解析幾何中對稱問題的解法探析

陳則候

一、關(guān)于點(diǎn)的對稱問題

1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱

解決點(diǎn)點(diǎn)對稱問題的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)P（a，b）關(guān)于點(diǎn)Q（m，n）的對稱點(diǎn)為P′（2m-a，2n-b），中點(diǎn)問題也是其他對稱問題的基礎(chǔ).

2.直線關(guān)于點(diǎn)的對稱

例1.求直線l∶2x-3y+1=0關(guān)于點(diǎn)A（1，2）對稱的直線l′的方程.

解法一：在直線l∶2x-3y+1=0上任取兩點(diǎn)，如，M（1，1），N（-2，-1），則M、N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上，易知由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x-3y+7=0.

解法二：∵l∶l′， ∴可設(shè)l′的方程為2x-3y+c=0（c≠1）

評析：解法一是取特殊點(diǎn)法；解法二是兩直線關(guān)于點(diǎn)對稱成平行直線，對稱點(diǎn)到兩直線的距離相等的幾何性質(zhì).

二、關(guān)于直線的對稱

1.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱

一般的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題

例2.求點(diǎn)P（4，0）關(guān)于直線l∶5x+4y+21=0的對稱點(diǎn)P′.

解法：設(shè)P（4，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P′（x′，y′），顯然x′≠4，則PP′⊥l，線段PP的中點(diǎn)在直線l上.

2.直線關(guān)于直線的軸對稱

一般的直線關(guān)于直線的對稱問題

評析：此類型是直線與對稱軸相交.四種解法都是常用方法，都注意利用幾何性質(zhì).解法一是抓住了對稱關(guān)系的轉(zhuǎn)化（線關(guān)于線對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對稱）；解法二抓住P與P′是一對“相關(guān)點(diǎn)”，利用“相關(guān)點(diǎn)”的性質(zhì)求出直線l2上的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，這是求曲線關(guān)于直線對稱方程的常用方法.

3.圓錐曲線關(guān)于直線的對稱

例4.求圓C∶（x-2）2+（y+3）2=1關(guān)于直線l∶2x-y-1=0的對稱圓方程.

評析：此題其實(shí)就是求圓心（2，-3）關(guān)于直線l∶2x-y-1=0的對稱點(diǎn)問題.

例5.求拋物線y2=2x關(guān)于直線2x-y-1=0的對稱拋物線方程.

總之，求對稱問題歸根結(jié)底都是點(diǎn)的對稱，我們通常采用變量替換、數(shù)形結(jié)合等思想。求對稱問題的通法是：（1）求對稱點(diǎn)一般采用，先設(shè)對稱點(diǎn)P（x，y），再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式或垂直、平分等條件，列出x，y的方程組，解方程組所得的解就是對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求對稱直線一般是：先設(shè)對稱曲線上任一點(diǎn)P（x，y），再利用求對稱點(diǎn)的方程求出P點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo)，將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入已知曲線方程中，所得的關(guān)于x，y的關(guān)系式，就是所求對稱曲線的方程.

（作者單位 浙江省永嘉縣上塘中學(xué)）

編輯 王團(tuán)蘭