一類帶擴(kuò)散的捕食者-食餌模型解的性態(tài)研究

謝君輝，雷森文

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

XIE Junhui,LEI Senwen

(School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000, China)

一類帶擴(kuò)散的捕食者-食餌模型解的性態(tài)研究

謝君輝，雷森文

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

生態(tài)學(xué)中，由于種群之間存在捕食與被捕食的強(qiáng)烈相互作用，對(duì)于捕食者-食餌模型的研究已日漸成為一個(gè)重要方向，并進(jìn)而成為生物數(shù)學(xué)的一個(gè)主要課題.運(yùn)用比較原理、上下解方法和迭代技巧討論一類帶擴(kuò)散的捕食者-食餌的偏微分方程模型，證明了正常數(shù)平衡解在一些條件下是全局漸近穩(wěn)定的.

捕食者-食餌；全局漸近穩(wěn)定性；迭代技巧

1 模型介紹

種群動(dòng)力學(xué)已發(fā)展為生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支.經(jīng)典的Lotka-volterra模型為：

(1)

這個(gè)模型包含了兩種群之間的競(jìng)爭(zhēng)、捕食和被捕食、互惠三大關(guān)系[1].人們不僅考慮空間上分布均勻的常微分方程生物數(shù)學(xué)模型，而且也考慮空間分布不均勻的生物數(shù)學(xué)模型，即反應(yīng)擴(kuò)散方程組.

具反應(yīng)擴(kuò)散的捕食模型的原型為(以兩種群為例)：

(2)

其中u,v分別為食餌種群與捕食者種群的密度，f(u)和g(v)分別表示食餌種群和捕食者種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，在Volterra早期的工作中，假設(shè)f(u)=λu,g(v)=-μv，然而，在實(shí)際生活中，捕食者除了食物u之外還有其他固定的食物來源.對(duì)于食餌種群和捕食者種群，假設(shè)它們具有l(wèi)ogistic增長(zhǎng)率；φ(u)稱為響應(yīng)函數(shù)，表示單個(gè)捕食者在單位時(shí)間內(nèi)捕食到食餌的數(shù)量，這個(gè)概念最早是由Holling提出來的.經(jīng)典的Lotka-volterra模型Ⅱ中假設(shè)φ(u)=u，其生物解釋為：在單位時(shí)間內(nèi)，捕食者吃掉的食餌數(shù)量與實(shí)際食餌數(shù)量成正比例關(guān)系.這個(gè)模型的研究為后來的許多捕食食餌模型的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

研究如下具有擴(kuò)散的反應(yīng)擴(kuò)散方程捕食者-食餌模型：

(3)

2 主要結(jié)論和證明

問題(3)中，u(x,t)和v(x,t)分別表示食餌和捕食者物種的密度,Ω?Rn是邊界?Ω光滑的有界區(qū)域，ν是邊界?Ω上的單位外法向量，正常數(shù)d1和d2分別是u和v的擴(kuò)散系數(shù)，常數(shù)λ,μ,m,b,β,γ>0.不失一般性，假設(shè)d1=d2=1.事實(shí)上，如果d1,d2≠1，則可以通過伸縮變換[4]將問題(3)化為:

(4)

運(yùn)用上下解方法、比較原理以及迭代技巧[5-8]證明方程組(4)的正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的全局漸近穩(wěn)定性，關(guān)于全局漸近穩(wěn)定性的更多結(jié)論，參見文獻(xiàn)[9-10].

事實(shí)上，方程組(4)的穩(wěn)態(tài)問題為：

(5)

由方程組4的第二個(gè)方程得，對(duì)x∈Ω,t≥T1(ε1)，

(6)

(7)

(8)

式(8)等價(jià)于:

(9)

(10)

(11)

而式(10)又等價(jià)于:

(12)

進(jìn)一步得:

(13)

(14)

(15)

(16)

[1]Du Y,Sze-Bi Hsu.A diffusive predator-prey model in heterogeneous environment[J].Differential Equations,2004，203:331-364.

[2]吳婷．一類帶B-D反應(yīng)項(xiàng)的捕食食餌模型的解的研究[D].長(zhǎng)沙:湖南師范大學(xué),2012.

[3]顧永耕，曾憲忠.被捕食者帶有第三邊值的捕食模型的正穩(wěn)態(tài)解的存在[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2007,27(2):284-292.

[4]郭改慧,李艷玲.帶B-D反應(yīng)項(xiàng)的捕食-食餌模型的全局分支及穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(2):30-40.

[5]葉其孝,李正元.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京:科學(xué)出版社,1994:118-134.

[6]郭大鈞.非線性泛函分析[M].山東:山東科技出版社,2003:42-77.

[7]王明新.非線性橢圓型方程[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

[8]王明新.非線性拋物型方程[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[9]Wang M. Global asymptotic stability of positive steady states of diffusive ratio-dependent prey-predator model[J].Appl Math Letters，2008，21:1215-1220.

[10]Zeng X. A ratio-dependent predator prey model with diffusion[J].Nonlinear Analysis RWA，2007，8：1062-1078.

[11]張漢基，李艷玲.一類捕食-食餌模型近平衡的存在性[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，33(4)：760-766.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

StudyofPropertyofSolutionsforaClassofPredator-preyModelwithDiffusion

In the field of ecology, the research of predator-prey interaction has become a very important issue because of the strong interactions between populations.Therefore, it has become a major topic in mathematics and ecology.In this paper, we prove the positive constant steady state of a class of predator-prey model with diffusion is globally asymptotically stable under some conditions by using the comparison principle,upper and lower solution method and the iterative technique.

predator-prey；global asymptotic stability；iteration technique

2014-11-17.

湖北省教育廳科學(xué)研究指導(dǎo)性項(xiàng)目；湖北民族學(xué)院博士啟動(dòng)基金(MY2013B019).

謝君輝(1984- )，女(土家族)，博士，講師，主要從事偏微分方程理論及應(yīng)用研究.

O029

A

1008-8423(2014)04-0398-04

XIE Junhui,LEI Senwen

(School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000, China)