模度量空間下的不動(dòng)點(diǎn)定理

常思進(jìn), 柴國慶，黃東琴

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

模度量空間下的不動(dòng)點(diǎn)定理

常思進(jìn), 柴國慶，黃東琴

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 黃石 435002)

推廣了模度量空間，針對(duì)一類被稱之為Chatterjea映射，在適當(dāng)?shù)臈l件下，建立了映射T具有不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性結(jié)果.

模度量空間; 不動(dòng)點(diǎn); Chatterjea映射

1 引言及預(yù)備知識(shí)

Banach壓縮映像原理最初被廣泛的應(yīng)用在具體的度量空間,自從Chistyakov定義了模度量空間以后,他們就把度量空間中的Banach壓縮映像原理推廣到模度量空間上,模度量空間這個(gè)新概念背后的主要思想是模塊化的物理解釋。通俗的說,是在任意兩個(gè)點(diǎn)集的非負(fù)有限的距離, 在某集合上的?？梢远x為一個(gè)具有以下性質(zhì)的非負(fù)(可能是無窮大)的“速度場(廣義上)”：給定任意“時(shí)間”

λ>0，它和平均速度ωλ(x,y)有這樣的關(guān)聯(lián)性，如果要覆蓋點(diǎn)x,y之間的“距離”，x,y∈X以速度

ωλ(x,y)從點(diǎn)x移動(dòng)到點(diǎn)y需要時(shí)間λ.本文主要在度量空間的基礎(chǔ)上研究了模度量空間的不動(dòng)點(diǎn)問題, 研究并證明了模度量空間中在Chatterjea映射下的不動(dòng)點(diǎn)的存在性及唯一性.

定義1[1]X為非空集合，函數(shù)ω:(0,∞)×X×X→[0,∞] ,如果有下列三條公理成立： 對(duì)任意的x,y,z∈X,

1)x=y當(dāng)且僅當(dāng)ωλ(x,y)=0，對(duì)所有λ>0;

2)ωλ(x,y)=ωλ(y,x),對(duì)所有λ>0;

3)ωλ+υ(x,y)≤ωλ(x,z)+ωυ(z,y),對(duì)所有λ,υ>0;

那么稱 (X,ω)為模度量空間.

3)模度量空間(X,ω)中的子集M被稱作是ω-完備的，如果對(duì)于M中每一個(gè)ω-Cauchy 列是ω-收斂列且它的ω-極限在M中.

ωλ(Tx,Ty)≤h(λ)[ω2λ(x,Ty)+ω2λ(y,Tx)] ?x,y∈X

定義4[3]映射T:C→C為一個(gè)映射，C是X的非空子集. 設(shè)x∈C, 定義軌道OT(x,0,∞)={x,Tx,T2x,…,Tnx,…}.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 (X,ω)是一個(gè)模度量空間，C是X的非空子集.假設(shè)C是ω-完備的，映射T:C→C為Chatterjea映射，且存在x0∈C，使得軌道OT(x0,0,∞)有界，則T有唯一不動(dòng)點(diǎn).

ωλ(Tx,Ty)≤h(λ)[ω2λ(x,Ty)+ω2λ(y,Tx)] ?x,y∈X

(1)

對(duì)x0∈C,作迭代序列xn=Tnx0，n=0,1,2,…，于是由(1)式，得

ωλ(xn+1,xn)=ωλ(Txn,Txn-1)≤h(λ)[ω2λ(xn,Txn-1)+ω2λ(xn-1,Txn)]=h(λ)[ω2λ(xn,xn)+ω2λ(xn-1,Txn)]=h(λ)ω2λ(xn-1,Txn)=h(λ)ω2λ(xn-1,xn+1)≤h(λ)[ωλ(xn-1,xn)+ωλ(xn,xn+1)]

故

(2)

由(2)式依此類推，得

ωλ(xn,xn+1)≤βnωλ(x0,x1)

(3)

