卡門常數(shù)研究現(xiàn)狀及存在的問題

，，，

(長江科學(xué)院 河流研究所, 武漢 430010)

1 研究背景

自從1895年雷諾(O’Reynolds)由時(shí)均概念出發(fā)研究N-S方程從而導(dǎo)出了雷諾方程以后，雷諾方程便成了現(xiàn)代紊流研究的基礎(chǔ)，但是在后來的研究中一直未能從根本上解決雷諾方程的封閉問題，這給紊流理論研究和工程技術(shù)實(shí)際應(yīng)用都帶來了一定困難。于是，1925年普朗特提出了混合長度假說和動(dòng)量理論[1]，他的理論精髓為

(1)

式中：τ為紊動(dòng)應(yīng)力；ρ為密度；u′,ν′均為脈動(dòng)流速；l為普朗特長度；y為深度；u為深度y處的流速。

紊流研究進(jìn)展到這一階段之后，進(jìn)一步的工作是決定紊流的混摻長度從而推導(dǎo)流速分布。根據(jù)混摻長度理論不難推斷混合長度與流速?zèng)]有關(guān)系，而只是水流中所處位置的函數(shù)。于是，1934年T.Von Karman[2]提出了紊流局部運(yùn)動(dòng)相似理論，在該理論中引入了一量綱常數(shù)k作為比例系數(shù)，并且給出了混合長度計(jì)算公式，即

(2)

式中k為卡門常數(shù)。

根據(jù)尼古拉茲試驗(yàn)，清水管流中卡門常數(shù)k為0.4，冠利根[3](G.H.Keulegan)分析了巴津(H.E.Bazin)的試驗(yàn)資料，證明在不同形狀及糙率的明渠清水流中，卡門常數(shù)k亦為0.4，只有在挾沙水流中，卡門常數(shù)k因挾沙濃度或理查遜數(shù)Ri(挾沙濃度梯度)及垂線位置而異。在1933年，Taylor提出了渦旋傳遞理論，指出在液團(tuán)脈動(dòng)過程中動(dòng)量必然要發(fā)生變化，紊動(dòng)過程中紊動(dòng)切力形成渦量，故渦量保持守恒，而不是動(dòng)量保持不變[4]。但是渦量傳遞理論與動(dòng)量傳遞理論都?xì)w結(jié)于混摻長度，所以沒有多大的價(jià)值。由上述可知，卡門常數(shù)k是關(guān)于混摻長度和速度廓線的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，在清水中其值是0.4，在渾水中它是一變量。

2 卡門常數(shù)k的實(shí)質(zhì)及用途

2.1 卡門常數(shù)k的實(shí)質(zhì)

固液兩相流是一種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，泥沙在水流的影響下運(yùn)動(dòng)反過來又影響水流的運(yùn)動(dòng)，卡門常數(shù)k是水動(dòng)力學(xué)、泥沙運(yùn)動(dòng)學(xué)和流體力學(xué)中的一個(gè)重要參數(shù)，鑒于此，有必要探究卡門常數(shù)k的實(shí)質(zhì)。根據(jù)實(shí)測(cè)資料，在黏性層以上直至y/h=0.1～0.2這一范圍內(nèi)，流速梯度很好地滿足下式：

(3)

式中：h為水深；u*為深度y處的摩阻流速。

2.2 卡門常數(shù)k的用途

2.2.1 預(yù)測(cè)流速分布

目前，固液兩相流流速分布有2種模式，其一就是變k模式，持這種觀點(diǎn)的人占大多數(shù)，而變k模式中最有影響的流速分布公式就是卡爾曼-勃蘭德對(duì)數(shù)公式[6]，即

(4)

式中umax為深度y處的最大流速。

根據(jù)式(4)可以計(jì)算出流速廓線。

2.2.2 計(jì)算泥沙懸浮指標(biāo)

20世紀(jì)30年代勞斯(H.Rouse)指出懸浮指標(biāo)的計(jì)算公式為

z=w/(ku*)。

(5)

式中：w為懸浮泥沙的沉速；z為懸浮指標(biāo)，是量綱為一的數(shù)，反映了重力作用與紊動(dòng)擴(kuò)散作用的相互對(duì)比關(guān)系[7]。其中，重力作用通過w來表達(dá)，紊動(dòng)作用通過ku*來表達(dá)。z越大，則表示重力作用相對(duì)較強(qiáng)，紊動(dòng)作用難以把泥沙擴(kuò)散到水體表面，懸移質(zhì)將集中在離床面不遠(yuǎn)處，于是在相對(duì)平衡情況下，含沙量垂線分布就不均勻；反之，z越小，紊動(dòng)作用相對(duì)越強(qiáng)，在相對(duì)平衡狀態(tài)下，含沙量垂線分布就越均勻。但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)泥沙顆粒較細(xì)、含沙量較小時(shí)，計(jì)算值與實(shí)際值比較一致；泥沙顆粒較粗、含沙濃度較大時(shí)，計(jì)算值與實(shí)際值就有很大的偏差。限于篇幅，關(guān)于z，w和k的關(guān)系不再贅述。

