數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)的教學(xué)與能力的培養(yǎng)

李妙紅

產(chǎn)生式遷移理論認(rèn)為，先后兩項(xiàng)技能學(xué)習(xí)產(chǎn)生遷移的原因是兩項(xiàng)技能之間產(chǎn)生式的重疊，重疊越多，遷移量越大。產(chǎn)生式的相同或相似是遷移產(chǎn)生的最佳條件。而任何數(shù)學(xué)問題都會(huì)以一定的形式出現(xiàn)，它的結(jié)構(gòu)模式可能與已知的公式及題型具有相同或相似的地方，這就為解決新的數(shù)學(xué)問題提供了有效的途徑。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過揭示這種結(jié)構(gòu)模式上的內(nèi)在聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)式形的認(rèn)知，并通過這種認(rèn)知的遷移，促進(jìn)解題策略的遷移，從而提高學(xué)生的解決問題能力。

一、 公式型“數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)”

由問題的結(jié)構(gòu)形式與某些已知的公式相同或相似，聯(lián)想到一個(gè)先前學(xué)過的結(jié)構(gòu)更清晰的命題，從中找到解題的策略，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣和解決問題的能力。

例1.求函數(shù)y=■+■的最小值及相應(yīng)x的值。

本題解法主要是要把求函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化為求到兩點(diǎn)的最小距離（過程略）。

由上面的例子可以看到，由于對(duì)兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式的結(jié)構(gòu)的認(rèn)知及這種認(rèn)知的遷移，并利用數(shù)形結(jié)合把一道難于解決的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較具體、直觀且易于解決的問題，開闊了學(xué)生的解題思路，有利于學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)。

二、 特例型“數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)”

通過分析一些特例的“數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)”的更深層次的結(jié)構(gòu)規(guī)律，并挖掘其結(jié)構(gòu)的背景，使學(xué)生對(duì)問題的結(jié)構(gòu)模式認(rèn)知產(chǎn)生遷移，從而從一個(gè)特例的解法得到一類問題的解法，促進(jìn)解題能力的提高。

例2.求和：■+■+■+…+■。

【解析】觀察通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)an=■=■-■。

∵■=■-■，∴原式=（1-■）+（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=1-■=■。

上面的“裂項(xiàng)求和法”還可以推廣到數(shù)列的通項(xiàng)型如：■=■-■；■=■-■；■=

■-■■=

■■-■等式形結(jié)構(gòu)數(shù)列求和。

如此可見，我們通過深入分析一個(gè)特例的結(jié)構(gòu)規(guī)律和解法，可以得出某一類的一般解法，實(shí)現(xiàn)了源于課本，高于課本，提高了學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也提高了學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)及解決問題的能力。

三、創(chuàng)新型“數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)”

1. 通過換元或構(gòu)造。

根據(jù)數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引發(fā)聯(lián)想，進(jìn)行“換元”或構(gòu)造，簡化結(jié)構(gòu)或構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模式，從中找到解題的策略，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性，有利于在更高層次上發(fā)展學(xué)生的能力。

例3.已知非零實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=abc，求證：■+■+■=4。

本題解法主要由已知條件a、b、c∈R且a+b+c=abc聯(lián)想到ΔABC中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（A+B+C=π）入手（過程略）。

2. 通過歸納和引申。

通過對(duì)數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)的歸納引申，發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)探究問題的能力和創(chuàng)造力。

例4. 給定數(shù)列Xn且Xn+1=■，求X2012-X1002的值.本題主要解法通過構(gòu)造Xn=tanan，tan30°=■來將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而將問題簡單化（過程略）。

數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)是很豐富的，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)式形的認(rèn)知、理解程度，從某種意義來說，反映出學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的高低。學(xué)生對(duì)于公式的理解和應(yīng)用，對(duì)類似或相同結(jié)構(gòu)命題解法的聯(lián)想、遷移，對(duì)數(shù)學(xué)問題的歸納、引申，其直接的原因是對(duì)于數(shù)學(xué)式形結(jié)構(gòu)的認(rèn)知。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，要重視式形結(jié)構(gòu)的認(rèn)知和應(yīng)用的教學(xué)，充分挖掘教材的潛力，發(fā)現(xiàn)更多有利于發(fā)展學(xué)生能力的題材，促使學(xué)生全面素質(zhì)的提高。

責(zé)任編輯徐國堅(jiān)