過程，起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時，如果方程或不等式兩邊表達(dá)式有明顯的幾何意義，或通過某種方式可與圖形建立聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將方程或不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題，可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”

思路點(diǎn)撥 此題如果用代數(shù)方法強(qiáng)行演算的話，雖然也能得到答案，但是運(yùn)算“成本”太大，而且復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算也會增加出錯的概率. 考慮到這是一道選擇題，不需要詳細(xì)的推導(dǎo)過程，因此我們不妨“投機(jī)取巧”，利用向量的幾何意義，縮短“戰(zhàn)線”.endprint

數(shù)與形是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個最古老的，也是最基本的研究對象，它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論.可見數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，也是一種重要的思維方法.

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為以下兩種情形：第一，借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；第二，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”.

當(dāng)我們探究幾何問題的解題思路受阻，或雖有辦法但很艱難時，我們常?？紤]能否將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而轉(zhuǎn)化的常用方法是解析法即建立坐標(biāo)系；還可引進(jìn)復(fù)平面用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識解決，綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法，?？傻玫胶啙嵉慕夥? 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應(yīng)用.

思路點(diǎn)撥 本題用幾何的方法證明不易，可考慮用解析法，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征，所以巧妙利用這一性質(zhì)就可以闡明“形”的某些屬性，從而準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，使問題得以解決.

思路點(diǎn)撥 題設(shè)所描述的語言都非常形象直觀，同學(xué)們很容易就能畫出對應(yīng)的圖形，但是要求出實(shí)數(shù)m的范圍，卻不是靠看圖就能看出來的，這需要我們把圖形語言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語言，然后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算來求得m的精確范圍.

由于圖形具有生動性和直觀性的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)乩脠D形就能使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使問題靈活、簡潔、準(zhǔn)確地獲解.說白了，就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來研究，思路與方法便在圖形中直觀顯示出來，不僅可以加深對數(shù)量關(guān)系的理解，而且還能簡化運(yùn)算過程，起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時，如果方程或不等式兩邊表達(dá)式有明顯的幾何意義，或通過某種方式可與圖形建立聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將方程或不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題，可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”

思路點(diǎn)撥 此題如果用代數(shù)方法強(qiáng)行演算的話，雖然也能得到答案，但是運(yùn)算“成本”太大，而且復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算也會增加出錯的概率. 考慮到這是一道選擇題，不需要詳細(xì)的推導(dǎo)過程，因此我們不妨“投機(jī)取巧”，利用向量的幾何意義，縮短“戰(zhàn)線”.endprint

數(shù)與形是數(shù)學(xué)發(fā)展中兩個最古老的，也是最基本的研究對象，它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，如某些代數(shù)問題、三角問題往往都有幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀具體，以便于探求解題思路或找到問題的結(jié)論.可見數(shù)形結(jié)合，不僅是一種重要的解題方法，也是一種重要的思維方法.

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為以下兩種情形：第一，借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；第二，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”.

當(dāng)我們探究幾何問題的解題思路受阻，或雖有辦法但很艱難時，我們常?？紤]能否將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而轉(zhuǎn)化的常用方法是解析法即建立坐標(biāo)系；還可引進(jìn)復(fù)平面用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識解決，綜合使用三角法、向量法等代數(shù)方法，常可得到簡潔的解法. 其典型代表是在立體幾何與解析幾何中的應(yīng)用.

思路點(diǎn)撥 本題用幾何的方法證明不易，可考慮用解析法，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題. 由于“數(shù)”具有精確性的特征，所以巧妙利用這一性質(zhì)就可以闡明“形”的某些屬性，從而準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，使問題得以解決.

思路點(diǎn)撥 題設(shè)所描述的語言都非常形象直觀，同學(xué)們很容易就能畫出對應(yīng)的圖形，但是要求出實(shí)數(shù)m的范圍，卻不是靠看圖就能看出來的，這需要我們把圖形語言轉(zhuǎn)換成代數(shù)語言，然后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算來求得m的精確范圍.

由于圖形具有生動性和直觀性的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)乩脠D形就能使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使問題靈活、簡潔、準(zhǔn)確地獲解.說白了，就是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來研究，思路與方法便在圖形中直觀顯示出來，不僅可以加深對數(shù)量關(guān)系的理解，而且還能簡化運(yùn)算過程，起到事半功倍的效果.

1. 利用圖形研究方程或不等式的解

解方程或不等式時，如果方程或不等式兩邊表達(dá)式有明顯的幾何意義，或通過某種方式可與圖形建立聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將方程或不等式所表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以直觀形象地展現(xiàn). 美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題，可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”

思路點(diǎn)撥 此題如果用代數(shù)方法強(qiáng)行演算的話，雖然也能得到答案，但是運(yùn)算“成本”太大，而且復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算也會增加出錯的概率. 考慮到這是一道選擇題，不需要詳細(xì)的推導(dǎo)過程，因此我們不妨“投機(jī)取巧”，利用向量的幾何意義，縮短“戰(zhàn)線”.endprint