基于三元數(shù)的復平面J集構(gòu)造研究

闞淋琳 ，王化雨

（1.山東師范大學 信息科學與工程學院，山東 濟南 250014；2.山東省分布式計算機軟件新技術(shù)重點實驗室，山東 濟南 250014）

自1980年首次被計算機繪出來之后，J集[1]以其獨特精妙的復雜結(jié)構(gòu)引起了科學工作者廣泛深入的研究。目前二維J集畫法和性質(zhì)的研究[2]都是基于二元數(shù)（復數(shù)），三維J集分形圖都是基于三元數(shù)、四元數(shù)等超復數(shù)。本文在傳統(tǒng)三元數(shù)定義的基礎上，對三元數(shù)虛軸單元的運算關系進行了探究，基于不同運算關系的虛軸單元的三元數(shù)來構(gòu)造二維J集。用三元數(shù)構(gòu)造二維J集時，由于比二元數(shù)多了一個自由的數(shù)值，用它來對圖形進行色彩、形狀等某方面的控制，得到的圖形就會比二元數(shù)構(gòu)造的J集分形圖攜帶更多的信息，呈現(xiàn)出更多的特色。

傳統(tǒng)J集繪制在色彩方案的選擇上只能借助于外在的參數(shù)，比如利用逃逸時間算法[3]中涉及的逃逸半徑、逃逸迭代次數(shù)，或依據(jù)以上兩種因素引入色彩控制球[4]或調(diào)色板[5]等技術(shù)。本文利用第3個虛軸單元的系數(shù)來達到控制顏色的目的，與以往的渲染方案相比，得到的部分彩色圖像甚至有了偽3D的效果。

1 三元數(shù)

1.1 三元數(shù)定義

一般意義下，復數(shù) Zn形如 x+yi，也就是具有 1個虛部和1個實部的復數(shù)，或者說是具有1個虛數(shù)單位的復數(shù)。但事實上，復數(shù)也可有多個虛數(shù)單位。

所謂超復數(shù)[6]是對復數(shù)系的虛部進行各種擴展而得到的，它的基本形式是虛部的個數(shù)大于1，可定義為：

其中，n=1，2，…；a 和 an是實數(shù)；in是虛數(shù)單位。

可以看出，超復數(shù)有1個實部、多個虛部。在研究、表達時，常根據(jù)超復數(shù)是由幾部分組成的而稱其為“某元數(shù)”。

超復數(shù)的基本形式為z=a0+a1i1+a2i2+…+anin，若要得到2-D（i，j）截面，映射的方法為第 i個虛軸單元的實數(shù)部ai對應直角坐標系的x軸，第j個虛軸單元的實數(shù)部aj對應直角坐標系的 y軸。 若要得到 3-D（i，j，k）截面，只需在 2-D（i，j）截面坐標關系對應的基礎上，讓第 k個虛軸單元的實數(shù)部ak對應直角坐標系的z軸。這樣，所謂三元數(shù)就是具有1個實部和2個虛部的超復數(shù)，如此，三元數(shù)的形式為 T=a+bi+cj，其中 a、b、c 為實數(shù)，i、j為虛數(shù)單位。三元數(shù)的映射方法為：a對應空間坐標系中的x軸，b對應坐標系中的y軸，c對應坐標系中的z軸。

1.2 自定義三元數(shù)

區(qū)別于三元數(shù)定義，本文將三元數(shù)定義為T=ai+bj+ck，其中 a、b、c 為實數(shù)，i、j、k 為 3 個虛數(shù)單位。 三元數(shù)T=a+bi+cj即為當i2=1時的特殊情況。當3個虛軸單元有不同的定義時，可得到不同性質(zhì)的三元數(shù)。

（1）一般三元數(shù)：i2=i，j2=k，k2=-j，i×j=j×i=j，i×k=k×i=k，j×k=k×j=-i。 根據(jù)這種運算關系，三元數(shù) T1和 T2分別相加、相減、相乘可得：

此類運算關系是根據(jù)超復數(shù)[7]定義，對 n個虛軸單元的關系由一般到特殊轉(zhuǎn)化為三元數(shù)而得來的。此類三元數(shù)具有以下性質(zhì)：

①加法滿足交換律和結(jié)合律。

近年來顱腦MR用于診斷FES。通?；颊呱窠?jīng)系統(tǒng)癥狀出現(xiàn)4 h后T2WI顯示異常信號改變。彌散加權(quán)MRI圖像顯示：出現(xiàn)特征性“星－場”模式的，同時出現(xiàn)細胞毒性水腫（急性期：1～4 d）。在腦室周圍白質(zhì)和皮質(zhì)下區(qū)域的雙邊白質(zhì)異常（亞急性期：5～14 d）。多發(fā)性點狀損害,提示有脂肪小球阻塞毛細血管［7］。但臨床上獲得的顱腦MRI一般為亞急性期，急性期因患者意識障礙、煩躁或生命體征不穩(wěn)定，無法完成MRI檢查。

②乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律。

（2）復數(shù)化三元數(shù)：j2=k2=-1，i=1，i×j=j×i=j，i×k=k×i=k，j×k=k，k×j=-k。根據(jù)這種運算關系，三元數(shù) T1和 T2分別相加、相減、相乘可得：

此類運算關系是根據(jù)哈密頓四元數(shù)中各個虛軸單元之間的運算關系得來的。此類三元數(shù)的重要性質(zhì)不滿足乘法交換律。例如方程x2+1=0，把三元數(shù)帶進去之后變?yōu)椋╝i+bj+ck）2+1=0，滿足此關系式的解有無數(shù)個，該方程就有無數(shù)個根，因此此類三元數(shù)具有解的不定特征。