2.2.3 計(jì)算混摻長度

Prandtl將紊流運(yùn)動(dòng)與分子擴(kuò)散相類比，認(rèn)為紊流是由許多液體質(zhì)點(diǎn)相結(jié)合成的液體團(tuán)運(yùn)動(dòng)。液體團(tuán)在一定距離內(nèi)本身保持不變，它所具有的量從一個(gè)地方到另一個(gè)地方不發(fā)生量的輸運(yùn)，液體團(tuán)到達(dá)新的位置后才與當(dāng)?shù)亓黧w團(tuán)具有的量相混合[4]。因此得到的紊動(dòng)剪力表達(dá)式為

(6)

對(duì)于二維流，剪切力可以表達(dá)為

(7)

式中γ為重度。

(8)

通過仔細(xì)分析，這種演算只是在數(shù)學(xué)上成立，而從物理圖形上來講，則存在明顯的矛盾，由于混摻理論本身并不能夠提供一個(gè)l的理論表達(dá)式，所以l的選取還停留在猜測(cè)的階段，但是在實(shí)用中摻長優(yōu)于任何被用來改進(jìn)的新的摻長。

3 卡門常數(shù)k的研究現(xiàn)狀

3.1 卡門常數(shù)k的影響因素

固液兩相流的能量分配機(jī)制至今仍不十分清楚，觀點(diǎn)各異:R.T.Knapp[8]考慮了水流和懸浮顆粒的能量交換，并認(rèn)為向下游運(yùn)動(dòng)的顆粒在豎直方向下降所提供的能量應(yīng)該與為保持顆粒懸浮所消耗的能量相等;R.A.Bagnold[9]認(rèn)為水流用以支配顆粒懸浮的能量應(yīng)是水流提供的能量與顆粒自身提供給水流的能量之差，能量分配機(jī)制中較有影響的是Velikanov的“重力理論”。該理論認(rèn)為，固液混合體消耗的總能量應(yīng)為清水阻力所消耗的能量與水流懸浮顆粒的能量之和[4]。

對(duì)卡門常數(shù)的研究能夠有助于了解固液兩相能量分配機(jī)制和驗(yàn)證機(jī)制是否正確，而且為了解水流的結(jié)構(gòu)，本文主要是從影響流速的分布角度，討論卡門常數(shù)的影響因素。

3.1.1 泥沙特性

泥沙特性包括含沙量、泥沙粒徑、級(jí)配、黏度、沉速和相對(duì)密度。室內(nèi)試驗(yàn)資料和野外觀測(cè)資料表明，挾沙水流的流速梯度大于清水的流速梯度，在近底區(qū)含沙量大，顆粒又較粗，使底部流速減小，流速分布變得不均勻，k值變小。

3.1.2 泥沙運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

根據(jù)泥沙在水流中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，泥沙運(yùn)動(dòng)包含推移質(zhì)、懸移質(zhì)運(yùn)動(dòng)，泥沙中推移質(zhì)有躍移、平動(dòng)等形式，泥沙在運(yùn)動(dòng)過程中增加了水流能量損失；水流紊動(dòng)為懸移質(zhì)提供能量，因此使局部能量增加，傳遞能減少。相應(yīng)地造成當(dāng)?shù)厮髁魉贉p少，流速分布更不均勻。流速分布愈不均勻，卡門常數(shù)愈小。

3.1.3 河床形態(tài)

河床中有深槽、淺灘、沙波等，這使水流具有較強(qiáng)的三維特征，三維特征的存在明顯影響了流速分布的均勻程度，這時(shí)卡門常數(shù)k取決于床面形態(tài)。

3.2 卡門常數(shù)k的確定方法

3.2.1 從能量角度來研究k值的變化規(guī)律

H.A.Einstein和錢寧[10]首先從能量的角度來分析懸移質(zhì)的存在對(duì)卡門常數(shù)的影響，并繪制了參數(shù)E和卡門常數(shù)的關(guān)系圖，如圖1[10]所示。參數(shù)E的表達(dá)式為

(9)

