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    識別函數(shù)圖象的幾種方法

    2014-08-22 07:15:06闞元元遼寧省沈陽市光明中學(xué)
    基礎(chǔ)教育論壇 2014年1期
    關(guān)鍵詞:中考題時針分針

    闞元元(遼寧省沈陽市光明中學(xué))

    在中考的選擇題中,有一類函數(shù)圖象的識別問題.這類問題主要考察學(xué)生對函數(shù)圖象的分析和理解,求解時主要應(yīng)用函數(shù)解析式、函數(shù)的增減性、自變量的取值范圍等知識,結(jié)合排除法,對函數(shù)圖象進行判斷和識別,其中蘊含著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

    一、根據(jù)函數(shù)的增減性識別函數(shù)圖象

    例1(2012年重慶市中考題)2012年“國際攀巖比賽”在重慶舉行.小麗從家出發(fā)開車前去觀看,途中發(fā)現(xiàn)忘了帶門票,于是打電話讓媽媽馬上從家里送來,同時小麗也往回開,遇到媽媽后聊了一會兒,接著繼續(xù)開車前往比賽現(xiàn)場.設(shè)小麗從家出發(fā)后所用時間為t,小麗與比賽現(xiàn)場的距離為S.下面能反映S與t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( ).

    解析:根據(jù)題意可得,S與t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象分為四段.

    第一段,小麗從出發(fā)到往回開,與比賽現(xiàn)場的距離在減小,函數(shù)圖象下降;

    第二段,往回開到遇到媽媽,與比賽現(xiàn)場的距離在增大,圖象上升;

    第三段,與媽媽聊了一會,與比賽現(xiàn)場的距離不變,圖象

    第四段,接著開往比賽現(xiàn)場,與比賽現(xiàn)場的距離逐漸變小直至為0,圖象下降.

    縱觀各選項,只有B選項的圖象符合.故選B.

    點評:在問題情境中,如果函數(shù)隨著自變量的增大而增大,則函數(shù)圖象是上升的;反之,圖象是下降的.如果自變量變化時函數(shù)值保持不變,那么圖象應(yīng)是水平的.這種根據(jù)函數(shù)的增減性識別函數(shù)圖象的方法比較簡潔,在近幾年各地中考題中有著廣泛的應(yīng)用.

    二、根據(jù)函數(shù)的類型識別函數(shù)圖象

    例2(2012年南充市中考題) 矩形的長為x,寬為y,面積為9.則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致為( ).

    解析:當(dāng)面積一定時,長與寬是反比例關(guān)系,又因為是正數(shù),所以函數(shù)圖象是雙曲線在第一象限的部分.選C.

    點評:一次函數(shù)的圖象是直線,反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,二次函數(shù)的圖象是拋物線.解題時,只需確定兩個變量之間是哪一類函數(shù),就可以快速識別函數(shù)圖象.

    三、根據(jù)變量的特殊值識別函數(shù)圖象

    例3(2012年廣安市中考題)時鐘在正常運行時,時針和分針的夾角會隨著時間的變換而變化,設(shè)時針與分針的夾角為y度,運行時間為t分,當(dāng)時間從3:00開始到3:30止,圖中能大致表示y與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象是( ).

    解析:從3:00開始到3:30的過程中,,時針與分針的夾角為90°;t=30,時針與分針的夾角為75°;在運行時間15分到20分的某一時刻時針與分針重合,此時y=0,表示函數(shù)圖象與軸的相交.只有D符合.

    點評:根據(jù)變量的特殊值,確定函數(shù)圖象上特殊點(端點、交點)的位置,應(yīng)用排除法是識別圖象的常用方法.

    四、根據(jù)函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象

    例4(2012年南充市中考題)如圖,直角梯形AOCD的邊OC在x軸上,O為坐標(biāo)原點,CD垂直于x軸,D(5,4),AD=2.若動點E、F同時從點O出發(fā),E點沿折線OA→AD→DC運動,到達C點時停止;F點沿OC運動,到達C點是停止,它們運動的速度都是每秒1個單位長度.設(shè)E運動x秒時,△EOF的面積為y(平方單位),則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( ).

    解析:根據(jù)點D的坐標(biāo)求得點A的坐標(biāo),從而求得線段OA和線段OC的長,然后根據(jù)運動時間即可判斷三角形EOF的面積的變化情況.

    因為 D(5,4),AD=2,所以 OC=5,CD=4,OA=5.

    (1) 當(dāng)點E在OA運動時,運動x秒(0<x<5),此時OE=OF=x,作EH⊥OC于H,AG⊥OC于點G,如下圖.

    所以EH∥AG.△EHO∽△AGO.

    (2) O點E在AD上運動時(5<x<7),點F運動到點C時停止運動,△EOF的面積不變,圖象是水平線段.

    (3) 當(dāng)點E在DC上運動時(7<x<11),如下圖,EF=11-x,OC=5,

    點評:在一些較復(fù)雜的問題中,如果以上的簡潔方法不能識別函數(shù)圖象,那么要先求出變量之間的函數(shù)解析式,再判斷圖象.

    五、根據(jù)解析式中的系數(shù)符號識別函數(shù)圖象

    例5(2012年樂山市中考題) 若實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,且a

    解析:因為a+b+c=0,

    所以a、b、c三個數(shù)中至少有一個正數(shù)和負數(shù).

    因為a

    所以函數(shù)y=ax+c的圖象是下降的,并且與軸的交點在軸的上方.

    應(yīng)選A.

    點評:根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),只要能確定解析式中系數(shù)的符號,就可以判斷圖象在坐標(biāo)系中的位置,從而識別出正確的圖象.

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