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    數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

    2014-08-21 01:14:32張志旺
    關(guān)鍵詞:素數(shù)創(chuàng)造性三角形

    張志旺

    數(shù)學(xué)教育的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力,包括數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)計算能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中所研究的創(chuàng)新思維,一般是指對思維主體來說,是新穎獨到的一種思維活動,它包括發(fā)現(xiàn)新事物,提示新規(guī)律,創(chuàng)造新方法,解決新問題等思維過程.那么,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢?

    一、注重學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

    逆向思維是數(shù)學(xué)的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物,去做到與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索,當(dāng)反復(fù)思考某個問題陷入困境時,逆向思維能使人茅塞頓開,出奇制勝.數(shù)學(xué)上的反證法往往離不開思維的逆向性,先假設(shè)結(jié)論不成立,然后經(jīng)過一系列正確、嚴(yán)密的推理,導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論,這就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不成立,從而肯定了原來結(jié)論是正確的.

    【例1】 證明:素數(shù)有無限個.

    證明:假設(shè)素數(shù)只有有限個,設(shè)為p1、p2、…、pn.考查數(shù)p1p2…pn+1,它或者是一個素數(shù),顯然比一切p1、p2、…、pn都大;或者它為合數(shù),則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形,總還有另外的素數(shù)存在,這與假設(shè)相矛盾,從而素數(shù)有無限個.

    用逆向思維來考慮數(shù)學(xué)問題,不但可使我們對問題認(rèn)識得更加清楚,對知識點掌握得更加牢固,而且常常使問題大大簡化,起到事半功倍的效果.

    二、注意化歸意識,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

    化歸意識是在解決問題的過程中,有意識地對問題進(jìn)行“聯(lián)想——轉(zhuǎn)化”,將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的思維活動.化歸意識的培養(yǎng),不僅有助于實際問題的解決,而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方向的鉆研精神和思考習(xí)慣,有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

    【例2】 一個農(nóng)民有雞、兔若干,它們共有50個頭和140只腳,問雞、兔各有多少?

    我們可以假想這樣一種奇特的現(xiàn)象:所有的雞都抬起了一只腳,同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然,問題就容易多了,現(xiàn)在雞的頭的數(shù)目與腳的數(shù)目是相等的,如果有一只兔子,腳的數(shù)目就要比頭的數(shù)目大1,所以腳的數(shù)目(70)與頭的數(shù)目(50)的差(20)就等于兔子的數(shù)目.于是可知有兔子20只,雞30只.這種化歸思想方法很巧妙,它是把問題的已知條件進(jìn)行變形,以達(dá)到化歸的目的,進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題.

    三、廣開思路,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

    發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數(shù)學(xué)上的新思維、新理論和新方法往往來源于發(fā)散思維.有人用“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力.可見,加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法.

    在教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓(xùn)練學(xué)生對同一條件,聯(lián)想多種結(jié)論;改變思維角度,進(jìn)行變式訓(xùn)練;培養(yǎng)學(xué)生個性,鼓勵創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新;加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等.

    【例3】 用6根火柴,要求擺出4個三角形,怎么擺?

    一種思維方式:每個三角形三條邊需3根火柴,4個三角形需12根火柴,怎么辦?共邊!以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊,可以減少3根火柴,這樣就只需9根火柴,還要減少3根,怎么辦?

    另一種思維方式:先用3根火柴擺1個三角形,然后把剩下的3根架在這個三角形的上方,4個三角形就出來了.

    前一種思維方式把自己局限在平面上,后一種思維方式就無拘無束,將思維擴(kuò)展到空間.

    四、注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

    觀察是信息輸入的通道,是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創(chuàng)造性思維的起步器.可以說,沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn),更不能有創(chuàng)造.觀察能力是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的.那么,在課堂中,怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢?

    首先,在觀察之前,要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求.其次,要在觀察中及時指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對象有順序地進(jìn)行觀察,要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法,要指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等.第三,要科學(xué)地運用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù),以支持學(xué)生對研究的問題做仔細(xì)、深入的觀察.第四,要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣.

