數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

張志旺

數(shù)學(xué)教育的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，包括數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)計算能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中所研究的創(chuàng)新思維，一般是指對思維主體來說，是新穎獨到的一種思維活動，它包括發(fā)現(xiàn)新事物，提示新規(guī)律，創(chuàng)造新方法，解決新問題等思維過程.那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢？

一、注重學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

逆向思維是數(shù)學(xué)的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物，去做到與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索，當(dāng)反復(fù)思考某個問題陷入困境時，逆向思維能使人茅塞頓開，出奇制勝.數(shù)學(xué)上的反證法往往離不開思維的逆向性，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后經(jīng)過一系列正確、嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，這就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不成立，從而肯定了原來結(jié)論是正確的.

【例1】 證明：素數(shù)有無限個.

證明：假設(shè)素數(shù)只有有限個，設(shè)為p1、p2、…、pn.考查數(shù)p1p2…pn+1，它或者是一個素數(shù)，顯然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它為合數(shù)，則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形，總還有另外的素數(shù)存在，這與假設(shè)相矛盾，從而素數(shù)有無限個.

用逆向思維來考慮數(shù)學(xué)問題，不但可使我們對問題認(rèn)識得更加清楚，對知識點掌握得更加牢固，而且常常使問題大大簡化，起到事半功倍的效果.

二、注意化歸意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

化歸意識是在解決問題的過程中，有意識地對問題進(jìn)行“聯(lián)想——轉(zhuǎn)化”，將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的思維活動.化歸意識的培養(yǎng)，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方向的鉆研精神和思考習(xí)慣，有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

【例2】 一個農(nóng)民有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

我們可以假想這樣一種奇特的現(xiàn)象：所有的雞都抬起了一只腳，同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然，問題就容易多了，現(xiàn)在雞的頭的數(shù)目與腳的數(shù)目是相等的，如果有一只兔子，腳的數(shù)目就要比頭的數(shù)目大1，所以腳的數(shù)目（70）與頭的數(shù)目（50）的差（20）就等于兔子的數(shù)目.于是可知有兔子20只，雞30只.這種化歸思想方法很巧妙，它是把問題的已知條件進(jìn)行變形，以達(dá)到化歸的目的，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題.

三、廣開思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數(shù)學(xué)上的新思維、新理論和新方法往往來源于發(fā)散思維.有人用“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力.可見，加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法.

在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓(xùn)練學(xué)生對同一條件，聯(lián)想多種結(jié)論；改變思維角度，進(jìn)行變式訓(xùn)練；培養(yǎng)學(xué)生個性，鼓勵創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新；加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等.

【例3】 用6根火柴，要求擺出4個三角形，怎么擺？

一種思維方式：每個三角形三條邊需3根火柴，4個三角形需12根火柴，怎么辦？共邊！以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊，可以減少3根火柴，這樣就只需9根火柴，還要減少3根，怎么辦？

另一種思維方式：先用3根火柴擺1個三角形，然后把剩下的3根架在這個三角形的上方，4個三角形就出來了.

前一種思維方式把自己局限在平面上，后一種思維方式就無拘無束，將思維擴(kuò)展到空間.

四、注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創(chuàng)造性思維的起步器.可以說，沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不能有創(chuàng)造.觀察能力是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的.那么，在課堂中，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢？

首先，在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求.其次，要在觀察中及時指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對象有順序地進(jìn)行觀察，要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法，要指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等.第三，要科學(xué)地運用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，以支持學(xué)生對研究的問題做仔細(xì)、深入的觀察.第四，要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣.

五、大膽猜想，注重對學(xué)生想象力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)中的猜想能力，是一種高級的創(chuàng)造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個基本要素：（1）因此要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗的支持；（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力；（3）要有執(zhí)著追求的情感.因此，培養(yǎng)學(xué)生的想象力，首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識.其次，新知識的產(chǎn)生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材潛在的因素，創(chuàng)設(shè)想象情境，提供想象材料，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象.另外，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.正如牛頓所說的：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”

數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子.比如：容易從“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素數(shù)，然而其和“12，30，136…”都是偶數(shù)，是否有一規(guī)律：任何兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)？這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想，任何一個偶數(shù)，是否都能分解為兩個奇素數(shù)之和？對“即使很大”的偶數(shù)是可以實際驗證一下，然而能嚴(yán)格證明嗎？這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感

科學(xué)家把導(dǎo)致發(fā)明創(chuàng)造的敏感稱為“高級靈感”，我們把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的那種突然發(fā)生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐，不斷積累經(jīng)驗和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路.它是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍.靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新.