由于T是Chatterjea映射，?p≥1,n≥1 由 (1)，(3)式，得

ωλ(Tn+px0,Tnx0)≤h(λ)[ω2λ(Tn+p-1x0,Tnx0)+ω2λ(Tn+px0,Tn-1x0)]≤h(λ)[ωλ(Tn+p-1x0,Tn-1x0)+ωλ(Tn-1x0,Tnx0)+ωλ(Tn+p-1x0,Tn-1x0)+ωλ(Tn+px0,Tn+p-1x0)]≤ 2h(λ)ωλ(Tn+p-1x0,Tn-1x0)+h(λ)ωλ(x0,x1)(βn-1+βn+p-1)

故

記a=ωλ(x0,x1)，則

由于β∈(0,1 )，有βn+p-m+βn-m<2βn-m,故

故

故

由于OT(x0,0,∞)有界，故?M>0,?p> 1，有ωλ(Tpx0,x0)≤M.由于β∈(0,1)，故:對(duì)?ε>0,

則當(dāng)n>N時(shí)，有

即{xn} 是X中ω-Cauchy列.

又因?yàn)镃是ω-完備的，故 {xn}ω-收斂到x∈C

下面證明X是T的不動(dòng)點(diǎn),

對(duì)上式，取n→∞，得ωλ(Tx,x)≤h(λ)ωλ(x,Tx)

下證T至多有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

反設(shè)：若不然，設(shè)x,z∈X是T的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則由(1)式，得

ωλ(x,z)=ωλ(Tx,Tz)≤h(λ)[ω2λ(x,Tz)+ω2λ(z,Tx)]=h(λ)[ω2λ(x,z)+ω2λ(z,x)]

而ω2λ(x,z)≤ωλ(x,z)+ωλ(z,z)=ωλ(x,z),故

ωλ(x,z)≤h(λ)[ωλ(x,z)+ωλ(z,x)]= 2h(λ)ωλ(x,z)

例1 集合X={a,b∈R/0≤a+b≤1},定義映射ω:(0,∞)×X×X→[0,∞] 為

如果X是ω-完備的，映射T:X→X為

Ta=3Tb=4

則

[1]Chistyakov V V. Modular metric spaces, I: basic concepts[J]. Nonlinear Anal, 2010,72(1): 1～14.

[2]Orlicz W. Collected Papers(Part I, II)[M]. Warsaw: Panstwowe Wydawnictwo Naukove, 1988.

[3]Bruck R E.A common fixed point theorem for a commuting family of nonexpansive mappings[J]. Pac J Math,1974,53: 59～71.

[4]Chistyakov V V.Modular metric spaces, II: application to superposition operators[J]. Nonlinear Anal,2010, 72(1):15～30.

[5]Nakano H. Modulared Semi-Ordered Linear Spaces[M]. Tokyo:Maruzen, 1950.

[6]Musielak J.Orlicz Spaces and Modular Spaces[J]. Lecture Notes in Math, 1983,1034(6):2019～2032.

[7]Diening L.Theoretical and numerical results for electrorheological fluids[J]. Ph D thesis, 2006,3:1172～1190.

[8]Ruzicka M.Electrorheological Fluids Modeling and Mathematical Theory[M]. Berlin:Springer, 2002.

[9]Khamsi M A, Kozlowski W K, Reich S.Fixed point theory in modular function spaces[J]. Nonlinear Anal, 1990,14:935～953.

[10]Khamsi M A, Kozlowski W K.On asymptotic pointwise contractions in modular function spaces[J]. Nonlinear Anal,2010,73:2957～2967.

[11]Goebel K, Reich S.Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry, and Nonexpansive Mappings. Series of Monographsand Textbooks in Pure and Applied Mathematics[M] .New York:Imperial College,1984.

[12]Kozlowski W M. Notes on modular function spaces II[J]. Comment Math,1988, 28:105～120.

Fixedpointtheoreminmodularmetricspace

CHANG Si-jin, CHAI Guo-qing , HUANG Dong-qin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

This paper expanded that the modular metric space which is called the chatterjea mapping, establish the mappingThas the fixed point existence and uniqueness results under appropriate conditions

modular metric space; fixed point; Chatterjea mappings

2014—09—01

常思進(jìn)(1989— )，女，湖北十堰人，碩士研究生，主要研究方向：非線性泛函分析.

O177.91

A

1009-2714(2014)04- 0079- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.04.017