基于小波與游程耦合的時序模型在降水預測中的應用

，，

(華北水利水電大學 a.數學與信息科學學院; b.水利學院，鄭州 450045)

1 研究背景

降水量是衡量干旱程度的重要指標，關于降水預測的方法有很多，如文獻[1-3]分別運用Markov預測降水量或徑流量；嚴華升等[4]運用非線性動力統(tǒng)計模擬對降水進行了預測；崔德友[5]利用遺傳算法針對降雨量數據進行預測；文獻[6-7]運用時間序列模型對杭州市降雨量進行了預測；韓萍等[8]建立多尺度標準化降水指數的ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average Model)模型，預測了陜西未來降水的變化及干旱等級；李才媛[9]運用灰色理論預報了湖北省梅雨期的分級降雨。這些研究大多是在未對序列進行多尺度非平穩(wěn)性、獨立性檢驗的條件下直接對降水量進行預測。而長序列數據中隱藏著豐富的信息，若對其進行序列分解，則可從中挖掘出更多信息。

降水的形成與氣壓、氣溫、日照和風速有關，有其自身的物理機制，并非單純的隨機序列。本文主要是從數學方法的角度，對隨機非平穩(wěn)序列進行延展預測：首先小波分解降水序列，通過游程分析檢驗分解序列之間是否相互獨立；而后運用ARIMA模型對相互獨立的分解序列分別進行預測；最后小波重構預測結果。以黃河鄭州站為例，檢驗上述預測模型與傳統(tǒng)ARIMA模型的預測精度。

2 降水預測理論模型

2.1 小波分解

小波分解是將原始序列分解為一系列小波函數的疊加，小波重構是小波分解的逆變換。設原始序列為X={X1,X2,…,XN}，采用正交、高效的Mallat算法進行小波分解。令C0=X1,Mallat算法如下[10-11]：

(1)

當分解到L層時，原始序列被分解為L個細節(jié)序列和1個近似序列，對分解得到的L+1個序列分別運用Mallat重構算法，即

(2)

2.2 游程檢驗

小波分解是將具有周期項、趨勢項及不規(guī)則變動項構成的乘法模型轉化為加法模型。使用加法模型的前提是各個因素對序列的影響是相互獨立可加的，因此需對序列{D1,D2,…,DL,CL}作獨立性檢驗。

設其中2個序列分別為Y={Y1,Y2,…,YN}和Z={Z1,Z2,…,ZN}，通過游程分析檢驗2序列間的獨立性。游程檢驗的步驟[12]為：

(3)

(4)

(3) 統(tǒng)計V中元素1的數目m和游程數目r，計算V的狀態(tài)概率pz和遷移樣本容量nz,即

(5)

(4) 計算V的游程分布的平均變差pdF，即

(6)

(5) 設定置信水平α滿足式(7)，即

|pdF|≤α。

(7)

若式(7)成立，則接受序列Y和Z相互獨立的假設；否則，拒絕序列相互獨立的假設。

2.3 ARIMA模型

設通過游程檢驗的序列為Xi,t={Xi,1，Xi,2，…，Xi,N}，若Xi,t與序列值Xi,t-1，Xi,t-2，…，Xi,t-p以及隨機擾動項αi,t-1，αi,t-2，…，αi,t-q存在一定的關系則是平穩(wěn)時間序列，可以建立ARMA(p，q)模型。

若含有趨勢的非平穩(wěn)序列，則以d次差分轉化為平穩(wěn)序列建立ARMA模型。模型形式為

(8)

式中：B為延遲算子，BXi,t=Xi,t-1；=(1-B)為差分算子；|B|≤1；?(B)與φ(B)互質；αi,t為白噪聲序列。

建模與預測的步驟，如圖1所示。建模過程需遵循以下原則[8-13]:

圖1 建模流程圖

(1) 在置信水平α=0.05下，運用QLB統(tǒng)計量進行白噪聲檢驗，當QLB的概率值(P)小于0.05時，序列不是白噪聲，序列包含有效信息，通過檢驗，需要建立模型。

(2) 時序圖顯示時間序列觀測值圍繞均值上下波動，無明顯的上升或下降的趨勢，且在ACF(Autocorrelation Function)圖中隨著延遲的增加，自相關系數在2倍標準差內很快衰減到0，認為序列平穩(wěn)，通過平穩(wěn)性檢驗。

