動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與暫態(tài)過程

付超杰

(周口師范學(xué)院 物理與電子工程系，河南 周口 466000)

0 引言

法拉第定律說明只要閉合電路的磁通有變化，就有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)。通常把磁場不隨時(shí)間變化而閉合電路的整體或局部在運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)叫動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的原理、大小和方向是怎么規(guī)定的，導(dǎo)體桿的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小有一變化過程，這過程又是怎樣的呢?電感中的電流都不能發(fā)生突變而是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化，指數(shù)規(guī)律變化的暫態(tài)過程存在于上述感生電動(dòng)勢(shì)起關(guān)鍵作用的動(dòng)態(tài)電路中。下面，我們將用經(jīng)典分析法求解導(dǎo)體桿動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的暫態(tài)過程。

1 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

為了研究動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的暫態(tài)過程，需要知道動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的成因及其公式，由此確定產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)還是感生電動(dòng)勢(shì)，以及是哪部分產(chǎn)生的及產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小。

1.1 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的成因

圖1 ab棒在磁場中運(yùn)動(dòng)

1.2 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算

動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)原則上有兩種計(jì)算方法。

(1)用洛倫茲力公式及電動(dòng)勢(shì)的定義推出的ε動(dòng)=?(—v×—B)·—dl計(jì)算，先在導(dǎo)體上選取線元—dl，再由此計(jì)算線元處速度和磁場強(qiáng)度，而積分便可得動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。

(2)利用法拉第定律計(jì)算，有兩種可能。

①閉合電路整體或局部在恒定磁場中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況求出閉合電路的磁通φ與t的關(guān)系，求微商dφ/dt便得動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)ε。②當(dāng)有一段不閉合導(dǎo)線在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可假想一條曲線與不閉合導(dǎo)線組成閉合曲線，根據(jù)法拉第定律求閉合曲線動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。又因?yàn)樗a(bǔ)曲線不動(dòng)及磁場不變，ε即為所求不閉合曲線的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)［2］。另外，電磁感應(yīng)而產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)具有相對(duì)性［3］。

2 暫態(tài)過程

當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)和激勵(lì)一定時(shí)，電路的工作狀態(tài)也就一定，且電壓和電流為一穩(wěn)定的值，此時(shí)電路所處的工作狀態(tài)就稱為穩(wěn)態(tài)。當(dāng)電路從一種穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，往往需要一定的時(shí)間，電路在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)歷的過程即為暫態(tài)過程。電路變化過程中的任一狀態(tài)都可稱為暫態(tài)。對(duì)暫態(tài)過程，一方面，我們要充分利用電路的暫態(tài)過程來實(shí)現(xiàn)振蕩信號(hào)的產(chǎn)生、信號(hào)波形的改善和變換、電子繼電器的延時(shí)動(dòng)作等;另一方面，又要防止電路在暫態(tài)過程中可能產(chǎn)生的比穩(wěn)態(tài)時(shí)大得多的電壓或電流現(xiàn)象。故進(jìn)行暫態(tài)分析就是要充分利用電路的暫態(tài)特性來滿足技術(shù)上對(duì)電氣線路和電氣裝置的性能要求，同時(shí)又要盡量防止暫態(tài)過程中的過電壓或過電流現(xiàn)象［4］。

3 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的暫態(tài)過程分析

暫態(tài)分析就是要分析在激勵(lì)源作用下，或者在電路內(nèi)部儲(chǔ)能的作用下，電路中各部分的電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。下面就以平行金屬導(dǎo)軌上導(dǎo)體桿產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的暫態(tài)過程作出分析，并導(dǎo)出求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的簡易方法。

圖2裝置中，PQ長度為l，導(dǎo)體的一端連接電阻R。整個(gè)裝置放在均勻磁場—B中，—B與導(dǎo)軌所在平面垂直。設(shè)桿以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)，忽略電阻以外的電阻及導(dǎo)軌和桿之間的摩擦力。ε0為恒定電源電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)以下幾種情況計(jì)算導(dǎo)體桿的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。

圖2 PQ棒在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)

3.1 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的零狀態(tài)響應(yīng)

桿的初速度v0=0，桿中的初始電動(dòng)勢(shì)為零。設(shè)開關(guān)閉合時(shí)t=0，求t≥0時(shí)導(dǎo)體桿的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。