    五、大膽猜想,注重對學(xué)生想象力的培養(yǎng)

    數(shù)學(xué)中的猜想能力,是一種高級的創(chuàng)造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個基本要素:(1)因此要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗的支持;(2)要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力;(3)要有執(zhí)著追求的情感.因此,培養(yǎng)學(xué)生的想象力,首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識.其次,新知識的產(chǎn)生除去推理外,常常包含前人的想象因素,因此在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材潛在的因素,創(chuàng)設(shè)想象情境,提供想象材料,誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象.另外,還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法,像類比、歸納等.正如牛頓所說的:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”

    數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子.比如:容易從“5+7=12,11+19=30,113+23=136,…”看到“5,7,11,19,23,113…”都是奇素數(shù),然而其和“12,30,136…”都是偶數(shù),是否有一規(guī)律:任何兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)?這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想,任何一個偶數(shù),是否都能分解為兩個奇素數(shù)之和?對“即使很大”的偶數(shù)是可以實際驗證一下,然而能嚴(yán)格證明嗎?這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

    六、注重誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感

    科學(xué)家把導(dǎo)致發(fā)明創(chuàng)造的敏感稱為“高級靈感”,我們把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的那種突然發(fā)生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐,不斷積累經(jīng)驗和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路.它是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍.靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新.

    在教學(xué)中,教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感,對于學(xué)生別出心裁的想法,違反常規(guī)的解答,標(biāo)新立異的構(gòu)思,哪怕只有一點點的新意,都應(yīng)及時給予肯定.同時,還應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感,促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

    例如,有這樣的一道題:把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題,學(xué)生通常都是采用先通分再比較的方法,但由于公分母太大,解答非常麻煩.有位學(xué)生因近視看不清黑板上的字,就回過頭去看后面的同學(xué)所抄寫的,他看到的是倒字,這一現(xiàn)象使他靈機(jī)一動:化為同分子分?jǐn)?shù),再比較大小.這個觸景生情的“靈機(jī)一動”,就是一種“初級靈感”.

    因此,在教學(xué)中教師應(yīng)對學(xué)生長期進(jìn)行敢于想象、敢于創(chuàng)新、敢于打破常規(guī)的訓(xùn)練,促使學(xué)生想象能力的不斷提高.

    在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會多方面觀察事物,學(xué)會數(shù)學(xué)知識和方法,學(xué)會思考和探索,學(xué)會猜想,發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造性思維.

    參考文獻(xiàn)

    [1]張奠宙.數(shù)學(xué)教育中的“創(chuàng)新”工程大綱[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1999(4).

    [2]任勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù)[M].北京:人民教育出版社,2006.

    [3]李大勇.中學(xué)數(shù)學(xué)解題論導(dǎo)引[M].合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社,2006.

    (責(zé)任編輯 黃春香)

    數(shù)學(xué)教育的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力,包括數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)計算能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中所研究的創(chuàng)新思維,一般是指對思維主體來說,是新穎獨到的一種思維活動,它包括發(fā)現(xiàn)新事物,提示新規(guī)律,創(chuàng)造新方法,解決新問題等思維過程.那么,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢?

    一、注重學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

    逆向思維是數(shù)學(xué)的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物,去做到與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索,當(dāng)反復(fù)思考某個問題陷入困境時,逆向思維能使人茅塞頓開,出奇制勝.數(shù)學(xué)上的反證法往往離不開思維的逆向性,先假設(shè)結(jié)論不成立,然后經(jīng)過一系列正確、嚴(yán)密的推理,導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論,這就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不成立,從而肯定了原來結(jié)論是正確的.

    【例1】 證明:素數(shù)有無限個.

    證明:假設(shè)素數(shù)只有有限個,設(shè)為p1、p2、…、pn.考查數(shù)p1p2…pn+1,它或者是一個素數(shù),顯然比一切p1、p2、…、pn都大;或者它為合數(shù),則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形,總還有另外的素數(shù)存在,這與假設(shè)相矛盾,從而素數(shù)有無限個.

