隨機域最大值的幾乎處處中心極限定理

汪園芳，吳群英

（桂林理工大學理學院，廣西 桂林541004）

0 引言及定義

設｛X，Xn；n≥1｝是一個獨立同分布的隨機變量序列成立，如果此式滿足，則有最簡單形式的幾乎處處中心極限定理成立，即：

其中，I（A）是事件A的示性函數(shù)，Φ（x）是標準正態(tài)分布函數(shù).對幾乎處處中心極限定理的研究可以從兩個方面來考慮，一是隨機變量序列的擴展，可以將簡單的隨機變量序列擴展為混合的隨機變量序列，或者擴展到隨機域；二是權重形式的擴展，可以將簡單的權重擴展到加權函數(shù)形式的權重.

獨立同分布的隨機變量序列的部分和形式的幾乎處處中心極限定理首次被Brosamler［1］和Schatte［2］引入并證明，從此之后，幾乎處處中心極限定理被推廣到各種不同的形式.特別地，F(xiàn)ahrner等［3］以及Cheng［4］將部分和形式的幾乎處處中心極限定理推廣到最大值形式的幾乎處處中心極限定理，Csaki等［5］將幾乎處處中心極限定理應用到平穩(wěn)高斯序列，Dudzinski［6］將部分和形式的幾乎處處中心極限定理推廣到部分和和最大值的形式，Hyemi［7］將幾乎處處中心極限定理從平穩(wěn)高斯序列推廣到平穩(wěn)高斯域，但對非平穩(wěn)高斯域的幾乎處處中心極限定理的研究文獻較少，本文中研究在協(xié)方差滿足一定的條件下，獲得獨立同分布的隨機域的最大值的加權函數(shù)形式的幾乎處處中心極限定理.

記Nd為d維正整數(shù)集，k＝（k1，…，kd）∈Nd，l＝（l1，…，ld）∈Nd，n＝（n1，…，nd）∈Nd，｜n｜＝n1…nd，而且k≤l意味著ki≤li，i＝1，…，d，并且當 max1≤i≤dni→∞，對某些時認為n→∞.如果當n→∞時則記an～bn；如果存在某常數(shù)c＞0使得對于充分大的n，有an≤cbn，則記成an?bn.

1 定理及引理

定理 設｛Xi；i∈Nd｝是獨立同分布的，且具有零均值以及有限方差的隨機域，同時對?γ＞0滿足

則對任意的分布函數(shù)G（x），有下面兩式等價：

其中代表著G（x）的連續(xù)點集.

引理1［8］設ξ1，ξ2，…為一組有界的隨機變量序列，如果存在某ε＞0，使得成立，則有成立的情況下，如果0≤d＊k≤dk，并且滿足則有

引理2［8］在 成立.

注記 由引理2可以推出，定理1對小的權重成立，則定理1對大的權重也成立.

2 定理的證明

令ξk＝I（Mk≤uk）-P（Mk≤uk），其中，k，l∈Nd，則由（1）式和（2）式，我們有：

令n＝（n1，…，nd），定義則有：

由于E（ξ2k）是有界的，并且exp（2（lnki）β）是慢變化函數(shù)，則有：

進一步地，為了估計T2，定義Am＝｛（k，l）∈Ⅰn×Ⅰn：（2mi-1）（ki-li）≥0，k≠l｝以及m∈Δ≡｛（m1，…，md）：mi＝0，1，i＝1，…，d，m≠1｝，則由（6）式和（7）式，有：

下面，先估計mi＝0這種情況下的T2.根據(jù)Am的定義，當mi＝0時，很顯然可以得出ki≤li，進一步可以得出：

然后來估計mi＝1這種情況下的T2.和上面的情況類似，根據(jù)Am的定義，當mi＝1時，很顯然可以得出ki≥li，則可得到：

因此，綜合mi＝0和mi＝1兩種情況下的T2的估計，我們可以歸結為：

由文獻［10］中可以得到下面的等價式：

由（12）式和（13）式可以推得：

然后將上面的估計帶入（9）式，進而有：

由Borel-Cantelli引理［9］知：

由于ξk＝I（Mk≤uk）-P（Mk≤uk），很顯然，ξk是有界的，對于n＝（n1，…，nd），nk＝（nk1，…，nkd），nk＋1＝（nk1＋1，…，nkd＋1），特別地，對于ni存在一個序列ki使得nki＜ni≤nki＋1，1≤i≤d成立.則對于Tn，有：

注意，

即：

最后，由（18）～（20）式得到：

［1］Brosamler G A.An almost everywhere central limit theorem［J］.Math Proc Cambridge Philos Soc，1988，104：561-574.

［2］Schatte P.On strong versions of the central limit theorem［J］.Math Nachr，1988，137：249-256.

［3］Fahrner I，Stadtmuller U.On almost sure central max-limit theorems［J］.Stat Probab Lett，1998，37：229-236.

［4］Cheng S H，Peng L，Qi Y C.Almost sure convergence in extreme value theory［J］.Math Nachr，1998，190：43-50.

［5］Csaki E，Gonchigdanzan K.Almost sure limit theorems for the maximum of stationary Gaussian Sequences［J］.Statist Probab Lett，2002，58：195-203.

［6］Dudzinski M.The almost sure central limit theorems in the joint version for the maxima and sums of certain stationary Gaussian sequences［J］.Statist Probab Lett，2008，78：347-357.

［7］Hyemi Choi.Almost sure limit theorem for stationary Gaussian random fields［J］.JKSS，2010，39：449-454.

［8］Wu Qunying.Almost sure central limit theory for products of sums of partial sums［J］.Math Appl J Chinese Univ，2012，27：169-180.

［9］吳群英.混合序列的概率極限理論［M］.北京：科學出版社，2006.