（3）超三元數(shù)：i2=j2=-1，k2=1，i×j=j×i=k，i×k=k×i=-j，j×k=k×j=-i。 根據(jù)這種運算關系，三元數(shù) T1和 T2分別相加、相減、相乘可得：

此種運算關系是根據(jù)可交換超復數(shù)中各個虛軸單元之間的運算關系得來的。由上可得，此類三元數(shù)與一般三元數(shù)具有相同的性質(zhì)，不同的是，超三元數(shù)經(jīng)過乘法運算后得到的是一個四元數(shù)。

2 色彩方案

J集最典型的著色技術(shù)[8]是基于逃逸時間算法的，一種是根據(jù)迭代次數(shù)k進行著色，另一種是根據(jù)“距離”r進行著色。本文采用的著色技術(shù)亦是基于逃逸時間算法，但是利用了三元數(shù)的特殊性。

根據(jù)三元數(shù)的定義T=ai+bj+ck，映射方法為a對應直角坐標系中的 x軸，b對應坐標系中的y軸，c即可用來控制顏色。a、b的值可由繪制區(qū)域的設定而得到。c的初始取值可以由用戶自行設定，設定分為兩個方面：一是取值不存在任何幾何意義，可自由設定任意實數(shù)值；二是根據(jù)點的坐標來設定，如可以設定為迭代點到原點的距離、迭代點的橫坐標和迭代點的縱坐標等，不同的設定即可得到不同的分形圖。

3 J集生成過程

J集是具有無線細分的自相似層次結(jié)構(gòu)的圖形，但是計算機卻是基于離散像素顯示的，因此只能在一定范圍內(nèi)近似表示。J集的生成過程如下。

（1）復動力系統(tǒng) zn+1=zn2+c（n=0，1，2，…），c 的取值非常靈活，可以是實數(shù)、復數(shù)或三元數(shù)，這里因研究需要，將c設定為復數(shù)。

（2）劃定三元數(shù)初始值范圍空間，把第一、二維虛軸單元的系數(shù)分別對應 x、y軸，它們的取值范圍是?xmin，xmax」、?ymin，ymax」，并設定相應區(qū)間的步長間隔為 △x、△y。

（3）令 Nx=（xmax-xmin）/△x，Ny=（ymax-ymin）/△y，在整個迭代區(qū)間建立網(wǎng)格，每個子網(wǎng)格大小為 △x×△y，因此，整體子網(wǎng)格數(shù)為 Nx×Ny，而三元數(shù)J集的計算最終歸結(jié)為計算網(wǎng)格點是否屬于J集。

（4）設置最大迭代次數(shù)M以及逃逸半徑R。

（5）令 x0=xmin+nx×△x，y0=ymin+ny×△y。

（6）針對不同虛軸單元的運算關系，迭代過程計算也不同，由（xt，yt）算出（xt+1，yt+1），計數(shù) t=t+1。

①xt+1=x2-2×y×z，yt+1=2×x×y-z×z，zt+1=2×x×z+y×y。

②xt+1=x2-y2-z2，yt+1=2×x×y，zt+1=2×y×z。

③實數(shù)部分為-x2-y2+z2，xt+1=-2×y×z，yt+1=-2×x×z，zt+1=2×x×y。

（7）計算 r=x2+y2：

①如果 r＞R，則選擇顏色 t，轉(zhuǎn)至步驟（8）。

②如果 r=R，則選擇顏色 0（黑色），轉(zhuǎn)至步驟（8）。

③如果 r≤R且 t＜M 則轉(zhuǎn)至步驟（6）。

（8）對點 nx、ny著顏色 t并轉(zhuǎn)至下一點，再轉(zhuǎn)回步驟（5）。

4 實驗驗證

圖1 一般化三元數(shù)z0=x0

圖2 復數(shù)化三元數(shù)z0=x0

本文通過復動力系統(tǒng) zn+1=zn2+c（n=0，1，2，…）中 z的取值從實數(shù)到三元數(shù)的改變，繪制出復平面J集。并對不同種類的三元數(shù)性質(zhì)進行分析，利用逃逸時間算法，結(jié)合三元數(shù)中第3個虛軸單元最后迭代結(jié)果來控制顏色。實驗結(jié)果表明，本文提出的基于三元數(shù)繪制J集的方法可行。但是，本文的計算過程中各個參數(shù)的取值及J集是提前設定的，具有一定的局限性，在用戶交互自由選擇方面仍需進一步地研究。

[1]文志英，井竹君.分形幾何和分維數(shù)簡介[J].數(shù)學的實踐與認識，1995（4）：20-34.

[2]BARNSLEY M F.Fractals everywhere[M].New York：Academic Press，1988.

[3]FALCONER K.分形幾何——數(shù)學基礎及其應用[M].曾文曲，等，譯.沈陽：東北大學出版社，1994.

[4]CARLSON P W.Two artistic orbit trap rendering methods for Newton M-Set fractals[J].Computer&Graphics， 1999，23：925-931.

[5]葉瑞松.Newton迭代及其生成的3D分形圖像[J].計算機工程，2001：27（10）：144-145.

[6]KANTOR IL， SSOLODOVNIKOV S.Hypercomplex number：an elementaryintroduction to Algebras[M].New York： SpringerVerlag， 1989.

[7]屈鵬展.n元數(shù)及其性質(zhì)[J].寶雞師范學院學報（自然科學版）.1993（1）：107-123.

[8]張敏，王化雨.廣義M_J集自動配色方案的研究與應用[J].計算機技術(shù)與發(fā)展，2010：20（3）：59-62.