    用逆向思維來考慮數(shù)學(xué)問題,不但可使我們對問題認(rèn)識得更加清楚,對知識點掌握得更加牢固,而且常常使問題大大簡化,起到事半功倍的效果.

    二、注意化歸意識,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

    化歸意識是在解決問題的過程中,有意識地對問題進(jìn)行“聯(lián)想——轉(zhuǎn)化”,將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的思維活動.化歸意識的培養(yǎng),不僅有助于實際問題的解決,而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方向的鉆研精神和思考習(xí)慣,有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

    【例2】 一個農(nóng)民有雞、兔若干,它們共有50個頭和140只腳,問雞、兔各有多少?

    我們可以假想這樣一種奇特的現(xiàn)象:所有的雞都抬起了一只腳,同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然,問題就容易多了,現(xiàn)在雞的頭的數(shù)目與腳的數(shù)目是相等的,如果有一只兔子,腳的數(shù)目就要比頭的數(shù)目大1,所以腳的數(shù)目(70)與頭的數(shù)目(50)的差(20)就等于兔子的數(shù)目.于是可知有兔子20只,雞30只.這種化歸思想方法很巧妙,它是把問題的已知條件進(jìn)行變形,以達(dá)到化歸的目的,進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題.

    三、廣開思路,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

    發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數(shù)學(xué)上的新思維、新理論和新方法往往來源于發(fā)散思維.有人用“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力.可見,加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法.

    在教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓(xùn)練學(xué)生對同一條件,聯(lián)想多種結(jié)論;改變思維角度,進(jìn)行變式訓(xùn)練;培養(yǎng)學(xué)生個性,鼓勵創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新;加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等.

    【例3】 用6根火柴,要求擺出4個三角形,怎么擺?

    一種思維方式:每個三角形三條邊需3根火柴,4個三角形需12根火柴,怎么辦?共邊!以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊,可以減少3根火柴,這樣就只需9根火柴,還要減少3根,怎么辦?

    另一種思維方式:先用3根火柴擺1個三角形,然后把剩下的3根架在這個三角形的上方,4個三角形就出來了.

    前一種思維方式把自己局限在平面上,后一種思維方式就無拘無束,將思維擴(kuò)展到空間.

    四、注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

    觀察是信息輸入的通道,是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創(chuàng)造性思維的起步器.可以說,沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn),更不能有創(chuàng)造.觀察能力是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的.那么,在課堂中,怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢?

    首先,在觀察之前,要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求.其次,要在觀察中及時指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對象有順序地進(jìn)行觀察,要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法,要指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等.第三,要科學(xué)地運用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù),以支持學(xué)生對研究的問題做仔細(xì)、深入的觀察.第四,要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣.

    五、大膽猜想,注重對學(xué)生想象力的培養(yǎng)

    數(shù)學(xué)中的猜想能力,是一種高級的創(chuàng)造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個基本要素:(1)因此要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗的支持;(2)要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力;(3)要有執(zhí)著追求的情感.因此,培養(yǎng)學(xué)生的想象力,首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識.其次,新知識的產(chǎn)生除去推理外,常常包含前人的想象因素,因此在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材潛在的因素,創(chuàng)設(shè)想象情境,提供想象材料,誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象.另外,還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法,像類比、歸納等.正如牛頓所說的:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”

    數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子.比如:容易從“5+7=12,11+19=30,113+23=136,…”看到“5,7,11,19,23,113…”都是奇素數(shù),然而其和“12,30,136…”都是偶數(shù),是否有一規(guī)律:任何兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)?這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想,任何一個偶數(shù),是否都能分解為兩個奇素數(shù)之和?對“即使很大”的偶數(shù)是可以實際驗證一下,然而能嚴(yán)格證明嗎?這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

    六、注重誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感

    科學(xué)家把導(dǎo)致發(fā)明創(chuàng)造的敏感稱為“高級靈感”,我們把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的那種突然發(fā)生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐,不斷積累經(jīng)驗和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路.它是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍.靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新.

