Smarandache Ceil函數(shù)的均值研究

許軍保

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

Smarandache Ceil函數(shù)的均值研究

許軍保

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

研究了Smarandache Ceil函數(shù)的均值性質(zhì),并利用初等方法得到了該函數(shù)關(guān)于k次方冪數(shù)列均值的幾個(gè)漸近公式.

Smarandache Ceil函數(shù);k次方冪數(shù)列;均值;漸近公式

1 引言及有關(guān)定理

對(duì)于任意整數(shù)n及給定的正整數(shù)k，n的k次方上下部分?jǐn)?shù)列定義如下：

ak(n)=min{mk|mk≥n,m∈N+},bk(n)=max{mk|mk≤n,m∈N+},

其中k∈N+，稱ak(n)表示不小于n的最小k次方部分?jǐn)?shù)列，亦稱為上部k次方部分?jǐn)?shù)列，稱bk(n)表示不超過n的最大k次方部分?jǐn)?shù)列，亦成為下部k次方部分?jǐn)?shù)列，當(dāng)k=3時(shí)這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)為：

a3(1)=1,a3(2)=8,a3(3)=8,a3(4)=8,a3(5)=8,a3(6)=8,a3(7)=8,a3(8)=8,a3(9)=27,…，

b3(1)=1,b3(2)=1,b3(3)=1,b3(4)=1,b3(5)=1,b3(6)=1,b3(7)=1,b3(8)=8,b3(9)=8,….

對(duì)給定的正整數(shù)n,k,且k≥2著名Smarandache Ceil函數(shù)Sk(n)定義為最小的正整數(shù)x，使得n|xk，即：Sk(n)=min{x:x∈N+,n|xk}.

例如Sk(2)=2,Sk(3)=3,Sk(4)=2,…在F.Smarandache[1]的建議下,不少學(xué)者對(duì)ak(n)、bk(n)和Sk(n)的算術(shù)性質(zhì)進(jìn)行了研究[2-3].令：

并得到了以下結(jié)論.

定理1 對(duì)任意x>2,漸近公式：

定理2 對(duì)一任意正整數(shù)n，有漸近式及極限式：

定理3 對(duì)一任意正整數(shù)n，有漸近式及極限式：

(Ik(n)-Lk(n))=0.

定理4 對(duì)一任意正整數(shù)n，有漸近式及極限式：

2 定理的證明

由于Sk(n)≤n,從而Sk(rk)≤rk，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).顯然:

([x]-Mk)(M+1)k((M+1)k-Mk)(M+1)k=

其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).顯然:

([x]-Mk+1)Mk≤((M+1)k-Mk+1)Mk=

在定理1中，取x=n，則:

立刻得到:

即得定理2、3的結(jié)論.

即得定理4的結(jié)論.

[1]Smarandache F.Only problems not solutions[M].Chicago:Xiquan Publishing House,1993.

[2]Sabin T,Tatiana T.Some new results concerning Smarandache Ceil function[J].Smarandache NotJournal,2002,13(1/2/3):30.

[3]Yi Yuan,Liang Fangchi.On the primitive numbers of power p and k-power root[C]//Zhang Wenpeng Reseach on Smarandache problems in number number theory,Phoenix:Hexis,2004:5-8.

[4]黃煒.關(guān)于Smarandach的K次方部分?jǐn)?shù)列[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,36(5):1-3.

[5]潘承洞,潘承彪.解析數(shù)論基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

ReseachontheMeanValueofSmarandacheCeilFunction

XU Jun-bao

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiao Tong University,Lanzhou 730070,China)

The mean value properties of the Smarandache Ceil function were studied, and several asymptotic formulas of this function was given by using the elementary and analytic methods.This shows that there exists better value distribution properties for the Smarandache Ceil function in some special sequences.

Smarandache Ceil function;k-power sequence; mean value; asymptotic formula

2014-02-01.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10574059)；甘肅省自然科學(xué)項(xiàng)目(0710RJZA072).

許軍保(1955- )，男，副教授， 主要從事基礎(chǔ)數(shù)論及其應(yīng)用的研究.

O156.4

A

1008-8423(2014)01-0064-04