差分方程xn+1=f(xn,xn-k)的全局漸近穩(wěn)定性

姚 勇，孔春莉，李祖雄

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

YAO Yong,KONG Chunli,LI Zuxiong

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

差分方程xn+1=f(xn,xn-k)的全局漸近穩(wěn)定性

姚 勇，孔春莉，李祖雄*

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

差分方程；不變區(qū)間；全局漸近穩(wěn)定性

1 引言及預備知識

考慮差分方程:

xn+1=f(xn,xn-k)，n=0,1,…;k=1,2,….

(1)

對于方程(1)在不同條件下的全局吸引性已有許多數(shù)學工作者進行了廣泛的研究[1-4]，但對于負解的全局吸引性的工作卻做得很少.本文運用文獻[1]中的某些方法研究方程(1)滿足條件：

(H1)f∈C[(-∞,b)×(-∞,b),(-∞,b)]，b≤0是常數(shù)；

(H2)f(u,v) 關于u單調增加，關于v單調減少；

為了行文方便，給出一些記號，定義及引理.記I是實數(shù)區(qū)間，f是Ik+1上的連續(xù)函數(shù)，記方程:

xn+1=f(xn,xn-1,…，xn-k)，n=0,1,…；k=1,2,….

(2)

定義2 區(qū)間J?I被稱為方程(2)的一個不變區(qū)間，如果x-k,…,x-k+1,x0∈J，則xn∈J(n>0)，即當初始條件屬于J時，方程(2)的任意解仍在J中.

引理1[5]假設A,B∈R，那么:

|A|+|B|<1

(3)

是差分方程:

xn+1-Axn+Bxn-k=0，n=0,1,2,…;k=1,2,….

(4)

漸近穩(wěn)定的充分條件；如果還滿足下列條件之一：

i)k是奇數(shù)且B<0；ii)k是偶數(shù)且AB<0.

則方程(3)也是差分方程(4)漸近穩(wěn)定的必要條件.

引理2[6]考慮差分方程:

xn+1=f(xn,xn-k)，n=0,1,…；k=1,2,….

(5)

設I=[a,b]是一實數(shù)區(qū)間且假定:f:[a,b]×[a,b]→[a,b]

是一連續(xù)函數(shù)且滿足下列條件：

i)f(u,v)關于u非減，關于v非增；

ii)如果(m,n)∈[a,b]×[a,b]是方程組:

(6)

2 主要結果及證明

定理1 假設條件(H1)～(H3)滿足，則方程(1)有唯一的負平衡點.

證明假設x≠y使得:x=f(x,x)，y=f(y,y)

同時成立.不妨設xy同樣可證)，則由條件(H1)～(H3)知:x=f(x,x)>f(x,y)，

兩邊同除以x，有: 1

得出矛盾.所以方程(1)有唯一的負平衡點.

定理2 若方程(1)滿足條件(H1)～(H3)，那么下列結論成立：

證明只證1)與3)，其它證明類似.根據(jù)條件(H1)～(H3)有:

顯然β≤b.方程(1)意味著:xn≤β,n>0.

假設在區(qū)間(-∞,b)上滿足：

在條件(H4)下，記h(β)是方程f(x,β)=x的唯一解.

定理3 若條件(H1)～(H4)滿足，那么存在充分大的正整數(shù)N，使得:

h(β)≤xn≤g(β)，n≥N+k+1，

其中g(β)=f(β,h(β)).

為證明這個定理，給出以下引理.

引理3 若條件(H1)～(H4)滿足且存在充分大的正整數(shù)N使得:xN≥h(β),xN+1≥h(β),…,xN+k≥h(β)，那么xn≥h(β),n≥N.

證明由條件(H1)～(H4)知:xN+k+1=f(xN+k,xN)≥f(xN+k,β)≥f(h(β),β)=h(β).

若對于j≤n都有xN+k+j≥h(β)，則有:xN+k+j+1=f(xN+k+j,xN+j)≥f(h(β),β)=h(β)，所以:xn≥h(β),n≥N.

引理4 若條件(H1),(H2),(H4)滿足，且存在正整數(shù)N使得:xN≥h(β)，

那么:

xN+i≥h(β),xN+k+i≤g(β),i=1,2,….

證明由條件(H1),(H2),(H4)有:xN+1=f(xN,xN-k)≥f(h(β),β)=h(β)，

xN+k+1=f(xN+k,xN)≤f(β,h(β))=g(β).