(3) 若序列ACF拖尾，PACF(Partial Autocorrelation Function)在p步截尾，則建立AR(p)模型；若序列ACF在q步截尾，PACF拖尾，則建立AR(q)模型；若序列ACF在q步拖尾，且PACF在p步拖尾，則建立ARMA(p，q)模型。

(4) 在置信水平α=0.05下采用極大似然估計法對得到的參數再次估計，計算t檢驗統(tǒng)計量，統(tǒng)計量概率值小于0.025的參數被認為顯著有效。

(5) 在(1)的置信水平與統(tǒng)計量下進行模型檢驗，當QLB的概率值大于0.05，序列為白噪聲序列，殘差序列不包含有效信息，通過檢驗。

(6) 模型優(yōu)化中，以AIC與SBC達到最小為優(yōu)化準則。

2.4 預測結果的小波重構與誤差分析

運用式(2)對各層時間序列分別進行單支重構[11]為

X=D1+D2+…+DL+CL。

(9)

式中：D1={D1,1，D1,2，…，D1,N}，D2={D2,1，D2,2，…，D2,N}，…，DL={DL,1，DL,2，…，DL,N}分別是第1層，第2層，…，第L層的細節(jié)序列單支重構結果；CL={CL,1，CL,2，…，CL,N}是第L層的近似序列的單支重構結果。因此

Xi=D1,i+D2,i+…+DL,i+CL,i。

(10)

(11)

利用平均絕對誤差MAE(Mean Absolute Error)與均方誤差MSE(Mean Squared Error)描述擬合、預測結果的精度：

(12)

(13)

3 實例分析

選取鄭州站1951—2007年的月均降水量數據[14]，利用上述耦合模型預測2008—2012年月均降水量，通過和實際降水量進行比較，計算其預測精度，若精度較高，則預測2013—2015年鄭州市月均降水量。

圖2 近似序列和細節(jié)序列

3.1 降水量序列的分解

小波分解的關鍵是小波函數的選擇與分解尺度的確定。小波函數的選擇主要取決于小波變換的目的，并沒有統(tǒng)一的一般性規(guī)律[15-16]。分解尺度與氣壓、氣溫、日照和風速等復雜的自然因素有關，分解尺度越大，序列的頻率劃分就越細，近似序列和細節(jié)序列的平滑性與平穩(wěn)性也越好，但誤差會越大，這種誤差會影響預測精度；分解尺度過小，則不能達到使近似序列和細節(jié)序列平滑與平穩(wěn)的效果。

考慮降水量序列受多種自然因素的影響，波動幅度大、隨機性程度強的特點，經過多次試驗對比分析和序列獨立性游程檢驗發(fā)現，選擇Daubechies中的db3小波對原始序列進行2尺度分解效果較好，單支重構到原尺度上得到1個近似序列cA2和2個細節(jié)序列cD1,cD2，如圖2所示。

3.2 游程檢驗

置信水平α=0.05，以均值為截取水平，對序列cA2,cD1,cD2作游程獨立性檢驗，結果如表1所示。

表1 cD1,cD2,cA2的獨立性指標檢驗

表1表明：cD1和cA2相互獨立，cD1和cD2相互獨立，cA2和cD2相互不獨立。在相同置信水平下，對cA2和cD2之間的相關性進行Pearson檢驗，2序列的相關系數為0.077，2序列線性無關。這說明通過小波分解與單支重構，已成功地將降水序列的周期項、趨勢項與隨機擾動項分離，可以對cA2，cD1，cD2分別建模預測。

3.3 ARIMA模型的建立

依據上文步驟對cA2，cD1，cD2進行白噪聲檢驗，計算出延遲6，12，18期的檢驗結果，如表2所示。

表2表明：3序列QLB的概率值均小于0.05，通過白噪聲檢驗，均包含有效信息，符合建模預測條件。

表2 cA2，cD1，cD2的白噪聲檢驗

從序列cA2,cD1,cD2的時序圖，如圖2所示，可以看出序列cD1和cD2沒有明顯上升或下降的趨勢，不能判斷cA2的趨勢。進一步觀察自相關函數與偏自相關函數圖，結果顯示序列cD1和cD2為平穩(wěn)序列。序列cA2為非平穩(wěn)序列,如圖3所示，結合cA2兩次差分后的時序圖，如圖4所示，可以看出序列沒有明顯上升或下降的趨勢，差分序列平穩(wěn)。