圖1 E和k關(guān)系圖

3.2.2 從密度梯度角度探求k的變化規(guī)律

圖2 k和關(guān)系圖

3.2.3 根據(jù)流速廓線來研究k的變化規(guī)律

對(duì)于固液兩相流的流速分布，學(xué)者們還未形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。1988年，倪晉仁和惠遇甲[12]根據(jù)收集到的水槽資料發(fā)現(xiàn)，流速試驗(yàn)資料的變化趨勢(shì)頗為一致，即將流速分布?xì)w納為2種類型，即Ⅰ型和Ⅱ型。認(rèn)為采用分段法可以將流速分布統(tǒng)一，于是將流速分布沿垂線分段，使得變k模式和Coleman模式得到統(tǒng)一。分段法描述流速如下：

(10)

式中：um為渾水的流速；k0=0.4。其中，根據(jù)分段流速值在η處令流速上下2式相等得到交點(diǎn)η的表達(dá)式為

(11)

3.2.4 量綱分析k的變化規(guī)律

根據(jù)影響因素，建立挾沙水流卡門常數(shù)與主要因素的關(guān)系式[13]為

k=f(S,μ,ρ,ρS,P,d,ω,u*)。

(12)

式中：S為含沙量;ρ,ρS,P,d,ω,u*均為動(dòng)力黏滯系數(shù)。P為懸移質(zhì)級(jí)配，表示不同粒徑組的泥沙在懸移質(zhì)中所占的百分比，d為泥沙粒徑。

以d，ω和ρ為基本變量，按照量綱分析原理式(12)變?yōu)?/p>

(13)

式中：A=B+1.5B2；B=ur-0.999；k0=0.4；m=0.18-0.03lg(h/d)。

由式(13)可以看出，在低含沙水流條件下，泥沙粒徑對(duì)卡門常數(shù)的影響起主導(dǎo)作用；在高含沙水流條件下，泥沙濃度或動(dòng)力黏滯系數(shù)對(duì)卡門常數(shù)起主導(dǎo)作用。

3.2.5 從力學(xué)角度來研究k的變化規(guī)律

錢寧和萬兆惠[1]認(rèn)為由于顆粒碰撞切應(yīng)力的存在使得近底層的流速分布規(guī)律與主流區(qū)不同。R.A.Bagnold[14]對(duì)近底層的泥沙運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究認(rèn)為，在近底層除了紊動(dòng)剪切力外，泥沙的運(yùn)動(dòng)還存在顆粒碰撞切應(yīng)力。因此，挾沙水流剪切力τ由2部分組成，即

τ=τf+τs。

(14)

式中：τf為紊動(dòng)附加切應(yīng)力；τs為顆粒剪切力。

在二維明渠均勻流中，距河床y處的挾沙水流的紊動(dòng)剪切力τ可表示為

(15)

根據(jù)R.A.Bagnold[14]的研究，距河床y處的顆粒剪切力τs的表達(dá)式為[15]

(16)

式中：a為常數(shù)，a=0.013；λ為與泥沙濃度有關(guān)的常數(shù)，可以表示為

(17)

式中：C為y處的泥沙體積濃度；C0為靜止?fàn)顟B(tài)下天然泥沙的最大體積濃度，取C0=0.6，可得

(18)

其中，

(19)

(20)

式中b=0.01h，選擇b在近地層，在近底層泥沙的卡門常數(shù)是定值，即為0.4。式(20)表明，主流區(qū)的卡門常數(shù)與底層泥沙濃度有關(guān)。

3.2.6 從黏度分析k的變化規(guī)律

對(duì)于挾沙水流，黏度是描述含沙濃度和泥沙級(jí)配的最佳參數(shù)，舒安平等[16]通過數(shù)值擬合得

(21)

相對(duì)黏度采用費(fèi)祥俊公式，k值表達(dá)式為

(22)

式中：Sv為體積比含沙濃度；Svm為泥沙極限濃度。

3.2.7 從濃度分析k的變化規(guī)律

張紅武[17]利用大量室內(nèi)和天然河流的試驗(yàn)資料，點(diǎn)繪了k和Sv的關(guān)系曲線，如圖3所示。在圖中，盡管k和Sv的關(guān)系點(diǎn)較為分散，但是變化趨勢(shì)還是顯而易見的。

圖3 含沙量Sv和k關(guān)系圖

由圖3可得關(guān)系式

(23)

3.2.8 從自動(dòng)懸浮角度分析k的變化規(guī)律

王尚毅[18]運(yùn)用Bagnold的“自動(dòng)懸浮”論點(diǎn)，認(rèn)為由于懸浮顆粒的存在而消耗的能量可以從懸浮顆粒本身提供水流的勢(shì)能中獲得補(bǔ)償，并因此得到臨界表達(dá)式：

ω=uJ。

(24)

式中：ω為分界粒徑對(duì)應(yīng)的顆粒沉降速度;u為斷面平均流速。當(dāng)ω=uJ時(shí)，卡門常數(shù)與含沙量濃度無關(guān)；而當(dāng)ω

(25)

