具有公共顧客的兩個(gè)學(xué)生食堂最優(yōu)供應(yīng)模型研究

安樹庭，秦文釗，顧恩國(guó)

（中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430074）

1 問題的提出

2013年1 月17日，習(xí)近平總書記作出厲行勤儉節(jié)約反對(duì)鋪張浪費(fèi)的重要批示，1月20日，中共中央辦公廳發(fā)出《印發(fā)習(xí)近平同志關(guān)于厲行勤儉節(jié)約反對(duì)鋪張浪費(fèi)重要批示的通知》，該批示引起了強(qiáng)烈的反響［1-2］.

高校學(xué)生食堂是為學(xué)生提供就餐飲食及服務(wù)的場(chǎng)所.高校學(xué)生人數(shù)眾多，每天前來就餐的學(xué)生人數(shù)處于動(dòng)態(tài)變化之中，在不確定具體的就餐人數(shù)的情況下，如何供應(yīng)每天的飯菜數(shù)量，以達(dá)到利潤(rùn)最大化和浪費(fèi)最小化的雙贏，是一個(gè)值得研究的問題.然而，目前少見研究高校學(xué)生食堂利潤(rùn)最大化和浪費(fèi)最小化的雙贏問題，目前關(guān)于高校學(xué)生食堂的研究大都集中在如下幾個(gè)方面：一是研究學(xué)生食堂飲食衛(wèi)生的安全管理問題［3-4］；二是利用結(jié)構(gòu)方程模型及多元統(tǒng)計(jì)的方法確定學(xué)生對(duì)食堂的滿意度問題［5-6］；三是模擬學(xué)生就餐的動(dòng)態(tài)過程，分析評(píng)價(jià)學(xué)生食堂排隊(duì)與滯留狀況的原因，進(jìn)而給相關(guān)部門提供決策建議［7］.

通過分析食堂的就餐人數(shù)變化規(guī)律和食堂飯量供應(yīng)規(guī)律，在保證安全、價(jià)格合理的前提下，以利潤(rùn)最大化和浪費(fèi)最小化為目標(biāo)，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，通過考察模型的特點(diǎn)，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，確定供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的最優(yōu)取值，進(jìn)而為食堂管理者提供參考.

2 模型的建立

假設(shè)學(xué)校開設(shè)2個(gè)食堂，分別記作i＝1，2，學(xué)生可以自主選擇是否在食堂就餐以及在哪個(gè)食堂就餐；xi（t）表示t時(shí)刻（該時(shí)刻間隔為一天或者一餐，后文計(jì)算機(jī)模擬中具體說明）在食堂i就餐的學(xué)生人數(shù)；x3（t）表示在t時(shí)刻不在食堂就餐的學(xué)生人數(shù)；N表示學(xué)生總?cè)藬?shù)；gi（t）表示t時(shí)刻食堂i的供應(yīng)量

（單位：份），每份滿足且僅滿足1名學(xué)生的就餐需求；p表示每個(gè)時(shí)刻的人均消費(fèi)額（單位：元）.

2.1 就餐人數(shù)和供應(yīng)量變化規(guī)律的差分方程 為了敘述方便，引進(jìn)虛擬食堂3，認(rèn)為不在食堂1，2就餐的學(xué)生均在食堂3就餐.鑒于學(xué)生在選擇具體的就餐地點(diǎn)具有一定的自主性和隨機(jī)性，引入就餐轉(zhuǎn)移率的概念，用aij（t）（i，j＝1，2，3）表示t時(shí)刻在食堂i就餐，t＋1時(shí)刻在食堂j就餐的學(xué)生人數(shù)比例，則食堂的就餐人數(shù)的變化規(guī)律可用如下差分方程系統(tǒng)表示：

顯然有

記

則（1）式等價(jià)于

且稱A（t）為就餐轉(zhuǎn)移率矩陣.

由于每次就餐的學(xué)生人數(shù)不確定，若食堂總是維持不變的供應(yīng)量，則極容易造成資源浪費(fèi)或者短缺，因此食堂每次的供應(yīng)量應(yīng)該有所調(diào)整.假設(shè)食堂按照類似文獻(xiàn)［8］中的自適應(yīng)方案調(diào)整其供應(yīng)量，t＋1時(shí)刻的供應(yīng)量取決于t時(shí)刻的供應(yīng)是否平衡，如果供大于求，則減少供應(yīng)；如果供小于求，則增加供應(yīng).因此t＋1時(shí)刻的供應(yīng)量與t時(shí)刻的供應(yīng)量和需求量之間存在如下關(guān)系：

其中αi＞0為食堂i的供應(yīng)調(diào)整系數(shù).

