級聯(lián)型多電平逆變器最小總諧波失真階梯調(diào)制策略研究

李素非1，李國杰1，翟登輝2，王衛(wèi)星2

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級聯(lián)型多電平逆變器最小總諧波失真階梯調(diào)制策略研究

李素非，李國杰，翟登輝，王衛(wèi)星

(1.電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，上海交通大學(xué)電氣工程系，上海 200240；2.許繼電氣股份有限公司，河南 許昌 461000)

為了降低級聯(lián)型多電平逆變器的輸出電壓諧波分量，提出了一種新穎的基于KKT條件最優(yōu)化方法的階梯調(diào)制策略。利用KKT條件法，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到相應(yīng)的導(dǎo)通角計算方法,所提出的階梯調(diào)制策略能夠在任意調(diào)制系數(shù)下最小化階梯波輸出的總諧波失真（THD）。另外利用牛頓-拉普遜迭代法來求取上述導(dǎo)通角計算中的關(guān)鍵參數(shù)。為了克服牛頓—拉普遜迭代法計算速度慢的缺點(diǎn)，提出了冪函數(shù)逼近法來簡化計算復(fù)雜度。最后，對上述方法進(jìn)行了仿真分析，得到了固定和可變調(diào)制系數(shù)下的級聯(lián)逆變器輸出電壓波形和其頻譜分布。仿真結(jié)果證實(shí)了調(diào)制策略的有效性。

級聯(lián)型多電平逆變器；總諧波失真；階梯調(diào)制；KKT條件法；函數(shù)逼近

0 引言

級聯(lián)型逆變器在中/高功率等級的系統(tǒng)的中有廣泛的應(yīng)用。根據(jù)開關(guān)頻率，可以將級聯(lián)型逆變器的調(diào)制分為高頻調(diào)制和低頻調(diào)制。常見的高頻調(diào)制策略有正弦載波調(diào)制（SPWM）、特定諧波消除脈寬調(diào)制（SHEPWM）空間電壓矢量調(diào)制（SVPWM）。相對于高頻調(diào)制策略而言，低頻階梯調(diào)制能減小開關(guān)損耗和器件的開關(guān)應(yīng)力，延長其使用壽命，提高系統(tǒng)效率。

在階梯調(diào)制中，各電平導(dǎo)通角的計算是一個研究熱點(diǎn)。導(dǎo)通角計算方法包括選擇諧波消去法（SHE）、等面積法、最小面積差法以及最小THD法。SHE法的目的是消去電壓輸出波形中的低次諧波，由于需要解多元非線性超越方程組，它的計算非常復(fù)雜。等面積法要求在每一個特定的時間區(qū)間內(nèi)，參考正弦電壓和階梯調(diào)制波積分相同，但是它沒有優(yōu)化諧波失真，可能帶來電壓基頻幅值失真。最小面積差法的主要目標(biāo)是在每一個電平上，參考正弦電壓和階梯電壓之差的積分最小，它同樣會引入電壓基波幅值失真。

總諧波失真是衡量逆變器輸出波形質(zhì)量的重要參數(shù)，本文主要研究最小化階梯波調(diào)制中總諧波失真的方法。文獻(xiàn)[26]采用Levenberg-Marquardt迭代法計算導(dǎo)通角，文獻(xiàn)[27]提出粒子群優(yōu)化算法，這些方法時間復(fù)雜度高，在線實(shí)現(xiàn)困難；同時，要求電壓基頻幅值不能隨時間改變，且忽略高次諧波的影響，因而并不是嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義下的最優(yōu)解法。如果基頻電壓幅值是可變的，則需要離線解出對應(yīng)于不同基頻幅值下各電平的導(dǎo)通角，運(yùn)行時通過查表得到各電平導(dǎo)通角。查表法雖然能降低計算復(fù)雜度，但精度和分辨率較低，并占用大量存儲容量。有學(xué)者提出一種最小化總諧波失真的解析方法，能在線計算導(dǎo)通角，但僅優(yōu)化了最多電平數(shù)量下的導(dǎo)通角，沒有考慮較少電平數(shù)量下的限制條件，基頻電壓幅值也被限定在一定范圍內(nèi)；當(dāng)電平數(shù)量多時利用牛頓—拉普遜迭代法，計算復(fù)雜。

