再議函數(shù)極限求解的方法與技巧

李慶娟

（大連財(cái)經(jīng)學(xué)院 遼寧 大連 116600）

極限是高等數(shù)學(xué)的重要概念和研究對(duì)象，它是高等數(shù)學(xué)的理論研究工具，貫穿于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)的整個(gè)過程，因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)中比較重要的概念都是通過極限來(lái)定義和研究的，可見它的重要性.可以說(shuō)學(xué)好極限對(duì)高等數(shù)學(xué)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，因此極限是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是各類考試重點(diǎn)考核的內(nèi)容[1-3].在文獻(xiàn)[4]中，本人曾介紹過極限的幾種常見的求解方法，但不全面，在此基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步地研究了函數(shù)極限求解的主要方法和技巧，總結(jié)歸納了共計(jì)13 種主要方法。

1.利用極限的四則運(yùn)算法則求解函數(shù)極限

極限運(yùn)算法則是繼極限定義之后的一個(gè)主要內(nèi)容，它是求解函數(shù)極限最基本的方法。

定理：設(shè) 1im(f(x)±)=A，1img(x)=B，則

（1）1im(f(x)±g(x))=1imf(x)±1img(x)=A±B；

（2）1imf(x)g(x)=1imf(x)·1img(x)=AB；

說(shuō)明：①定理中“1im”表示自變量是同一變化過程，對(duì)自變量的任何一種變化趨勢(shì)都成立，而且對(duì)數(shù)列極限也成立。

②注意應(yīng)用四則運(yùn)算法則求解極限的前提是f(x)，g(x)的極限都存在，否則不能用，且在商的法則中要求分母的極限不為零。

2.利用初等變形法求函數(shù)極限

除了利用極限的四則運(yùn)算法則求解函數(shù)極限，那么求函數(shù)極限還有很多其他基本的求解方法，例如有理化方法、約分化簡(jiǎn)法、通分化簡(jiǎn)等等， 也就是在求解函數(shù)極限之前先將函數(shù)即極限式子進(jìn)行初等變形，化成比較簡(jiǎn)單的形式，然后再求極限.當(dāng)然，這個(gè)過程還是要用到極限的四則運(yùn)算法則。

利用基本方法只能求而出簡(jiǎn)單形式的函數(shù)極限，因此我們需要進(jìn)一步掌握更多的求解方法。

3.利用重要極限法求函數(shù)極限[4]

在高等數(shù)學(xué)的極限理論中，有兩個(gè)重要極限，即

它們的應(yīng)用非常廣泛，很多類似的函數(shù)極限問題可以轉(zhuǎn)化為重要極限來(lái)求解，為了更好地應(yīng)用重要極限，我們必須要抓住兩個(gè)重要極限的形式和特點(diǎn)，進(jìn)而套用公式求解。

4.利用等價(jià)定理求函數(shù)極限

利用函數(shù)的極限等價(jià)定理求解極限也是在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中需要重點(diǎn)掌握的一種方法。

分析：極限式子的第二項(xiàng)的極限明顯與左右趨近0 有關(guān)，故需要分左右極限討論。

注：一般地，分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限往往需要用等價(jià)定理討論極限的存在性。

5.利用特殊結(jié)論求函數(shù)極限

當(dāng)所求的函數(shù)極限滿足：極限條件是x→∞而極限式是多項(xiàng)式比多項(xiàng)式時(shí)，就可以套用以下結(jié)論：

6.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求函數(shù)極限

無(wú)窮小量是極限為零的變量， 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中首先要理解好無(wú)窮小量的概念，其次要掌握它的性質(zhì)和應(yīng)用，特別是無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小量，這個(gè)性質(zhì)通常用來(lái)求解相應(yīng)的函數(shù)極限問題。

這里我們注意到函數(shù)cos(2x+1).當(dāng)x→+∞時(shí)雖然極限不存在，但是它為有界函數(shù)，即又因?yàn)樗岳脽o(wú)窮小量的性質(zhì)可知