2.2 食堂的利潤(rùn)函數(shù)與剩余函數(shù) 食堂每個(gè)時(shí)刻的利潤(rùn)等于該時(shí)刻的收入與成本的差值.收入指飯菜收入與就餐人數(shù)和人均消費(fèi)額有關(guān)；成本包括固定成本和可變成本，固定成本包括場(chǎng)地租賃費(fèi)和器材固有損耗費(fèi)等，可變成本指食堂的供應(yīng)成本等.每個(gè)食堂的成本與各自的供應(yīng)量和總供應(yīng)量有關(guān)，假設(shè)供應(yīng)成本滿足庫(kù)布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)［9］，則t時(shí)刻食堂i的成本

其中cfi是固定成本，ci＞0反應(yīng)食堂i的經(jīng)營(yíng)管理水平.

所以t時(shí)刻食堂i的利潤(rùn)

當(dāng)供大于求時(shí)，才會(huì)出現(xiàn)剩余，因此t時(shí)刻食堂i的剩余

其中Ⅰ為示性函數(shù)，Ⅰ｛gi（t）-xi（t）≥0｝的定義如下：

2.3 模型的確定 在保證安全、價(jià)格合理的條件下，食堂應(yīng)追求利潤(rùn)最大化和剩余最小化.考慮一個(gè)時(shí)間段T（一個(gè)月或者一個(gè)學(xué)期等）內(nèi)的總利潤(rùn)和總剩余，得到如下多目標(biāo)優(yōu)化模型：

在模型（10）式中，目標(biāo)函數(shù)一H1（i）表示在T時(shí)間段中食堂i的總利潤(rùn)；目標(biāo)函數(shù)二H2（i）表示在T時(shí)間段中食堂i的總剩余.

3 模型的分析

3.1 模型的分析 通過分析模型（10）式不難發(fā)現(xiàn)，該模型有6類共計(jì)17個(gè)參數(shù)，包括參數(shù)p，cfi，ci，αi，N及變參數(shù)aij，對(duì)于任意時(shí)刻t，如果能夠確定這17個(gè)參數(shù)取值，則很容易確定目標(biāo)函數(shù)一和目標(biāo)函數(shù)二的取值.

由于就餐轉(zhuǎn)移率是隨機(jī)變化的，所以該模型沒有理論上的數(shù)值最優(yōu)解.為了確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)，先利用計(jì)算機(jī)模擬研究利潤(rùn)和剩余和就餐轉(zhuǎn)移矩陣的關(guān)系.進(jìn)一步根據(jù)他們的關(guān)系確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù).

3.2 矩陣A（x）進(jìn)一步分析及初值的確定 雖然學(xué)生們的就餐選擇具有隨機(jī)性和主觀性，但是結(jié)合實(shí)際，我們還是可以得到如下幾個(gè)事實(shí)：

1）絕大部分學(xué)生就餐具有局部固定性：即習(xí)慣了某一個(gè)食堂的口味之后，除特殊情況下，不會(huì)更改就餐選擇；

2）雖然學(xué)生自主選擇是否在食堂就餐，但在食堂就餐的學(xué)生人數(shù)仍占學(xué)生總?cè)藬?shù)的絕大部分；3）對(duì)于大部分學(xué)生而言，當(dāng)在某一個(gè)食堂就餐一段時(shí)間后，為了換個(gè)口味，會(huì)偶爾選擇更換食堂.基于上述事實(shí)，根據(jù)在中南民族大學(xué)某學(xué)院小范圍進(jìn)行的就餐轉(zhuǎn)移選擇調(diào)查，我們做出如下規(guī)定：

1）對(duì)在1，2食堂就餐的學(xué)生，選擇在固定食堂就餐的學(xué)生比例服從［0.9，1］的均勻分布，即a11，a22∽U（0.9，1）；選擇轉(zhuǎn)移就餐地點(diǎn)的學(xué)生比例服從［0，1-aii］的隨機(jī)分布，且滿足

