離散化方法在積分中的應(yīng)用

李排昌，王鐵英

(中國人民公安大學(xué)網(wǎng)絡(luò)安全保衛(wèi)學(xué)院，北京 100038)

0 引言

定義1 數(shù)學(xué)上涉及點(diǎn)的結(jié)構(gòu)的范疇，稱為微觀數(shù)學(xué)。

定義2 數(shù)學(xué)上不涉及點(diǎn)的結(jié)構(gòu)的范疇，稱為宏觀數(shù)學(xué)。

在數(shù)學(xué)中，點(diǎn)是構(gòu)成圖形的基本單元，點(diǎn)動成線，線動成面。曲線、曲面都是宏觀意義下的幾何形狀，曲線的長度、曲邊梯形的面積都是宏觀意義下的數(shù)學(xué)問題。點(diǎn)在宏觀意義下既沒有大小也沒有長度。宏觀上實(shí)數(shù)軸上的有理點(diǎn)是密集的，即宏觀上我們看不到所謂相鄰的有理點(diǎn)。假如承認(rèn)實(shí)數(shù)軸上的有理點(diǎn)是離散的，即承認(rèn)上數(shù)軸上有相鄰的有理點(diǎn)且相鄰點(diǎn)與點(diǎn)之間有間隔距離，則在宏觀意義下的連續(xù)曲線，其自變量為有理點(diǎn)所對應(yīng)的圖形在宏觀意義下仍是連續(xù)曲線，在微觀意義下實(shí)際卻是散點(diǎn)圖。這就是所謂微觀數(shù)學(xué)，用這種觀點(diǎn)分析解決積分問題，我們稱之為積分的離散化處理。

1 區(qū)間[0,1]內(nèi)有理點(diǎn)的密集性與離散性

設(shè)R01為[0,1]區(qū)間內(nèi)的有理數(shù)集合，由于R01是可數(shù)點(diǎn)集，故R01中的有理數(shù)可排成一個無窮序列

R01∶x1,x2,…,xn,…。

由于[0,1]區(qū)間的長度是1，而ε<1，從區(qū)間覆蓋的結(jié)論看，這個區(qū)間序列I1,I2,…,In,…顯然不能完全覆蓋[0,1]區(qū)間，否則，這個區(qū)間序列的總長度就會大于1。由此可知，這個區(qū)間序列I1,I2,…,In,…中必然有某些區(qū)間僅套住R01內(nèi)唯一的一個點(diǎn)，即R01內(nèi)的有理點(diǎn)可以用不相交的區(qū)間分離開來。這就是所謂R01微觀上離散。這使我們不得不承認(rèn)R01內(nèi)有相鄰點(diǎn)(兩個有理數(shù)之間不再有其他有理數(shù))，且相鄰兩點(diǎn)之間有間隔距離，我們把這個間隔距離記為dx，并稱為一個有理數(shù)點(diǎn)的占位長度(引入點(diǎn)有占位長度與R01宏觀上密集性并不矛盾)。由于[0,1]區(qū)間內(nèi)有理數(shù)點(diǎn)的密集性，dx既不是宏觀意義下的0.1也不是0.01，它在宏觀意義下是0，但微觀上并不是0。[0,1]區(qū)間內(nèi)所有有理數(shù)點(diǎn)占位長度的對接長度是1。在微觀意義下，n→∞時In的長度|In|甚至比dx還小，小到連一個有理數(shù)點(diǎn)的占位長度都蓋不住，才不發(fā)生區(qū)間相交的情況，這個區(qū)間序列I1,I2,…,In,…的總長度才可以小于任意給定的正數(shù)ε。值得注意的是，宏觀意義下并不能解釋dx的存在與大小，因?yàn)椴荒芙忉審哪膫€n開始，區(qū)間In才僅套住唯一的一個有理數(shù)點(diǎn)。

命題1：R01宏觀上是密集的，微觀上是離散的，有理數(shù)點(diǎn)的占位長度是客觀存在的。

同理可得，任何區(qū)間[a,b]內(nèi)的有理點(diǎn)集宏觀上是密集的，微觀上是離散的。

2 離散化方法在定積分中的應(yīng)用

我們首先通過一個面積實(shí)例引入定積分的定義，并對連續(xù)變量的離散化方法在積分中的應(yīng)用進(jìn)行論述和說明，逐步揭示積分的奧秘。

例1(曲邊梯形面積的經(jīng)典實(shí)例) 設(shè)函數(shù)y=f(x)≥0在[a,b]區(qū)間上連續(xù)。曲線y=f(x)與直線x=a、x=b及x軸圍成曲邊梯形(見圖1)，求曲邊梯形的面積S。

圖1

解：顯然，所求面積客觀存在。區(qū)間[a,b]內(nèi)的每個有理點(diǎn)x唯一對應(yīng)曲邊上的一點(diǎn)M(x,f(x))。由于區(qū)間[a,b]內(nèi)的有理點(diǎn)是密集的，其自變量為有理點(diǎn)所對應(yīng)的圖形在宏觀意義下仍是連續(xù)曲線，在微觀意義下是散點(diǎn)圖(見圖2)。在區(qū)間[a,b]上，對于每個有理點(diǎn)x，有一個嵌于曲邊梯形內(nèi)的高為f(x)寬為dx(dx表示有理數(shù)點(diǎn)的占位長度)的微觀矩形，其面積為f(x)dx，我們稱之為占位面積(區(qū)別于宏觀意義下的面積)。區(qū)間[a,b]內(nèi)從a到b全部有理點(diǎn)所對應(yīng)的微觀矩形對接成宏觀上的曲邊梯形，而區(qū)間[a,b]內(nèi)全部有理點(diǎn)所對應(yīng)的微觀矩形的占位面積對接后的面積正是曲邊梯形的面積S。