在教學(xué)中，教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點點的新意，都應(yīng)及時給予肯定.同時，還應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感，促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

例如，有這樣的一道題：把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題，學(xué)生通常都是采用先通分再比較的方法，但由于公分母太大，解答非常麻煩.有位學(xué)生因近視看不清黑板上的字，就回過頭去看后面的同學(xué)所抄寫的，他看到的是倒字，這一現(xiàn)象使他靈機(jī)一動：化為同分子分?jǐn)?shù)，再比較大小.這個觸景生情的“靈機(jī)一動”，就是一種“初級靈感”.

因此，在教學(xué)中教師應(yīng)對學(xué)生長期進(jìn)行敢于想象、敢于創(chuàng)新、敢于打破常規(guī)的訓(xùn)練，促使學(xué)生想象能力的不斷提高.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會多方面觀察事物，學(xué)會數(shù)學(xué)知識和方法，學(xué)會思考和探索，學(xué)會猜想，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造性思維.

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙.數(shù)學(xué)教育中的“創(chuàng)新”工程大綱[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（4）.

[2]任勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù)[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中學(xué)數(shù)學(xué)解題論導(dǎo)引[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯 黃春香）

數(shù)學(xué)教育的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，包括數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)計算能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中所研究的創(chuàng)新思維，一般是指對思維主體來說，是新穎獨到的一種思維活動，它包括發(fā)現(xiàn)新事物，提示新規(guī)律，創(chuàng)造新方法，解決新問題等思維過程.那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢？

一、注重學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

逆向思維是數(shù)學(xué)的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物，去做到與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索，當(dāng)反復(fù)思考某個問題陷入困境時，逆向思維能使人茅塞頓開，出奇制勝.數(shù)學(xué)上的反證法往往離不開思維的逆向性，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后經(jīng)過一系列正確、嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，這就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不成立，從而肯定了原來結(jié)論是正確的.

【例1】 證明：素數(shù)有無限個.

證明：假設(shè)素數(shù)只有有限個，設(shè)為p1、p2、…、pn.考查數(shù)p1p2…pn+1，它或者是一個素數(shù)，顯然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它為合數(shù)，則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形，總還有另外的素數(shù)存在，這與假設(shè)相矛盾，從而素數(shù)有無限個.

用逆向思維來考慮數(shù)學(xué)問題，不但可使我們對問題認(rèn)識得更加清楚，對知識點掌握得更加牢固，而且常常使問題大大簡化，起到事半功倍的效果.

二、注意化歸意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

化歸意識是在解決問題的過程中，有意識地對問題進(jìn)行“聯(lián)想——轉(zhuǎn)化”，將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的思維活動.化歸意識的培養(yǎng)，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方向的鉆研精神和思考習(xí)慣，有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

【例2】 一個農(nóng)民有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

我們可以假想這樣一種奇特的現(xiàn)象：所有的雞都抬起了一只腳，同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然，問題就容易多了，現(xiàn)在雞的頭的數(shù)目與腳的數(shù)目是相等的，如果有一只兔子，腳的數(shù)目就要比頭的數(shù)目大1，所以腳的數(shù)目（70）與頭的數(shù)目（50）的差（20）就等于兔子的數(shù)目.于是可知有兔子20只，雞30只.這種化歸思想方法很巧妙，它是把問題的已知條件進(jìn)行變形，以達(dá)到化歸的目的，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題.

三、廣開思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數(shù)學(xué)上的新思維、新理論和新方法往往來源于發(fā)散思維.有人用“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力.可見，加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法.

在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓(xùn)練學(xué)生對同一條件，聯(lián)想多種結(jié)論；改變思維角度，進(jìn)行變式訓(xùn)練；培養(yǎng)學(xué)生個性，鼓勵創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新；加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等.

【例3】 用6根火柴，要求擺出4個三角形，怎么擺？

一種思維方式：每個三角形三條邊需3根火柴，4個三角形需12根火柴，怎么辦？共邊！以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊，可以減少3根火柴，這樣就只需9根火柴，還要減少3根，怎么辦？

另一種思維方式：先用3根火柴擺1個三角形，然后把剩下的3根架在這個三角形的上方，4個三角形就出來了.

前一種思維方式把自己局限在平面上，后一種思維方式就無拘無束，將思維擴(kuò)展到空間.

四、注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創(chuàng)造性思維的起步器.可以說，沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不能有創(chuàng)造.觀察能力是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的.那么，在課堂中，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢？

首先，在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求.其次，要在觀察中及時指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對象有順序地進(jìn)行觀察，要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法，要指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等.第三，要科學(xué)地運用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，以支持學(xué)生對研究的問題做仔細(xì)、深入的觀察.第四，要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣.