    在教學(xué)中,教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感,對于學(xué)生別出心裁的想法,違反常規(guī)的解答,標(biāo)新立異的構(gòu)思,哪怕只有一點點的新意,都應(yīng)及時給予肯定.同時,還應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感,促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

    例如,有這樣的一道題:把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題,學(xué)生通常都是采用先通分再比較的方法,但由于公分母太大,解答非常麻煩.有位學(xué)生因近視看不清黑板上的字,就回過頭去看后面的同學(xué)所抄寫的,他看到的是倒字,這一現(xiàn)象使他靈機(jī)一動:化為同分子分?jǐn)?shù),再比較大小.這個觸景生情的“靈機(jī)一動”,就是一種“初級靈感”.

    因此,在教學(xué)中教師應(yīng)對學(xué)生長期進(jìn)行敢于想象、敢于創(chuàng)新、敢于打破常規(guī)的訓(xùn)練,促使學(xué)生想象能力的不斷提高.

    在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會多方面觀察事物,學(xué)會數(shù)學(xué)知識和方法,學(xué)會思考和探索,學(xué)會猜想,發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造性思維.

    參考文獻(xiàn)

    [1]張奠宙.數(shù)學(xué)教育中的“創(chuàng)新”工程大綱[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1999(4).

    [2]任勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù)[M].北京:人民教育出版社,2006.

    [3]李大勇.中學(xué)數(shù)學(xué)解題論導(dǎo)引[M].合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社,2006.

    (責(zé)任編輯 黃春香)

    數(shù)學(xué)教育的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力,包括數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)計算能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中所研究的創(chuàng)新思維,一般是指對思維主體來說,是新穎獨到的一種思維活動,它包括發(fā)現(xiàn)新事物,提示新規(guī)律,創(chuàng)造新方法,解決新問題等思維過程.那么,在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢?

    一、注重學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

    逆向思維是數(shù)學(xué)的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物,去做到與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索,當(dāng)反復(fù)思考某個問題陷入困境時,逆向思維能使人茅塞頓開,出奇制勝.數(shù)學(xué)上的反證法往往離不開思維的逆向性,先假設(shè)結(jié)論不成立,然后經(jīng)過一系列正確、嚴(yán)密的推理,導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論,這就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不成立,從而肯定了原來結(jié)論是正確的.

    【例1】 證明:素數(shù)有無限個.

    證明:假設(shè)素數(shù)只有有限個,設(shè)為p1、p2、…、pn.考查數(shù)p1p2…pn+1,它或者是一個素數(shù),顯然比一切p1、p2、…、pn都大;或者它為合數(shù),則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形,總還有另外的素數(shù)存在,這與假設(shè)相矛盾,從而素數(shù)有無限個.

    用逆向思維來考慮數(shù)學(xué)問題,不但可使我們對問題認(rèn)識得更加清楚,對知識點掌握得更加牢固,而且常常使問題大大簡化,起到事半功倍的效果.

    二、注意化歸意識,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

    化歸意識是在解決問題的過程中,有意識地對問題進(jìn)行“聯(lián)想——轉(zhuǎn)化”,將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的思維活動.化歸意識的培養(yǎng),不僅有助于實際問題的解決,而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方向的鉆研精神和思考習(xí)慣,有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

    【例2】 一個農(nóng)民有雞、兔若干,它們共有50個頭和140只腳,問雞、兔各有多少?

    我們可以假想這樣一種奇特的現(xiàn)象:所有的雞都抬起了一只腳,同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然,問題就容易多了,現(xiàn)在雞的頭的數(shù)目與腳的數(shù)目是相等的,如果有一只兔子,腳的數(shù)目就要比頭的數(shù)目大1,所以腳的數(shù)目(70)與頭的數(shù)目(50)的差(20)就等于兔子的數(shù)目.于是可知有兔子20只,雞30只.這種化歸思想方法很巧妙,它是把問題的已知條件進(jìn)行變形,以達(dá)到化歸的目的,進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題.

    三、廣開思路,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

    發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數(shù)學(xué)上的新思維、新理論和新方法往往來源于發(fā)散思維.有人用“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力.可見,加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法.

