Hn(F)上的Jordan半可乘映射

高會(huì)雙，孫志玲

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

GAO Huishuang，SUN Zhiling

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

Hn(F)上的Jordan半可乘映射

高會(huì)雙，孫志玲

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

Hn(F)為F上n×n的自伴矩陣全體.證明了自伴矩陣代數(shù)上的Jordan半可乘映射具有8種形式,特別在證明第8種形式時(shí),利用雙邊保Jordan零積映射的研究,進(jìn)而得到了自伴矩陣代數(shù)上的Jordan半可乘映射的刻畫(huà).

自伴矩陣;秩;Jordan半可乘映射

1 引言與記號(hào)

算子代數(shù)上保持問(wèn)題的研究，討論算子代數(shù)之間保持某種性質(zhì)不變的映射及其刻畫(huà)和分類問(wèn)題.當(dāng)所涉及的映射是線性映射時(shí)，即所謂的線性保持問(wèn)題.在線性保持問(wèn)題研究的基礎(chǔ)上，人們開(kāi)始進(jìn)一步研究可加，可乘，甚至更一般的非線性保持問(wèn)題. 進(jìn)而，Jordan可乘保持問(wèn)題和Jordan-triple可乘保持問(wèn)題也在許多文獻(xiàn)中進(jìn)行了深入討論[1-6].

2006年，Hou和An在文獻(xiàn)[1]中證明了自伴算子空間上的Jordan-triple可乘雙射一定是可加的.本文給出Hn(F)上Jordan-triple可乘映射的完整刻畫(huà)和分類.

用F表示實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C，記F*=F{0}.Hn(F)為F上n×n的自伴矩陣全體.設(shè)A,B為上的兩個(gè)代數(shù)，若映射Φ:A→B滿足Φ(ABA)=Φ(A)Φ(B)Φ(A)，則稱Φ為A到B的Jordan半可乘映射或Jordan-triple可乘映射.

引理1[6]設(shè)n≥3，F(xiàn)為域，令Hn(F)是n×n的實(shí)對(duì)稱矩陣集合或n×n的復(fù)埃爾米特矩陣集合. 假設(shè)G?Hn(F)包含所有的秩小于等于2的埃爾米特矩陣. 那么Φ:G→G滿足對(duì)任意的A,B∈G:

ABA=0?Φ(A)Φ(B)Φ(A)=0.

的充分必要條件是存在酉矩陣U和數(shù)值函數(shù)α:G→R*使得以下條件之一成立：

i) 當(dāng)A∈G或Φ(A)∈G有不同的特征根符號(hào)時(shí)， 有:

Φ(A)=α(A)UA?U*,

ii) 對(duì)所有的A∈G，有:

KerΦ(A)=KerUA?U*和rngΦ(A)=rngUA?U*.

2 Hn(F)上的Jordan半可乘映射

定理1 設(shè)Hn(F)為n(n≥3)階自伴矩陣代數(shù)，則映射Φ:Hn(F)→Hn(F)為Jordan半可乘的充要條件是下列之一成立：

i) Φ(A)=0,?A∈Hn(F)；

ii) Φ(A)=I,?A∈Hn(F)，或Φ(A)=-I,?A∈Hn(F)；

其中Φi:Hn(F)→Hki(F)(i=1,2)為Jordan半可乘映射，Φi(0)=0(i=1,2)；

其中Φ1:Hn(F)→Hk(F)和Φ2:Hn(F)→Hn-k(F)為Jordan半可乘映射，并且Φi(0)=0(i=1,2)；

vii) Φ(I)=I,Φ是Jordan半可乘的且對(duì)任意的秩為1的矩陣A∈Hn(F)，都有Φ(A)=0；

證明充分性是顯然的.下證必要性.

前6種情形的證明與文獻(xiàn)[6]的證明相似， 這里不給出具體的證明.

下面證明若Φ(I)=I，要么對(duì)任意的秩為1的矩陣A∈Hn(F)，有Φ(A)=0，有(vii)成立，要么存在秩為1的矩陣x0?x0，使得Φ(x0?x0)≠0.將證明后一種情形下對(duì)任意的一秩矩陣x?x∈Hn(F)，都有：Φ(x?x)≠0.