由數(shù)學歸納法可得:

xN+i≥h(β),xN+k+i≤g(β).

兩邊同除以h(β)得:

矛盾，所以x>h(β).而:

引理6 若(H1)～(H4)滿足，則方程:

f(x,g(β))=x

(7)

綜上所述，引理6得證.

證明斷定一定存在一個正整數(shù)N使得yN≥h(β),否則假設yN

則{yn}嚴格單調遞增.設yn的極限值為I，則有I≤h(β)，

I=f(I,g(β))，

(8)

由引理6和方程(8)有I>h(β)，得出矛盾.因此一定存在一個正整數(shù)N使得yN≥h(β).

而由(H2)知:yN+1=f(yN,g(β))>f(h(β),β)=h(β)，

定理3的證明，分三種情況證明.

1) 若存在正整數(shù)N使得:xN≥h(β),xN+1≥h(β),…,xN+k≥h(β),

則由引理3，引理4有:h(β)≤xn≤g(β),n≥N+k+1.

2) 若存在正整數(shù)N使得:(a):xNh(β);或:(b):xN>h(β),xN+1

由(b)知:xN+1=f(xN,xN-k)>f(h(β),β)=h(β)，所以(b)假設不成立.

現(xiàn)在證明(a)，由引理4知:

xN+i>h(β)≥h(β),i=1,2,…，

又:

xN+k+2=f(xN+k+1,xN+1)≤f(β,h(β))=g(β).

同樣由引理4知:

xN+i+k+1≤g(β),i=1,2,….

3)若存在正整數(shù)N使得:xnf(xN+k,g(β))=yn

由引理7知總存在正整數(shù)N使得:

xn≥h(β),n≥N，

而:

xN+k+1=f(xN+k,xN)≤f(β,h(β)_=g(β)，

綜合1)、2)、3)所證知定理5成立.

定理4 若條件(H1)～(H5)滿足，系統(tǒng):

(9)

由定理3和引理2容易得證.

3 應用

考慮方程:

(10)

其中α∈(-∞,-1)∪(-1,0)是一實數(shù)，初始條件x-k,x-k+1,…,x0是任意負實數(shù).

當α<-3時，有:

當α∈[-3,-1)時有:

現(xiàn)在考慮方程:

(11)

其中f:I×I→I，其中I=[t(α+t),α+t].

又因為:

(α+t)(α+2t)≤αu+2v≤(α+t)(αt+2)，

又令T(α)=(α+t)(α+2t)，而:

證明取h(β)=(α+t)t,g(β)=α+t,0≤δ≤(α+t)(1-t)，據(jù)引理8有:

f(α+t,(α+t)t+δ)≤f(α+t,(α+t)t)=α+t=g(β)，

所以對所有u,v∈I有:h(β)=(α+t)t≤f(u,v)≤g(β)=α+t，即方程(10)中的解{xn}滿足:h(β)≤xn≤g(β).

證明設{xn}是方程(10)的任意一個具有初值x-k,x-k+1,…,x0∈I的解.對u,v∈I滿足式(11)，則f:I×I是一連續(xù)函數(shù)，由引理8和定理6知：f滿足(H1)～(H5)，現(xiàn)在只要證滿足下列方程組的解是m=n，令:

則有:

(m-n)(m+n-α+1)=0，

若m+n-α+1=0，則有:m+n=α-1，因而有:n2-(α-1)n-(α-1)=0，

也就是:

由此得:

即:

得出矛盾.

同樣得出矛盾.所以:m+n-α+1≠0，

[1]Fan Y H,Wang L L,Li W T.Global behavior of a higher order nonlinear diffrernce equation[J].J Math Anal Appl,2004,299:113-126.

[4]Kocic V L,Ladas G.Global behavior of nonlinear difference equations of higher orderwith application[M].Dordrecht：Kluwer Academic,1993.

責任編輯：時凌

GloballyAsymptoticalStabilityoftheDifferencexn+1=f(xn,xn-k)

difference equation；invariant interval；globally asymptotical stability

2014-09-22.

教育部科學技術研究重點項目(212111);湖北民族學院大學生創(chuàng)新項目(2013Z017).

姚勇(1989- )，男(土家族)，碩士生，主要從事微分方程理論及其應用的研究.*

：李祖雄(1972- )，男(土家族)，博士，副教授，主要從事微分方程理論及其應用研究.

O175.7

A

1008-8423(2014)04-0393-05

YAO Yong,KONG Chunli,LI Zuxiong

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)