關(guān)于幾個(gè)同余命題的分析與證明李新社

姚俊萍

摘 要：首先分析了中國(guó)剩余定理推廣原理的證明過(guò)程，指出該證明過(guò)程沒(méi)有證明解的唯一性，并補(bǔ)充了解的唯一性證明過(guò)程；然后給出了構(gòu)造一個(gè)新排列的算法原理，指出該算法的重要性；最后針對(duì)二次互反律證明過(guò)程冗長(zhǎng)難懂的事實(shí)，給出了其關(guān)鍵性證明環(huán)節(jié)的一種新型證明方法。

關(guān)鍵詞：同余命題；中國(guó)剩余定理；二次互反律

眾所周知，中國(guó)剩余定理在初等數(shù)論中具有重要的地位，它的應(yīng)用非常廣泛，但中國(guó)剩余定理原型中各個(gè)模數(shù)是互素的，推

廣原理中個(gè)模數(shù)可以不是互素的，但文獻(xiàn)[1，2]中給出的證明過(guò)程在論述解唯一性時(shí)，筆者認(rèn)為含糊且不清楚，本文給出另外一種證明過(guò)程，并用邏輯推理證明了解的唯一性。

一、中國(guó)剩余定理推廣原理證明過(guò)程的分析及其重新證明

定理1：設(shè)d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式組x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）

有解的充要條件是d/a1-a2，當(dāng)此條件成立時(shí)，恰好有一個(gè)解x≡b（modm）。

上面證明過(guò)程思路由文獻(xiàn)給出，“因r的唯一性，所以a2+mr

也是唯一的”這難以理解，因?yàn)樗鼈兎謩e基于不同的模。另外證明過(guò)程中，針對(duì)同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程應(yīng)該有d個(gè)不同解，這d個(gè)不同解起的作用是否相同，為何導(dǎo)致最終只有唯一解？

下面給出另一種證明過(guò)程，其中必要性與上面一樣，核心是充分性。

二、序列1，2，…，（m-1）/2的一個(gè)排列的構(gòu)造算法及其證明

定理2：設(shè)m≥3是正奇數(shù)，a是整數(shù)，（a，m）=1，如果整數(shù)ak

三、一種二次互反律關(guān)鍵性證明環(huán)節(jié)的新型證明方法

文獻(xiàn)[1，2]里的二次互反律證明環(huán)節(jié)都比較冗長(zhǎng)難懂，這里將其核心關(guān)鍵部分抽取出來(lái)形成定理，并給出一種簡(jiǎn)單而有效的新型證明方法。

四、定理應(yīng)用分析

定理1的重新證明不僅使我們?cè)趹?yīng)用中國(guó)剩余定理時(shí)更加自信和靈活，并且明白求得結(jié)果唯一，還是我們認(rèn)識(shí)到文獻(xiàn)給出的解構(gòu)造也是正確的。

定理2算法的構(gòu)造和證明不僅對(duì)研究同余命題有支持和誘導(dǎo)作用，而且相對(duì)于文獻(xiàn)介紹相關(guān)內(nèi)容時(shí)所給出的奇素?cái)?shù)限制放寬了條件。

定理3抽取和形成對(duì)于二次互反律的證明有著較強(qiáng)的支持作用，而且可對(duì)進(jìn)一步研究相關(guān)理論和應(yīng)用二次互反律奠定基礎(chǔ)。

本文對(duì)中國(guó)剩余定理推廣原理的證明過(guò)程進(jìn)行了分析和重新證明；給出了構(gòu)造一個(gè)新排列的算法原理并證明了該算法原

理；提煉出了一個(gè)有助于二次互反律證明的命題并給出了一種新的證明方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡典順，徐漢文.初等數(shù)論[M].科學(xué)出版社，2010-06.

[2]張文鵬，李海龍.初等數(shù)論[M].陜西師范大學(xué)出版社，2010-06.