4 卡門常數(shù)研究問題和展望

作為描述水流結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，其影響因素眾多，研究人員只是取了其中的部分因素來研究，無法全面地描述挾沙水流中卡門常數(shù)的定量變化。

從能量角度探求k值的變化規(guī)律中，固液兩相流的能量分配機(jī)制本來就不是很清楚，現(xiàn)在假設(shè)其能量分配機(jī)制正確，參數(shù)E作為描述卡門常數(shù)的唯一參數(shù)，結(jié)合其物理意義，參數(shù)E中Σ是對(duì)懸移質(zhì)組成中不同的ω部分進(jìn)行總和，這樣就帶來了一些問題：當(dāng)泥沙顆粒較粗時(shí)，泥沙主要集中在床面附近運(yùn)動(dòng)，在此處形成了一個(gè)很大的密度梯度；而在床面以外極大部分的主流區(qū)，含沙量的梯度就比較小，這種情況下，支持懸移質(zhì)所消耗的能量集中在河床附近一個(gè)較小的流區(qū)內(nèi)，這樣所消耗的能量按水深進(jìn)行平均，相當(dāng)于把能量集中消耗的程度沖淡了，而且這一影響在不同的水流及泥沙條件下是不同的，這樣E作為一個(gè)參數(shù)的意義就大為削弱了。

從密度梯度探求的卡門常數(shù)k值變化規(guī)律中，沿著水深垂向懸移質(zhì)濃度是變化的，而這一變化采用理查遜數(shù)來表示，采用一個(gè)高程上的理查遜數(shù)作為特征值，并且考慮床面平整和床面存在沙波的情況，H.A.Einstein和張紅武等都繪制了參數(shù)和卡門常數(shù)k的關(guān)系圖，但未給出其與卡門常數(shù)k的定量關(guān)系式，在實(shí)際應(yīng)用中不是很方便。

上述2種研究方法都是研究卡門常數(shù)的早期代表。由速度輪廓線推出的卡門常數(shù)公式認(rèn)為，在挾沙水流中流速分布不是對(duì)數(shù)分布，而是在水流流速分布中有一尾流函數(shù)。倪晉仁和惠遇甲[12]通過對(duì)清水和渾水的比較得出了尾流的函數(shù)表達(dá)式，經(jīng)過一系列的等價(jià)變換得出了卡門常數(shù)的表達(dá)式?？雌饋硎呛車?yán)密的理論推導(dǎo)，但是公式的建立是在流速分布的結(jié)構(gòu)上來推導(dǎo)的，而事實(shí)上對(duì)變k模式和Coleman模式統(tǒng)一的流速公式是假設(shè)的，同時(shí)還有k測(cè)和k算的驗(yàn)證中取了水面濃度為0這一缺陷。

從量綱來分析卡門常數(shù)k的變化規(guī)律中，周宜林等[13]將泥沙影響的主要因素都考慮進(jìn)去；與其形成鮮明對(duì)比的是舒安平等[16]從黏度和張紅武[17]從濃度來分析卡門常數(shù)的變化規(guī)律，他們推導(dǎo)的公式都是擬合的結(jié)果，從驗(yàn)證的結(jié)果來看量綱分析的結(jié)果擬合效果較佳，可以說他們的思想都是相近的，因?yàn)轲ざ纫彩菨舛炔煌姆从?。張紅武從濃度角度分析的公式是一個(gè)隱形公式，卡門常數(shù)k值的求解需要通過濃度這個(gè)參數(shù)來求，而濃度計(jì)算本身是需要k值作為參數(shù)的，這樣就不方便于實(shí)際應(yīng)用，并且舒安平等[16-17]模擬和驗(yàn)證公式所收集的試驗(yàn)資料紛繁蕪雜，沒有經(jīng)過系統(tǒng)的試驗(yàn)。

從力學(xué)角度推導(dǎo)的結(jié)果考慮了紊動(dòng)剪切力和碰撞剪切力，這種方法值得推崇，但是這種考慮值得商榷和檢驗(yàn)，而且考慮底部參考點(diǎn)濃度時(shí)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，這就為今后研究卡門常數(shù)提出了更高的要求：要有更好的試驗(yàn)條件和更精準(zhǔn)的數(shù)據(jù)處理。

5 結(jié) 語

卡門常數(shù)作為描述水流結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，在清水中其值平均值為0.4，基本不變；在挾沙水流中，卡門常數(shù)為一變量。固液兩相流中，固體和液相相互作用，固體在水流作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，而固體顆粒的存在又反過來影響水流的紊動(dòng)結(jié)構(gòu)，為了深入了解水流結(jié)構(gòu)，本文總結(jié)了前人對(duì)卡門常數(shù)的研究結(jié)果，為以后繼續(xù)了解卡門常數(shù)提供一點(diǎn)幫助。

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