五、大膽猜想，注重對學(xué)生想象力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)中的猜想能力，是一種高級的創(chuàng)造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個基本要素：（1）因此要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗的支持；（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力；（3）要有執(zhí)著追求的情感.因此，培養(yǎng)學(xué)生的想象力，首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識.其次，新知識的產(chǎn)生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材潛在的因素，創(chuàng)設(shè)想象情境，提供想象材料，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象.另外，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.正如牛頓所說的：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”

數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子.比如：容易從“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素數(shù)，然而其和“12，30，136…”都是偶數(shù)，是否有一規(guī)律：任何兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)？這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想，任何一個偶數(shù)，是否都能分解為兩個奇素數(shù)之和？對“即使很大”的偶數(shù)是可以實際驗證一下，然而能嚴(yán)格證明嗎？這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感

科學(xué)家把導(dǎo)致發(fā)明創(chuàng)造的敏感稱為“高級靈感”，我們把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的那種突然發(fā)生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐，不斷積累經(jīng)驗和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路.它是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍.靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新.

在教學(xué)中，教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點點的新意，都應(yīng)及時給予肯定.同時，還應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感，促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

例如，有這樣的一道題：把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題，學(xué)生通常都是采用先通分再比較的方法，但由于公分母太大，解答非常麻煩.有位學(xué)生因近視看不清黑板上的字，就回過頭去看后面的同學(xué)所抄寫的，他看到的是倒字，這一現(xiàn)象使他靈機(jī)一動：化為同分子分?jǐn)?shù)，再比較大小.這個觸景生情的“靈機(jī)一動”，就是一種“初級靈感”.

因此，在教學(xué)中教師應(yīng)對學(xué)生長期進(jìn)行敢于想象、敢于創(chuàng)新、敢于打破常規(guī)的訓(xùn)練，促使學(xué)生想象能力的不斷提高.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會多方面觀察事物，學(xué)會數(shù)學(xué)知識和方法，學(xué)會思考和探索，學(xué)會猜想，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造性思維.

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙.數(shù)學(xué)教育中的“創(chuàng)新”工程大綱[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（4）.

[2]任勇.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與教學(xué)藝術(shù)[M].北京：人民教育出版社，2006.

[3]李大勇.中學(xué)數(shù)學(xué)解題論導(dǎo)引[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

（責(zé)任編輯 黃春香）

數(shù)學(xué)教育的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力，包括數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)計算能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力等.這些能力需要從多渠道、多角度去培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)中所研究的創(chuàng)新思維，一般是指對思維主體來說，是新穎獨到的一種思維活動，它包括發(fā)現(xiàn)新事物，提示新規(guī)律，創(chuàng)造新方法，解決新問題等思維過程.那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力呢？

一、注重學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

逆向思維是數(shù)學(xué)的一種重要思維方式.它是在研究問題時從反面觀察事物，去做到與習(xí)慣性的思維方向完全相反的探索，當(dāng)反復(fù)思考某個問題陷入困境時，逆向思維能使人茅塞頓開，出奇制勝.數(shù)學(xué)上的反證法往往離不開思維的逆向性，先假設(shè)結(jié)論不成立，然后經(jīng)過一系列正確、嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論，這就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不成立，從而肯定了原來結(jié)論是正確的.

【例1】 證明：素數(shù)有無限個.

證明：假設(shè)素數(shù)只有有限個，設(shè)為p1、p2、…、pn.考查數(shù)p1p2…pn+1，它或者是一個素數(shù)，顯然比一切p1、p2、…、pn都大；或者它為合數(shù)，則包含有異于p1、p2、…、pn的素因子.無論哪種情形，總還有另外的素數(shù)存在，這與假設(shè)相矛盾，從而素數(shù)有無限個.

用逆向思維來考慮數(shù)學(xué)問題，不但可使我們對問題認(rèn)識得更加清楚，對知識點掌握得更加牢固，而且常常使問題大大簡化，起到事半功倍的效果.

二、注意化歸意識，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力

化歸意識是在解決問題的過程中，有意識地對問題進(jìn)行“聯(lián)想——轉(zhuǎn)化”，將未知問題轉(zhuǎn)化為易于解決或已經(jīng)解決的問題的思維活動.化歸意識的培養(yǎng)，不僅有助于實際問題的解決，而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方向的鉆研精神和思考習(xí)慣，有助于創(chuàng)造能力的培養(yǎng).

【例2】 一個農(nóng)民有雞、兔若干，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

我們可以假想這樣一種奇特的現(xiàn)象：所有的雞都抬起了一只腳，同時所有的兔子也僅用后腿站立在地上.顯然，問題就容易多了，現(xiàn)在雞的頭的數(shù)目與腳的數(shù)目是相等的，如果有一只兔子，腳的數(shù)目就要比頭的數(shù)目大1，所以腳的數(shù)目（70）與頭的數(shù)目（50）的差（20）就等于兔子的數(shù)目.于是可知有兔子20只，雞30只.這種化歸思想方法很巧妙，它是把問題的已知條件進(jìn)行變形，以達(dá)到化歸的目的，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題.