    在教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓(xùn)練學(xué)生對同一條件,聯(lián)想多種結(jié)論;改變思維角度,進(jìn)行變式訓(xùn)練;培養(yǎng)學(xué)生個性,鼓勵創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新;加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等.

    【例3】 用6根火柴,要求擺出4個三角形,怎么擺?

    一種思維方式:每個三角形三條邊需3根火柴,4個三角形需12根火柴,怎么辦?共邊!以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊,可以減少3根火柴,這樣就只需9根火柴,還要減少3根,怎么辦?

    另一種思維方式:先用3根火柴擺1個三角形,然后把剩下的3根架在這個三角形的上方,4個三角形就出來了.

    前一種思維方式把自己局限在平面上,后一種思維方式就無拘無束,將思維擴(kuò)展到空間.

    四、注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

    觀察是信息輸入的通道,是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創(chuàng)造性思維的起步器.可以說,沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn),更不能有創(chuàng)造.觀察能力是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的.那么,在課堂中,怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢?

    首先,在觀察之前,要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求.其次,要在觀察中及時指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對象有順序地進(jìn)行觀察,要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法,要指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等.第三,要科學(xué)地運用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù),以支持學(xué)生對研究的問題做仔細(xì)、深入的觀察.第四,要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣.

    五、大膽猜想,注重對學(xué)生想象力的培養(yǎng)

    數(shù)學(xué)中的猜想能力,是一種高級的創(chuàng)造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個基本要素:(1)因此要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗的支持;(2)要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力;(3)要有執(zhí)著追求的情感.因此,培養(yǎng)學(xué)生的想象力,首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識.其次,新知識的產(chǎn)生除去推理外,常常包含前人的想象因素,因此在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材潛在的因素,創(chuàng)設(shè)想象情境,提供想象材料,誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象.另外,還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法,像類比、歸納等.正如牛頓所說的:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”

    數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子.比如:容易從“5+7=12,11+19=30,113+23=136,…”看到“5,7,11,19,23,113…”都是奇素數(shù),然而其和“12,30,136…”都是偶數(shù),是否有一規(guī)律:任何兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)?這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想,任何一個偶數(shù),是否都能分解為兩個奇素數(shù)之和?對“即使很大”的偶數(shù)是可以實際驗證一下,然而能嚴(yán)格證明嗎?這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

    六、注重誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感

    科學(xué)家把導(dǎo)致發(fā)明創(chuàng)造的敏感稱為“高級靈感”,我們把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的那種突然發(fā)生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐,不斷積累經(jīng)驗和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路.它是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍.靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新.

    在教學(xué)中,教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感,對于學(xué)生別出心裁的想法,違反常規(guī)的解答,標(biāo)新立異的構(gòu)思,哪怕只有一點點的新意,都應(yīng)及時給予肯定.同時,還應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感,促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

    例如,有這樣的一道題:把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題,學(xué)生通常都是采用先通分再比較的方法,但由于公分母太大,解答非常麻煩.有位學(xué)生因近視看不清黑板上的字,就回過頭去看后面的同學(xué)所抄寫的,他看到的是倒字,這一現(xiàn)象使他靈機(jī)一動:化為同分子分?jǐn)?shù),再比較大小.這個觸景生情的“靈機(jī)一動”,就是一種“初級靈感”.

    因此,在教學(xué)中教師應(yīng)對學(xué)生長期進(jìn)行敢于想象、敢于創(chuàng)新、敢于打破常規(guī)的訓(xùn)練,促使學(xué)生想象能力的不斷提高.

    在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會多方面觀察事物,學(xué)會數(shù)學(xué)知識和方法,學(xué)會思考和探索,學(xué)會猜想,發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造性思維.

    參考文獻(xiàn)

    [1]張奠宙.數(shù)學(xué)教育中的“創(chuàng)新”工程大綱[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1999(4).

    [2]任勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù)[M].北京:人民教育出版社,2006.

    [3]李大勇.中學(xué)數(shù)學(xué)解題論導(dǎo)引[M].合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社,2006.

    (責(zé)任編輯 黃春香)

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