本文利用KKT條件法，提出了一種在大范圍基頻電壓下最小化階梯波總諧波失真的在線計算方法，并利用函數(shù)逼近的方法簡化計算過程。

1 級聯(lián)型逆變器階梯波調(diào)制簡述

H橋級聯(lián)型逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。它由個模塊組成，每個模塊有一個直流電壓源，以及由四個開關(guān)器件及反并聯(lián)二極管構(gòu)成的H橋。

在圖1中，對于第個模塊來說，它的直流電壓源是，輸出電壓為。當(dāng)和導(dǎo)通，和關(guān)斷時，；當(dāng)和導(dǎo)通，和關(guān)斷時，；當(dāng)和導(dǎo)通，和關(guān)斷時，。所以

其中，

總輸出電壓為

圖2階梯調(diào)制輸出電壓波形

其中是奇數(shù)，偶次諧波為零。定義調(diào)制系數(shù)為

(4)

調(diào)制系數(shù)的范圍為

(6)

總諧波失真定義為

根據(jù)帕斯瓦爾定理，有

(8)

將式（8）代入式（7）得

2 總諧波失真最小化方法

本節(jié)利用KKT條件法推導(dǎo)最小化總諧波失真的導(dǎo)通角計算方法。目標(biāo)是在特定的調(diào)制系數(shù)下，求得一組導(dǎo)通角，使得式（9）中的總諧波失真最小。不失一般性，設(shè)，最高電平數(shù)為，在圖1中。它等價于以下最優(yōu)化問題：

(11)

(12)

(14)

(16)

(19)

所以

(21)

(23)

表1和

Table 1 and

Table 1 and

S 101.273 2 21.200 42.546 5 32.266 13.819 7 43.301 65.093 0 54.324 76.366 2 65.341 37.639 4 76.353 98.912 7 87.363 910.185 9 98.372 111.459 2 109.378 912.732 4 1110.384 814.005 6 1211.389 915.278 9 1312.394 416.552 1 1413.398 417.825 4 1514.401 919.098 6 1615.405 120.371 8

(26)

(29)

(30)

(32)

(34)

(35)

(37)

(38)

(40)

根據(jù)式（34），不等式（39）和式（40）的右側(cè)相等。所以且。得證。

這樣就得到了總諧波失真最小化的導(dǎo)通角計算方法。具體步驟如下：

4）根據(jù)式（21）計算各導(dǎo)通角的正弦，如果超過了1，令其為1。

3.1牛頓—拉普遜迭代法

(42)

(44)

在實(shí)際系統(tǒng)中，調(diào)制系數(shù)是時變的，且在部分情況下它的變化比較連續(xù)。如果仍然在每一時刻都選取初始值，會增加迭代次數(shù)，占用計算資源。假設(shè)第時刻的第次迭代所計算的參數(shù)值為，第時刻迭代次后滿足，且第時刻的階梯級數(shù)為。則第時刻的參數(shù)初值按照以下方法求出：

下面討論牛頓—拉普遜法的計算復(fù)雜度。這里僅包含迭代計算參數(shù)的算法復(fù)雜度，不考慮加減運(yùn)算所消耗的時間，僅考慮乘法、除法、開方和反三角函數(shù)運(yùn)算的時間。各，和的值已存儲在微處理器或DSP芯片中。的值在對應(yīng)于當(dāng)前時刻的迭代開始前計算。對于當(dāng)前時刻的各次迭代，根據(jù)式（42）和式（43），時間復(fù)雜度為

3.2冪函數(shù)逼近法

為節(jié)約運(yùn)算資源，提升運(yùn)算速度，并克服牛頓—拉普遜法的缺點(diǎn)，本文提出了冪函數(shù)逼近法。階梯級數(shù)可以表示為調(diào)制系數(shù)的函數(shù)，即

(48)

3.2.1 選定擬合點(diǎn)集

(50)

圖3求取擬合點(diǎn)集的流程圖

3.2.2 近似冪函數(shù)的求取

(52)

將式（52）和式（53）代入式（48）中就得到了近似的冪函數(shù)。為了評價近似函數(shù)的精度，分別定義對應(yīng)于的相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)擬合誤差為

(54)