圖2

當(dāng)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)時(目前僅討論這種情況)，其積分一定存在。函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的積分，其幾何意義表示占位微元f(x)dx對應(yīng)的微觀圖有序?qū)雍笏纬傻钠矫鎴D形的面積或面積的代數(shù)和。積分是一種新的求和方式，其求和范圍是[a,b]上的全部有理點(diǎn)，我們稱積分為對接和。占位微元f(x)dx的引入為解決實(shí)際問題時構(gòu)造被積函數(shù)提供了理論依據(jù)，它不同于現(xiàn)行積分理論中微元法的微元。這是用連續(xù)變量的離散化方法解決積分問題。我們不再用分割、求和、取極限的定義和方法處理定積分。

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)，由定積分的定義容易證明積分具有下述7個性質(zhì)：

(3) 若f(x)≥0，從而f(x)dx≥0，則

(4) 設(shè)a

由積分的幾何意義，這4個性質(zhì)顯然成立。

證明：只證明f(x)+g(x)的情況。由積分的幾何意義，當(dāng)f(x)≥0、g(x)≥0或f(x)≤0、g(x)≤0時，結(jié)論顯然成立。對于一般情況，由于f(x)、g(x)是連續(xù)函數(shù)，則f(x)+g(x)也連續(xù)。在區(qū)間[a,b]上，設(shè)f(x)的最小值是-m(m>0)、g(x)的最小值是-n(n>0)。此時，顯然有：

f(x)+m≥0，g(x)+n≥0。

由積分的幾何意義得

(1)

另一方面，還有

(2)

比較上述(1)、(2)兩式的左右兩端；左端相等，故右端相等，所以

同理可證明其他情況。

由以上性質(zhì)可得：

(6) 若y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值是m、最大值是M，則

由性質(zhì)(6)以及連續(xù)函數(shù)的介值定理可得積分中值定理：

(7) 必有ξ∈[a,b]，使得

3 變上限函數(shù)與積分的計(jì)算

圖3

由積分的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的定義容易證明Φ′(x)=f(x)，即Φ(x)恰好是f(x)的一個原函數(shù)。

由于f(x)的兩個原函數(shù)之間僅差某一常數(shù)，因此，假設(shè)F(x)也為f(x)的一個原函數(shù)，則存在某一常數(shù)C使得

Φ(x)=F(x)+C，

由Φ(a)=0，可得C=-F(a)，而

(3)

從而，所求積分為

(4)

公式(4)稱為牛頓—萊布尼茲公式[1]223-242。

例2 (旋轉(zhuǎn)體體積的經(jīng)典實(shí)例) 求底半徑為r、高為h的圓錐的體積V。

圖4

解：我們建立如圖4所示的坐標(biāo)系，則圓錐是由平面直角三角形△OBA繞Ox軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體。在微觀數(shù)學(xué)意義下，區(qū)間[0,h]內(nèi)每個有理點(diǎn)x處對應(yīng)一個底半徑為rx/h、厚度為dx的圓柱體，其體積為π(rx/h)2dx，我們稱之為占位體積(區(qū)別于宏觀意義下的體積)，所有圓柱體的占位體積對接和就是圓錐的體積V，即圓錐的體積V是函數(shù)π(rx/h)2在區(qū)間[0,h]上的積分。所以

例3(曲線弧長的經(jīng)典實(shí)例)設(shè)L∶y=f(x),x∈[a,b]是一條光滑的平面曲線。求曲線L的弧長[1]282-283s。

解：由于區(qū)間[a,b]內(nèi)的每個有理點(diǎn)x唯一對應(yīng)曲邊上的一點(diǎn)M(x,f(x))，而且區(qū)間[a,b]內(nèi)的有理點(diǎn)是密集的，其自變量為有理點(diǎn)所對應(yīng)的圖形在宏觀意義下仍是連續(xù)曲線L，在微觀意義下是散點(diǎn)圖(見圖5)。曲線上任意相鄰兩點(diǎn)P(x,f(x))、P1(x+dx,f(x+dx))的距離ds(稱為占位長度)就是曲線上相鄰兩點(diǎn)曲線的弧長，曲線L的弧長s是曲線上相鄰點(diǎn)的占位長度之和，也就是自變量為有理點(diǎn)所對應(yīng)的散點(diǎn)圖構(gòu)成的折線總長。這是用連續(xù)變量的離散化方法解決積分中的曲線弧長問題。

由于曲線上的折線段與區(qū)間[a,b]內(nèi)的有理點(diǎn)一一對應(yīng)，故曲線的弧長為

(5)

例4 求曲線y=x2在區(qū)間[0,1]上一段的弧長。

解：由于y′=2x，由公式(5)，曲線的弧長為

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2007：223-242；282-283.