三、廣開思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

發(fā)散思維是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程.數(shù)學(xué)上的新思維、新理論和新方法往往來源于發(fā)散思維.有人用“創(chuàng)造能力=知識量×發(fā)散思維”這個公式來估計一個人的創(chuàng)造能力.可見，加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的重要方法.

在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力一般可以從以下幾個方面入手.比如訓(xùn)練學(xué)生對同一條件，聯(lián)想多種結(jié)論；改變思維角度，進(jìn)行變式訓(xùn)練；培養(yǎng)學(xué)生個性，鼓勵創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新；加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思等.

【例3】 用6根火柴，要求擺出4個三角形，怎么擺？

一種思維方式：每個三角形三條邊需3根火柴，4個三角形需12根火柴，怎么辦？共邊！以1個三角形為中心與另外3個三角形各共一邊，可以減少3根火柴，這樣就只需9根火柴，還要減少3根，怎么辦？

另一種思維方式：先用3根火柴擺1個三角形，然后把剩下的3根架在這個三角形的上方，4個三角形就出來了.

前一種思維方式把自己局限在平面上，后一種思維方式就無拘無束，將思維擴(kuò)展到空間.

四、注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門.敏銳的觀察力是創(chuàng)造性思維的起步器.可以說，沒有觀察就沒有發(fā)現(xiàn)，更不能有創(chuàng)造.觀察能力是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的.那么，在課堂中，怎樣培養(yǎng)學(xué)生的觀察力呢？

首先，在觀察之前，要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求.其次，要在觀察中及時指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)觀察的對象有順序地進(jìn)行觀察，要指導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)挠^察方法，要指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)等.第三，要科學(xué)地運用直觀教具及現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，以支持學(xué)生對研究的問題做仔細(xì)、深入的觀察.第四，要努力培養(yǎng)學(xué)生濃厚的觀察興趣.

五、大膽猜想，注重對學(xué)生想象力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)中的猜想能力，是一種高級的創(chuàng)造性思維形式.想象不同于胡思亂想.數(shù)學(xué)想象一般有以下幾個基本要素：（1）因此要有扎實的基礎(chǔ)知識和豐富的經(jīng)驗的支持；（2）要有能迅速擺脫表象干擾的敏銳的洞察力和豐富的想象力；（3）要有執(zhí)著追求的情感.因此，培養(yǎng)學(xué)生的想象力，首先要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識.其次，新知識的產(chǎn)生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教材潛在的因素，創(chuàng)設(shè)想象情境，提供想象材料，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象.另外，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.正如牛頓所說的：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”

數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造就是以猜想為前提的.著名的哥德巴赫猜想“任何一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個素數(shù)之和”就是一個典型的例子.比如：容易從“5+7=12，11+19=30，113+23=136，…”看到“5，7，11，19，23，113…”都是奇素數(shù)，然而其和“12，30，136…”都是偶數(shù)，是否有一規(guī)律：任何兩個奇素數(shù)之和都是偶數(shù)？這點很容易肯定并加以證明.但是反過來想想，任何一個偶數(shù)，是否都能分解為兩個奇素數(shù)之和？對“即使很大”的偶數(shù)是可以實際驗證一下，然而能嚴(yán)格證明嗎？這就是1742年哥德巴赫提出的猜想.

六、注重誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)靈感

科學(xué)家把導(dǎo)致發(fā)明創(chuàng)造的敏感稱為“高級靈感”，我們把在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中賴以發(fā)現(xiàn)、解決數(shù)學(xué)問題的那種突然發(fā)生的直覺思維叫做“初級靈感”.它大體是指由于長期實踐，不斷積累經(jīng)驗和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路.它是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍.靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新.

在教學(xué)中，教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點點的新意，都應(yīng)及時給予肯定.同時，還應(yīng)誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感，促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口.

例如，有這樣的一道題：把-311、-623、-1247、-417用“>”號排列起來.對于這道題，學(xué)生通常都是采用先通分再比較的方法，但由于公分母太大，解答非常麻煩.有位學(xué)生因近視看不清黑板上的字，就回過頭去看后面的同學(xué)所抄寫的，他看到的是倒字，這一現(xiàn)象使他靈機(jī)一動：化為同分子分?jǐn)?shù)，再比較大小.這個觸景生情的“靈機(jī)一動”，就是一種“初級靈感”.

因此，在教學(xué)中教師應(yīng)對學(xué)生長期進(jìn)行敢于想象、敢于創(chuàng)新、敢于打破常規(guī)的訓(xùn)練，促使學(xué)生想象能力的不斷提高.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會多方面觀察事物，學(xué)會數(shù)學(xué)知識和方法，學(xué)會思考和探索，學(xué)會猜想，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)造性思維.

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（責(zé)任編輯 黃春香）