相應(yīng)的近似冪函數(shù)系數(shù)和擬合精度結(jié)果如表2所示。

表2擬合結(jié)果

Table 2 Fitting results

調(diào)制系數(shù)的擬合誤差如圖4所示。調(diào)制系數(shù)的誤差會導(dǎo)致基波幅值失真。

根據(jù)式（48），冪函數(shù)逼近法當(dāng)前時刻的總時間復(fù)雜度為

比較式（57）和式（46），可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)逼近法的計算時間復(fù)雜度相對于牛頓—拉普遜法顯著減少，并且不受階梯級數(shù)、迭代次數(shù)的影響。為進(jìn)一步節(jié)約計算資源，這里規(guī)定在第時刻，若，不再用式（48）計算對應(yīng)于的參數(shù)的值，而是直接使用對應(yīng)于的參數(shù)的值；否則需根據(jù)式（48）計算對應(yīng)于的參數(shù)的值，并令，。其中為選定的誤差閾值。目前的微處理器或DSP芯片能夠勝任這些運(yùn)算。

4 仿真結(jié)果

圖5當(dāng)時的輸出電壓及其各次諧波含量

圖6當(dāng)時的輸出電壓及其各次諧波含量

圖7級聯(lián)逆變器的輸出電壓

圖8總諧波失真隨調(diào)制系數(shù)變化曲線

5 結(jié)論

階梯調(diào)制是級聯(lián)型逆變器的一種重要的調(diào)制策略。本文經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，提出了一種最小化總諧波失真的階梯調(diào)制在線算法，總諧波失真總體趨勢隨調(diào)制系數(shù)的增大而減小，當(dāng)調(diào)制系數(shù)為7.96和13.06時，總諧波失真分別達(dá)到5%和3%。

為了克服牛頓—拉普遜迭代法在求取導(dǎo)通角時計算復(fù)雜度高的缺點(diǎn)，本文提出了一種冪函數(shù)近似求取調(diào)制參數(shù)的方法，該方法大大簡化了計算量。仿真結(jié)果證實(shí)了這些方法的有效性。

[1] 張民, 賀仁睦, 孫哲, 等. 基于PSCAD/EMTDC的直流控制保護(hù)仿真系統(tǒng)仿真平臺及其在直流工程中的應(yīng)用[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2013, 41(3): 112-117.

ZHANG Min, HE Ren-mu, SUN Zhe, et al. The HVDC control and protection simulation platform based on PSCAD/EMTDC and its application in HVDC projects[J]. Power System Protection and Control, 2013, 41(3): 112- 117.

[2] ESFANDIARI E, MARIUN N, MARHABAN M H, et al. Switch-ladder: reliable and efficient multilevel inverter[J]. Electronics Letters, 2010, 46(9): 646-647.

[3] ESFANDIARI E, MARIUN N B. Experimental results of 47-level switch-ladder multilevel inverter[J]. IEEE Trans on Industrial Electronics, 2013, 60(11): 4960-4967.

[4] LIANG Y, NWANKPA C O. A new type of STATCOM based on cascading voltage-source inverters with phase-shifted unipolar SPWM[J]. IEEE Trans on Industry Applications, 1999, 35(5): 1118-1123.

[5] 費(fèi)萬民, 都小利, 居榮, 等. 基于等面積法的多電平逆變器SPWM方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2010, 25(3): 89-96.

FEI Wan-min, DU Xiao-li, JU Rong, et al. A novel PWM method for multilevel inverters[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2010, 25(3): 89-96.

[6] 陸志國, 趙麗麗, 吳春軍, 等. 一種新型的三相橋級聯(lián)型PWM變換器[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2012, 40(24): 131-137.

LU Zhi-guo, ZHAO Li-li, WU Chun-jun, et al. A novel three-phase-bridge cascaded PWM converter[J]. Power System Protection and Control, 2012, 40(24): 131-137.

[7] 費(fèi)萬民, 呂征宇, 姚文熙. 多電平逆變器特定諧波消除脈寬調(diào)制方法的仿真研究[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報, 2004, 24(1): 102-106.

FEI Wan-min, Lü Zheng-yu, YAO Wen-xi. Research of selected harmonic elimination PWM technique applicable to multi-level voltage inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2004, 24(1): 102-106.

[8] 費(fèi)萬民, 阮新波, 張艷麗, 等. 多電平逆變器特定諧波消除脈寬調(diào)制方法的初值問題研究[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報, 2007, 27(13): 87-92.