7.利用等價(jià)無(wú)窮小替換法求函數(shù)極限

利用等價(jià)無(wú)窮小替換的方法求解函數(shù)極限是求解函數(shù)極限非常重要的一種方法，在應(yīng)用這個(gè)方法時(shí)，往往要結(jié)合其他方法，例如洛必達(dá)法則等方法，從而使問題更快的求解出來(lái).我們常用的等價(jià)無(wú)窮小量有：x→0 時(shí)：

（1）x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～1n(1+x)～ex-1；

在利用無(wú)窮小量替換法求解函數(shù)極限時(shí)要注意：在乘積因子里可以直接替換成相應(yīng)的等價(jià)的無(wú)窮小量，但是在代數(shù)和運(yùn)算的式子里面盡量不要直接替換，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

8.利用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則是求解函數(shù)極限的非常重要而且也是很常用的方法，洛必達(dá)法則主要是涉及七個(gè)類型的函數(shù)極限求解問題，即七個(gè)類型，其中屬于兩個(gè)基本類型，其它的五個(gè)類型極限問題均可以通過化簡(jiǎn)變形轉(zhuǎn)化成為基本類型求解.在利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限時(shí)往往需要結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換的方法，這樣能夠使問題更快、更容易求解出來(lái)。

解：此題為∞-∞型，這種類型的極限通常采用通分方法將其化為基本型。

9.利用泰勒公式求函數(shù)極限

我們用泰勒公式求解函數(shù)極限時(shí)，主要是指帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式.常用的公式如下有：

注：此題在上面講無(wú)窮小替換的方法時(shí)做過，當(dāng)時(shí)直接等價(jià)無(wú)窮小替換就出現(xiàn)了錯(cuò)誤，而這里用泰勒公式替換就對(duì)了，所以為什么強(qiáng)調(diào)在加減法的極限式子中不要輕易直接用常見等價(jià)無(wú)窮小替換，因?yàn)槟阏业目赡懿皇谴祟}的等價(jià)無(wú)窮小，否則會(huì)出錯(cuò)。

10.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義，我們知道導(dǎo)數(shù)是通過極限來(lái)定義的，它是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，即變化率問題，所以遇到類似這樣結(jié)構(gòu)的極限就可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)導(dǎo)數(shù)問題求解。

11.利用變量代換法求極限

變量代換法也是求解函數(shù)極限的一種典型的方法，這里的變量代換主要是指直接代換和倒代換，尤其是倒代換比較常用，這種難度的題目一般在考研或是高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中較常見。

令 t=sinx,x=arcsint，則

12.利用中值定理求極限

高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的中值定理包括微分中值定理和積分中值定理，這里的所說(shuō)的中值定理主要涉及的是微分中值定理中的拉格朗日中值定理，它的應(yīng)用是非常廣泛的，特別在求解函數(shù)極限時(shí)也很好用。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)滿足在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在至少存在一點(diǎn) ξ∈(a,b)，使得 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。

在求解函數(shù)極限時(shí)，如果極限式子中出現(xiàn)f(b)-f(a)的形式，即函數(shù)增量問題，而且極限不好求解時(shí)，我們就可以考慮利用拉格朗日中值定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。

13.利用夾逼定理求極限

利用夾逼定理求極限是求極限的一個(gè)主要方法，特別是求數(shù)列極限時(shí)往往很奏效，但求函數(shù)極限相對(duì)用的少些，我們看看下面的例子。例：求極限

以上我們總結(jié)并歸納了求解函數(shù)極限的十三種主要方法和技巧，這些方法都是比較典型的方法.當(dāng)然，求極限的方法還有很多，比如求數(shù)列極限時(shí)，還可以利用定積分的定義求解，利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則求極限，利用級(jí)數(shù)的必要性求解等等方法.總之，求極限的方法很多，而且各有不同，這就要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)極限求解時(shí)，要善于總結(jié)歸納，只有熟練掌握了各種求解方法，遇到問題時(shí)，才能輕松求解出來(lái)，做到事半功倍。