2）由于學(xué)生食堂在價(jià)格和衛(wèi)生安全上的優(yōu)勢(shì)，很少有學(xué)生常年不在學(xué)生食堂就餐，通常而言，是因?yàn)橐恍┨厥庠虿排紶栠x擇不在食堂就餐，因此假設(shè)不在食堂就餐的學(xué)生人數(shù)服從［0.4，0.6］的均勻分布，即a33∽U（0.4，0.6）；選擇轉(zhuǎn)移就餐地點(diǎn)，前往食堂就餐的學(xué)生人數(shù)比例服從［0，1-a33］的隨機(jī)分布，且滿足

3）假設(shè)初始時(shí)刻在食堂1，2就餐的人數(shù)為0.9N，且在兩個(gè)食堂就餐人數(shù)相同，即

4）假設(shè)初試時(shí)刻食堂1，2的供應(yīng)量等于需求量，即

4 計(jì)算機(jī)模擬

4.1 就餐轉(zhuǎn)移率矩陣A（t）對(duì)利潤(rùn)和剩余的影響 為了確定在學(xué)生就餐人數(shù)不確定的情況下，食堂的利潤(rùn)與供應(yīng)量是否能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)或者維持在一個(gè)固定的水平，用計(jì)算機(jī)模擬就餐轉(zhuǎn)移率對(duì)利潤(rùn)和剩余的影響，計(jì)算步驟如下：

step1：確定時(shí)間間隔t和時(shí)間段T，給參數(shù)P，cfi，αi，ci，N賦值；

step2：利用計(jì)算機(jī)求解模型（10），得到食堂1，2在時(shí)間段T內(nèi)的總利潤(rùn)和總剩余；

step3：重復(fù)模擬10 000次，觀察10 000次模擬條件下總利潤(rùn)和總剩余的變化規(guī)律.

取時(shí)間間隔t＝1天，時(shí)間段T＝30（天），人均消費(fèi)額P＝10元／天，固定成本cfi＝50 000元，調(diào)整系數(shù)α1＝α2＝2，可變成本c1＝c2＝1.5，人數(shù)N＝20 000人.

利用MATLAB進(jìn)行仿真模擬，得到10 000次模擬下兩個(gè)食堂的總利潤(rùn)和總剩余的變化規(guī)律如圖1所示（由于數(shù)值過于密集，為了便于觀看分析，圖中僅給出了前100次的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖）.

圖1 計(jì)算機(jī)模擬下兩個(gè)食堂的月利潤(rùn)和月剩余散點(diǎn)圖

從圖1可以明顯看出，盡管轉(zhuǎn)移率矩陣每次的取值不同，但是對(duì)結(jié)果的整體影響并不大，為了進(jìn)一步觀察模擬結(jié)果，我們重復(fù)上述模擬步驟10次，得到數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 10次模擬下兩個(gè)食堂的利潤(rùn)和剩余數(shù)據(jù)

從上表可以清晰看出，由于隨機(jī)模擬存在誤差，所以每次所得到的月均利潤(rùn)和月均剩余會(huì)有所差異，但是均值非常接近，方差也非常小.食堂的月均利潤(rùn)為200萬(wàn)元左右，我們?cè)诔杀局兄挥?jì)算了食堂的固定成本和基于供應(yīng)量的可變成本，尚未包括員工的工資、納稅的費(fèi)用及煤、電等費(fèi)用，除去這些費(fèi)用，剩下的利潤(rùn)也是比較符合實(shí)際情況的.該結(jié)果說明在我們的分析假設(shè)下，就餐轉(zhuǎn)移率矩陣對(duì)最終的月平均利潤(rùn)和月平均剩余影響不大，說明食堂的月均利潤(rùn)和月均剩余可以維持在一個(gè)比較穩(wěn)定的水平.

4.2 供應(yīng)調(diào)整系數(shù)αi對(duì)總利潤(rùn)和總剩余的影響 在4.1中通過計(jì)算機(jī)仿真，證明了就餐轉(zhuǎn)移率矩陣對(duì)月均利潤(rùn)和月均剩余的影響不大.在此基礎(chǔ)上，為了給管理者提供決策建議，考慮供應(yīng)調(diào)整系數(shù)對(duì)總利潤(rùn)和總剩余的影響.采用如下思路進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬：

step1：確定參數(shù)P，cfi，ci，N，T的取值；

step2：令系數(shù)向量α1＝α2＝α，α＝0∶0.1∶2.4.

step3：利用計(jì)算機(jī)求解模型（10）式，觀察食堂的月均利潤(rùn)和月均剩余在不同的調(diào)整系數(shù)下的變化規(guī)律，從而確定最優(yōu)調(diào)整系數(shù).