FEI Wan-min, RUAN Xin-bo, ZHANG Yan-li, et al. Research on the initial values of SHEPWM method for multi-level voltage inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2007, 27(13): 87-92.

[9] 許愛國, 謝少軍. 階梯波合成逆變器的波形調(diào)制技術(shù)研究[J]. 中國電機(jī)工程學(xué)報, 2009, 29(21): 34-39.

XU Ai-guo, XIE Shao-jun. Research on waveform modulatioin technique for staircase inverters[J]. Proceedings of the CSEE, 2009, 29(21): 34-39.

[10] 姚志壘, 肖嵐. 基于改進(jìn)DPC-SVM的三相并網(wǎng)逆變器[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2013, 41(4): 141-147.

YAO Zhi-lei, XIAO Lan. Three-phase grid-connected inverters with improved DPC-SVM[J]. Power System Protection and Control, 2013, 41(4): 141-147.

[11] 常偉, 史麗萍, 王思捷, 等. 空間矢量調(diào)制技術(shù)在6 kV級聯(lián)靜止同步補(bǔ)償器中的應(yīng)用[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2012, 40(12): 95-99, 140.

CHANG Wei, SHI Li-ping, WANG Si-jie, et al. Application of space vector modulation in 6kV cascade STATCOM[J]. Power System Protection and Control, 2012, 40(12): 95-99, 140.

[12] 王兆宇, 艾芊. 三電平逆變器空間矢量調(diào)制及中點(diǎn)電壓控制[J]. 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制, 2011, 39(20): 131-136.

WANG Zhao-yu, AI Qian. Space vector modulation for three-level inverter and neutral point potential control[J]. Power System Protection and Control, 2011, 39(20): 131-136.

[13] 倪喜軍, 趙劍鋒, 曹武, 等. 開關(guān)損耗優(yōu)化的級聯(lián)型逆變器全區(qū)域空間矢量調(diào)制策略[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2012, 27(4): 101-109.

NI Xi-jun, ZHAO Jian-feng, CAO Wu, et al. Switching loss optimized SVPWM algorithm for cascade multilevel inverters in all region[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2012, 27(4): 101-109.

[14] 王翠. n級逆變器SVPWM調(diào)制零序電壓優(yōu)化算法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2013, 28(6): 158-164.

WANG Cui. An optimal algorithm on zero order voltage of space vector PWM modulation for n-cell inverters[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2013, 28(6): 158-164.

[15] 周明磊, 游小杰, 王琛琛, 等. 特定次諧波消除調(diào)制方式的諧波特性分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2013, 28(9): 11-20.

ZHOU Ming-lei, YOU Xiao-jie, WANG Chen-chen, et al. Harmonic analysis of selected harmonic elimination pulse width modulation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2013, 28(9): 11-20.

[16] TOLBERT L M, PENG F Z, HABETLER T G. Multilevel converters for large electric drives[J]. IEEE Trans on Industry Applications,1999,35(1): 36-44.

[17] SIRISUKPRASERT S, LAI J, LIU T. Optimum harmonic reduction with a wide range of modulation indexes for multilevel converters[J]. IEEE Trans on Industrial Electronics, 2002, 49(4): 875-881.

[18] FILHO F, TOLBERT L M, YUE C, et al. Real-time selective harmonic minimization for multilevel inverters connected to solar panels using artificial neural network angle generation[J]. IEEE Trans on Industry Applications, 2011, 47(5): 2117-2124.

[19] JIN W, AHAMADI D. A precise and practical harmonic elimination method for multilevel inverters[J]. IEEE Trans on Industry Applications, 2010, 46(2): 857-865.

[20] OZPINECI B, TOLBERT L M, CHIASSON J N. Harmonic optimization of multilevel converters using genetic algorithm[J]. IEEE Power Electron Lett, 2005, 3(3): 92-95.

[21] CHIASSON J N, TOLBERT L M, MCKENZIE K J, et al. A unified approach to solving the harmonic elimination equations in multilevel converters[J]. IEEE Trans on Power Electronics, 2004, 19(2): 478-490.

[22] KANG DW, KIM HC, KIM TJ, et al. A simple method for acquiring the conducting angle in a multilevel cascaded inverter using step pulse waves[J]. IEE ProcElectric Power Applications, 2005, 152(1): 103-111.