（作者單位 陜西省西安高新技術(shù)研究所）

編輯 馬燕萍endprint

摘 要：首先分析了中國(guó)剩余定理推廣原理的證明過(guò)程，指出該證明過(guò)程沒(méi)有證明解的唯一性，并補(bǔ)充了解的唯一性證明過(guò)程；然后給出了構(gòu)造一個(gè)新排列的算法原理，指出該算法的重要性；最后針對(duì)二次互反律證明過(guò)程冗長(zhǎng)難懂的事實(shí)，給出了其關(guān)鍵性證明環(huán)節(jié)的一種新型證明方法。

關(guān)鍵詞：同余命題；中國(guó)剩余定理；二次互反律

眾所周知，中國(guó)剩余定理在初等數(shù)論中具有重要的地位，它的應(yīng)用非常廣泛，但中國(guó)剩余定理原型中各個(gè)模數(shù)是互素的，推

廣原理中個(gè)模數(shù)可以不是互素的，但文獻(xiàn)[1，2]中給出的證明過(guò)程在論述解唯一性時(shí)，筆者認(rèn)為含糊且不清楚，本文給出另外一種證明過(guò)程，并用邏輯推理證明了解的唯一性。

一、中國(guó)剩余定理推廣原理證明過(guò)程的分析及其重新證明

定理1：設(shè)d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式組x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）

有解的充要條件是d/a1-a2，當(dāng)此條件成立時(shí)，恰好有一個(gè)解x≡b（modm）。

上面證明過(guò)程思路由文獻(xiàn)給出，“因r的唯一性，所以a2+mr

也是唯一的”這難以理解，因?yàn)樗鼈兎謩e基于不同的模。另外證明過(guò)程中，針對(duì)同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程應(yīng)該有d個(gè)不同解，這d個(gè)不同解起的作用是否相同，為何導(dǎo)致最終只有唯一解？

下面給出另一種證明過(guò)程，其中必要性與上面一樣，核心是充分性。

二、序列1，2，…，（m-1）/2的一個(gè)排列的構(gòu)造算法及其證明

定理2：設(shè)m≥3是正奇數(shù)，a是整數(shù)，（a，m）=1，如果整數(shù)ak

三、一種二次互反律關(guān)鍵性證明環(huán)節(jié)的新型證明方法

文獻(xiàn)[1，2]里的二次互反律證明環(huán)節(jié)都比較冗長(zhǎng)難懂，這里將其核心關(guān)鍵部分抽取出來(lái)形成定理，并給出一種簡(jiǎn)單而有效的新型證明方法。

四、定理應(yīng)用分析

定理1的重新證明不僅使我們?cè)趹?yīng)用中國(guó)剩余定理時(shí)更加自信和靈活，并且明白求得結(jié)果唯一，還是我們認(rèn)識(shí)到文獻(xiàn)給出的解構(gòu)造也是正確的。

定理2算法的構(gòu)造和證明不僅對(duì)研究同余命題有支持和誘導(dǎo)作用，而且相對(duì)于文獻(xiàn)介紹相關(guān)內(nèi)容時(shí)所給出的奇素?cái)?shù)限制放寬了條件。

定理3抽取和形成對(duì)于二次互反律的證明有著較強(qiáng)的支持作用，而且可對(duì)進(jìn)一步研究相關(guān)理論和應(yīng)用二次互反律奠定基礎(chǔ)。

本文對(duì)中國(guó)剩余定理推廣原理的證明過(guò)程進(jìn)行了分析和重新證明；給出了構(gòu)造一個(gè)新排列的算法原理并證明了該算法原

理；提煉出了一個(gè)有助于二次互反律證明的命題并給出了一種新的證明方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡典順，徐漢文.初等數(shù)論[M].科學(xué)出版社，2010-06.

[2]張文鵬，李海龍.初等數(shù)論[M].陜西師范大學(xué)出版社，2010-06.