圖3 cA2的自相關與偏自相關函數

圖4 cA2兩次差分后時序圖

由圖3知：偏自相關函數(PACF)雖然在延遲8期、16期有微弱突變，但就整體而言，在延遲4期以后迅速衰減至0，說明偏自相關函數4步截尾，而自相關函數逐漸衰減至0，呈現拖尾性，故可選用ARIMA(4,2,0)模型，同時試用模型ARIMA(4,2,1),ARIMA(8,2,0),IMA(2,4)進行對比研究。

分別采用上述4個模型對cA2序列建模與檢驗。因模型ARIMA(4,2,1)不能通過殘差白噪聲檢驗，則舍去該模型。ARIMA(4,2,0)的AIC(Akaike Information Criterion)與SBC(Schwarz Bayesian Criterion)值最小，見表3，選定模型ARIMA(4,2,0)。由于模型ARIMA(4,2,0)參數?的t統(tǒng)計量概率值只有系數?4的概率值小于0.025，顯著有效，對預測結果影響較大，其他系數顯著為0，對預測結果基本無影響，故舍去其它參數，確定最優(yōu)模型ARIMA(0,2,0)(1,0,0)4。

表3 cA2模型的AIC與SBC值

模型ARIMA(0,2,0)(1,0,0)4的殘差白噪聲檢驗統(tǒng)計量QLB的概率值均大于0.05，說明殘差通過白噪聲檢驗，為純隨機序列，不包含有效信息，該模型通過檢驗。按照上述方法對序列cD1和cD2進行相同操作，得到殘差檢驗結果與最優(yōu)模型，如表4所示。

表4 cA2 ,cD1和cD2模型及殘差檢驗結果

3.4 預測結果的小波重構與誤差分析

根據選定模型，對序列cA2,cD1,cD2分別進行擬合并預測2008—2012年月均降水量，利用式(11)對3序列的擬合預測結果進行重構。同時，對降水序列建立傳統(tǒng)的ARIMA模型，比較2模型的相對誤差，結果表明：基于小波與游程耦合的ARIMA模型的相對誤差小于傳統(tǒng)的ARIMA模型，且耦合ARIMA模型的預測值與實際觀測值之間的相對誤差均在5%上下浮動,小于7%，具有較高的預測精度，見表5。

表5 預測結果比較

為了進一步直觀地比較2模型的預測精度，繪制出2種模型的擬合、預測結果與實際觀測數據的曲線圖，如圖5所示，利用式(12)、式(13)可得傳統(tǒng)ARIMA模型與耦合ARIMA模型的平均絕對誤差MAE與均方誤差MSE，結果如表6所示。可以看出：相對于傳統(tǒng)的ARIMA模型，基于小波與游程耦合的ARIMA模型的擬合預測曲線更加逼近于實際觀測值，平均絕對誤差與均方誤差更小，具有較高的預測精度。

圖5 2種模型的觀測與預測時序圖

表6 擬合結果誤差

3.5 2013—2015年鄭州市月均降水量預測

根據1951—2012年月均將水量的數據，利用基于小波與游程的ARIMA模型預測2013—2015年鄭州市月均降水量，如表7所示。由圖5及表7可知未來2年鄭州市降水量變化將處于趨勢性谷底位置，即預測月均降水量會明顯減少。

表7 2013—2015年鄭州月均降水量

4 結 語

(1) 本文依據降水序列隨機非平穩(wěn)的特點，選擇小波理論將序列分解為相互獨立的序列，通過分別建模預測，最后重構擬合預測結果，探索性地研究了隨機非平穩(wěn)序列難以高精度預測的問題。

(2) 結合鄭州站降水序列，檢驗模型的適用性，對比分析小波與游程耦合的ARIMA模型與傳統(tǒng)ARIMA模型的預測精度發(fā)現：耦合模型的平均絕對誤差、均方誤差與相對誤差均小于傳統(tǒng)ARIMA模型，具有較高的預測精度。

(3) 在小波分解降水序列時，小波函數的選擇與分解尺度的確定主要依賴于分解目的，沒有統(tǒng)一的一般性標準，如何確定小波函數與分解尺度的標準仍有待進一步研究。

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