[23] 陳元娣, 夏敏學(xué), 朱忠尼. 基于階梯波與瞬時值反饋混合控制的光伏并網(wǎng)級聯(lián)逆變器[J]. 電力系統(tǒng)自動化, 2012, 36(14): 172-176, 185.

CHEN Yuan-di, XIA Min-xue, ZHU Zhong-ni. Photovoltaic grid-connected cascaded inverter based on stepped waveforms and instantaneous value feedback hybrid control[J]. Automation of Electric Power Systems, 2012, 36(14): 172-176, 185.

[24] 陳元娣, 劉滌塵, 宋慶國, 等. 階梯波調(diào)制級聯(lián)逆變器觸發(fā)角的一種簡便算法[J]. 電工電能新技術(shù), 2010, 29(1): 35-40.

CHEN Yuan-di, LIU Di-chen, SONG Qing-guo, et al. A simple algorithm of trigger angle for step wave modulated cascade inverters[J]. Advanced Technology of Electrical Engineering and Energy, 2010, 29(1): 35-40.

[25] HUANG F. Near optimal approach in the design and implementation of multilevel voltage source inverters[J]. IEE Proceedings Electric Power Applications, 1999, 146(6): 661-666.

[26] DIONG B, SEPAHVAND H, CORZINE K A. Harmonic distortion optimization of cascaded H-bridge inverters considering device voltage drops and noninteger DC voltage ratios[J]. IEEE Trans on Industrial Electronics, 2013, 60(8): 3106-3114.

[27] HAGH M T, TAGHIZADEH H, RAZI K. Harmonic minimization in multilevel inverters using modified species-based particle swarm optimization[J]. IEEE Trans on Power Electronics, 2009, 24(10): 2259-2267.

[28] LIU Y, HONG H, HUANG A Q. Real-time calculation of switching angles minimizing THD for multilevel inverters with step modulation[J]. IEEE Trans on Industrial Electronics, 2009, 56(2): 285-293.

[29] LIU Y, HONG H, HUANG A Q. Real-time algorithm for minimizing THD in multilevel inverters with unequal or varying voltage steps under staircase modulation[J]. IEEE Trans on Industrial Electronics, 2009, 56(6): 2249-2258.

Staircase modulation strategy with minimum total harmonic distortion for cascaded multilevel inverters

LI Su-fei, LI Guo-jie, ZHAI Deng-hui, WANG Wei-xing

(1. Key Laboratory of Control of Power Transmission and Conversion, Ministry of Education (Department of Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University), Shanghai 200240, China; 2. XJ Electric Co., Ltd., Xuchang 461000, China)

In order to decrease the output-voltage harmonic components of cascaded multilevel inverter, this paper proposes a novel staircase modulation strategy based on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions. With KKT conditions and rigorous mathematical derivation, this paper acquires the corresponding calculation method of conducting angles, and the proposed staircase modulation strategy can minimize the total harmonic distortion (THD) under arbitrary modulation index. Furthermore, this paper takes advantage of Newton-Raphson iteration method to obtain the key parameter in the aforementioned conducting angle calculation method. To overcome the deficiency of slow calculation speed of Newton-Raphson iteration method, this paper proposes the power function approximation approach to simplify calculation complexity. Finally, this paper undertakes simulation analysis and obtains the output voltage waveforms and their frequency-domain distributions under both fixed and varying modulation indices. Simulation results verify the effectiveness of the modulation strategy. This work is supported by National Natural Science Foundation of China (No. 51477098), National High Technology Research and Development Program of China (863 Program) (No. 2012AA050212), and International S&T Cooperation Program of China (No. 2013DFG71630).

cascaded multilevel inverter; THD; staircase modulation; KKT conditions; function approximation

TM464

A

1674-3415(2014)19-0008-10

2013-12-23；

2014-04-09

李素非(1988-)，男，碩士，研究方向為局部放電在線監(jiān)測、電力電子技術(shù)等；E-mail: lsf5072@126.com

李國杰(1965-)，男，通信作者，博士，教授，主要研究方向為新能源控制與接入、微電網(wǎng)分析與控制。E-mail: liguojie@sjtu.edu.cn

翟登輝(1984-)，男，碩士，工程師，研究方向為微電網(wǎng)系統(tǒng)及電力電子設(shè)備研發(fā)。

國家自然科學(xué)基金(51477098)；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃863計劃(2012AA050212)；國家國際科技合作專項項目(2013DFG71630)