（作者單位 陜西省西安高新技術(shù)研究所）

編輯 馬燕萍endprint

摘 要：首先分析了中國(guó)剩余定理推廣原理的證明過(guò)程，指出該證明過(guò)程沒(méi)有證明解的唯一性，并補(bǔ)充了解的唯一性證明過(guò)程；然后給出了構(gòu)造一個(gè)新排列的算法原理，指出該算法的重要性；最后針對(duì)二次互反律證明過(guò)程冗長(zhǎng)難懂的事實(shí)，給出了其關(guān)鍵性證明環(huán)節(jié)的一種新型證明方法。

關(guān)鍵詞：同余命題；中國(guó)剩余定理；二次互反律

眾所周知，中國(guó)剩余定理在初等數(shù)論中具有重要的地位，它的應(yīng)用非常廣泛，但中國(guó)剩余定理原型中各個(gè)模數(shù)是互素的，推

廣原理中個(gè)模數(shù)可以不是互素的，但文獻(xiàn)[1，2]中給出的證明過(guò)程在論述解唯一性時(shí)，筆者認(rèn)為含糊且不清楚，本文給出另外一種證明過(guò)程，并用邏輯推理證明了解的唯一性。

一、中國(guó)剩余定理推廣原理證明過(guò)程的分析及其重新證明

定理1：設(shè)d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式組x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）

有解的充要條件是d/a1-a2，當(dāng)此條件成立時(shí)，恰好有一個(gè)解x≡b（modm）。

上面證明過(guò)程思路由文獻(xiàn)給出，“因r的唯一性，所以a2+mr

也是唯一的”這難以理解，因?yàn)樗鼈兎謩e基于不同的模。另外證明過(guò)程中，針對(duì)同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程應(yīng)該有d個(gè)不同解，這d個(gè)不同解起的作用是否相同，為何導(dǎo)致最終只有唯一解？

下面給出另一種證明過(guò)程，其中必要性與上面一樣，核心是充分性。

二、序列1，2，…，（m-1）/2的一個(gè)排列的構(gòu)造算法及其證明

定理2：設(shè)m≥3是正奇數(shù)，a是整數(shù)，（a，m）=1，如果整數(shù)ak

三、一種二次互反律關(guān)鍵性證明環(huán)節(jié)的新型證明方法

文獻(xiàn)[1，2]里的二次互反律證明環(huán)節(jié)都比較冗長(zhǎng)難懂，這里將其核心關(guān)鍵部分抽取出來(lái)形成定理，并給出一種簡(jiǎn)單而有效的新型證明方法。

四、定理應(yīng)用分析

定理1的重新證明不僅使我們?cè)趹?yīng)用中國(guó)剩余定理時(shí)更加自信和靈活，并且明白求得結(jié)果唯一，還是我們認(rèn)識(shí)到文獻(xiàn)給出的解構(gòu)造也是正確的。

定理2算法的構(gòu)造和證明不僅對(duì)研究同余命題有支持和誘導(dǎo)作用，而且相對(duì)于文獻(xiàn)介紹相關(guān)內(nèi)容時(shí)所給出的奇素?cái)?shù)限制放寬了條件。

定理3抽取和形成對(duì)于二次互反律的證明有著較強(qiáng)的支持作用，而且可對(duì)進(jìn)一步研究相關(guān)理論和應(yīng)用二次互反律奠定基礎(chǔ)。

本文對(duì)中國(guó)剩余定理推廣原理的證明過(guò)程進(jìn)行了分析和重新證明；給出了構(gòu)造一個(gè)新排列的算法原理并證明了該算法原

理；提煉出了一個(gè)有助于二次互反律證明的命題并給出了一種新的證明方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡典順，徐漢文.初等數(shù)論[M].科學(xué)出版社，2010-06.

[2]張文鵬，李海龍.初等數(shù)論[M].陜西師范大學(xué)出版社，2010-06.

（作者單位 陜西省西安高新技術(shù)研究所）

編輯 馬燕萍endprint