取時(shí)間間隔t＝1天，時(shí)間段T＝30（天），人均消費(fèi)額P＝10元／天，固定成本p＝20 000元，經(jīng)營(yíng)管理水平c1＝c2＝1.5，人數(shù)N＝20 000人.

利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，得到25組不同的調(diào)整系數(shù)值下兩個(gè)食堂的利潤(rùn)和剩余量如表2所示.

表2 不同供應(yīng)調(diào)整系數(shù)下兩個(gè)食堂的利潤(rùn)和剩余數(shù)據(jù)表

從表2可以發(fā)現(xiàn)，隨著供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的增大，兩個(gè)食堂的利潤(rùn)剛開始不會(huì)發(fā)生明顯的變化，但是剩余量則會(huì)越來越多，顯然不滿足剩余最小化的要求.

4.3 最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的確定 由于需要同時(shí)兼顧利潤(rùn)最大化和剩余最小化兩個(gè)方面的要求，為了確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)，不能但看某一項(xiàng)指標(biāo)的取值，為此，引入供應(yīng)調(diào)整系數(shù)適應(yīng)指標(biāo)

其中Rα，Lα表示供應(yīng)調(diào)整系數(shù)為α?xí)r兩個(gè)食堂的平均剩余和利潤(rùn).

顯然，該指標(biāo)越小，供應(yīng)調(diào)整系數(shù)越優(yōu).同時(shí)需要注意到，當(dāng)α≤1.8時(shí)，總有一個(gè)食堂的剩余量為0，即總有一個(gè)食堂處于供不應(yīng)求的狀態(tài).在實(shí)際中這種情況是不合理的，長(zhǎng)期供不應(yīng)求容易降低學(xué)生們的就餐滿意度，也不符合食堂服務(wù)學(xué)生的宗旨.因此僅考慮兩個(gè)食堂平均剩余均大于0的情形，例如根據(jù)表2的模擬結(jié)果，可取調(diào)整系數(shù)α1＝α2＝1.9.

考慮到僅僅依靠一次模擬確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)具有一定的誤差，重復(fù)進(jìn)行4.2中的計(jì)算機(jī)模擬20次，得到每一次模擬條件下的最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)如表3所示.

表3 20次重復(fù)模擬下的最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)

從表3可以看出，最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)總是處于區(qū)間［1.5，2.0］之中，因此認(rèn)為當(dāng)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)αi屬于區(qū)間［1.5，2.0］時(shí)，學(xué)生食堂按照（5）式來調(diào)整自己的供應(yīng)量，可以達(dá)到利潤(rùn)最大化和剩余最小化的雙贏目標(biāo).

5 結(jié)語(yǔ)

提出的是具有公共顧客的兩個(gè)學(xué)生食堂的利潤(rùn)與剩余的問題.建立隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，通過分析模型的特點(diǎn)，利用計(jì)算機(jī)仿真，得到食堂就餐人數(shù)的局部轉(zhuǎn)移對(duì)利潤(rùn)和總剩余的影響并不大的結(jié)論，進(jìn)一步根據(jù)計(jì)算機(jī)模擬確定供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的最優(yōu)取值范圍，對(duì)高校學(xué)生食堂管理決策者而言具有實(shí)用的參考價(jià)值.

［1］民政部辦公廳.民政部辦公廳關(guān)于貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記厲行勤儉節(jié)約、反對(duì)鋪張浪費(fèi)重要批示的通知［EB／OL］.http：／／www.mca.gov.cn／article／zwgk／tzl／201301／20130100411302.shtml，2013-4-13.

［2］新華網(wǎng).習(xí)近平總書記厲行勤儉節(jié)約、反對(duì)鋪張浪費(fèi)重要批示引起強(qiáng)烈反響［EB／OL］.http：／／news.xinhuanet.com／politics／2013-01-29／c＿114545327.htm，2013-4-13.

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