對(duì)λ∈F，且λ≠0，有：

I=Φ(I)=Φ(λI)Φ(λ-2I)Φ(λI)，

所以Φ(λI)可逆，對(duì)任意的一秩矩陣x?x∈Hn(F)，令〈x0,x〉=μ，則：

x0?x0x?xx0?x0=〈x,x0〉〈x0,x〉x0?x0=μ2x0?x0.

當(dāng)μ≠0時(shí)，有：

Φ(μI)Φ(x0?x0)Φ(μI)=Φ(μ2x0?x0)=Φ(x0?x0)Φ(x?x)Φ(x0?x0)，

由于Φ(μI)可逆且Φ(x0?x0)≠0，因而Φ(x?x)≠0，當(dāng)μ=0時(shí)，有〈x0,x〉=0，取z∈Fn使得〈x0,z〉≠0且〈x,z〉≠0，如上可得Φ(x?z)≠0，從而Φ(x?x)≠0.

下面證明Φ(A)=0?A=0，此情形下顯然只需證明Φ(A)=0?A=0即可.

如A≠0，因而存在x∈Fn，使得:Ax≠0，那么Ax?xA=Ax?Ax≠0.而：

0≠Φ(Ax?Ax)=Φ(Ax?xA)=Φ(A)Φ(x?x)Φ(A)=0，

這與?x?x∈Hn(F)，都有Φ(x?x)≠0. 矛盾.

由上面的證明可知Φ(A)=0?A=0.又由Φ是Jordan半可乘映射，因此：

ABA=0?Φ(A)Φ(B)Φ(A)=0，

也就是Φ雙邊保Jordan半零積.

由引理1可知， 假設(shè)Φ具有形式 (ii)，則Φ滿足對(duì)所有的A∈Hn(F)，有：

KerΦ(A)=KerUA?U*,

rngΦ(A)=rngUA?U*.

KerΦ(A)=KerA且rngΦ(A)=rngA.

令A(yù)=x?f，則Φ(A)=x?g. 因?yàn)锳=A*且Φ(A)=Φ(A)*，所以存在α,β∈F， 使得:

A=αx?x,Φ(A)=βx?x，

因此Φ(x?f)=α(x?f)x?f.

由Φ是Jordan半可乘映射，因此對(duì)所有的A∈Hn(F)，有：

α(Ax?Af)Ax?Af=Φ(Ax?fA)=Φ(A)Φ(x?f)Φ(A)=α(x?f)Φ(A)x?Φ(A)f.

從而對(duì)所有的A∈Hn(F)，有Φ(A)=α(A)A. 由Φ是Jordan半可乘映射，因此α是Jordan半可乘的. 綜上所述可知，有(viii)成立.

[1]An R,Hou J.Additivity of Jordan multiplicative maps on Jordan operator Algebras[J].Taiwanese J Math,2006,10(1)：45-64.

[2]Molnár L.Multiplicative Jordan triple isomorphism on the self adjoint elements of von Neumann algebras[J].Lin Alg Appl,2006,419:586-600.

[3]Gorazd Le?njak,Nung-Sing Sze.On injective Jordan semi-triple maps of matrix algebras[J].Lin Alg Appl,2003,375:311-317.

[4]高會(huì)雙,孫燕.Mn(C)上的Jordan半可乘映射[J].西安工程大學(xué)學(xué)報(bào),2012,26(6):811-814.

[5]Huishuang Gao. *-Jordan-triple multiplicative surjective maps on B(H)[J].J Math Anal Appl,2013,401(1):397-403.

[6]Dobovi?ek M，Kuzma B， Le?njak G，et al.Mappings that preserve pairs of operators with zero tripleJordan product[J].Lin Alg Appl,2007,426:255-279.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

Jordan-triplesurjectiveMapsonHn(F)

LetHn(F) ben×nHermitian matrices onF.In this paper,Jordan-triple maps on Hermitian matrices algebra eight forms are proved,especially in the proof of the eighth form using a study of mappings that preserve pairs of operators with Jordan-triple zero product,and then a characterization of Jordan-triple map on Hermitian matrices algebra is obtained.

Hermitian matrices;rank;Jordan-triple maps

2014-10-19.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11005058)；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014BS0106).

高會(huì)雙(1980- )，女，碩士，講師，主要從事算子代數(shù)和數(shù)值代數(shù)的研究.

O177

A

1008-8423(2014)04-0387-03

GAO Huishuang，SUN Zhiling

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)