設(shè)t≥0時(shí)，任一時(shí)刻導(dǎo)體桿的速度為v(t)，則動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小為ε(t)=Blv(t)。根據(jù)安培定律及I=和牛頓第二定律可得微分方程:mR+B2l2v=Blε0;v(0+)=0利用分離變量法解次微分方程得:v(t)=(1-e)，從而得桿的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為:ε(t)=Blv(t)=ε0(1-e)。

當(dāng)t趨向于無窮時(shí)，ε(t)=ε(∞)=ε0為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的穩(wěn)態(tài)值，則上式可寫為ε(t)=ε0(1-)。τ稱為回路的時(shí)間常數(shù)。

ε(t)的變化曲線如圖3所示?？傻?，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)在t=0時(shí)不能發(fā)生突變。

從電路的角度來看，暫態(tài)過程中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)可視為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量相加而得。當(dāng)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值時(shí)，電路的暫態(tài)過程隨即終止。

圖3 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的零狀態(tài)響應(yīng)曲線

3.2 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的零輸入響應(yīng)

設(shè)此種情況下電源電動(dòng)勢(shì)ε0=0，開關(guān)k是閉合的，在時(shí)間t=0時(shí)給桿一向右的初速度v0。這時(shí)可建立速度的微分方程mR+B2l2v=0;v(0+)=v0。

解得動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為ε(t)=Blv0=Blv(0+)當(dāng)t=τ時(shí)，ε(t)=ε(τ)=0.368Blv0，即τ的物理意義是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的值減小到初始值的36.8%所需要的時(shí)間。總之，τ可看作暫態(tài)過程的“時(shí)間尺度”，從理論上講，電路只有經(jīng)過t=∞的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)定。但是，由于指數(shù)曲線開始變化快，而后逐漸減慢，所以，實(shí)際上經(jīng)過t=5τ時(shí)間，就足可認(rèn)為達(dá)到穩(wěn)態(tài)了。ε (τ)的變化曲線如圖4所示。

圖4 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的零輸入響應(yīng)曲線

3.3 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的全響應(yīng)

設(shè)在此種情況下ε0≠0，并在t=0時(shí)給桿一初速度v0使之向右運(yùn)動(dòng)，求t≥0時(shí)桿中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。可列出關(guān)于速度的微分方:mR+B2l2v=Blε0v(0+)=v0解得動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)ε0(1-)+Blv(0+);前為零狀態(tài)響應(yīng)，后為零輸入響應(yīng)。則全響應(yīng)的曲線應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)曲線與零輸入曲線的疊加。上式可改寫為ε(t)=(Blv0-ε0)+ε0，可知全響應(yīng)曲線仍按指數(shù)規(guī)律變化，只是它的最大值為 ε0，最小值是趨近于Blv0。改后式的第一項(xiàng)為衰減指數(shù)函數(shù)，t趨于無窮大時(shí)趨于零，為暫態(tài)分量;第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，即全響應(yīng)=暫態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量。

4 求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的三要素法

據(jù)以上分析知?jiǎng)由妱?dòng)勢(shì)的響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)分量和暫太分量兩部分相加而得:ε(t)=ε(∞)+［ε(0+)-ε(∞)］t，式中ε(∞)和ε(0+)分別為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的穩(wěn)態(tài)值和初始值，因此，只要求得以上三個(gè)值即可列出動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間的變化關(guān)系式，而不用再求解微分方程，故稱此法為求解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的三要素法［5］。

圖5 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的全響應(yīng)曲線

5 結(jié)語

本文根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和暫態(tài)過程分析得出動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的兩種求法，利用一階微分方程解法對(duì)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的幾種響應(yīng)進(jìn)行了分析，得出電路的響應(yīng)是由暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分相加而得，且動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的暫態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律變化。從而得出用三要素法求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì):無論是電路的零狀態(tài)、零輸入或全響應(yīng)，輸入量不論是恒定電源或恒力均可用三要素法方便的求出動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)或速度隨時(shí)間的變化規(guī)律［6］。三要素法給我們提供了一種研究暫態(tài)過程的簡便方法，在以后的解題中，我們應(yīng)首先考慮是否能用三要素法解題。

［1］顏琳.王小云.全秀娥.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)理［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28(1):71-72.

［2］梁燦斌，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［4］孫國耀.動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的相對(duì)性［J］.中山大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，44:166-167.

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