概率方法用于不等式證明中的應(yīng)用

阿不拉江·吾買爾

【摘 要】本文通過運用概率方法對數(shù)學(xué)不等式的證明，得出了概率方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時能夠更簡潔，更直觀的觀點。

【關(guān)鍵詞】概率；數(shù)學(xué)；不等式證明

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式的證明占據(jù)著非常大的比重。能夠證明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的數(shù)學(xué)運算方法證明，也可以用高等數(shù)學(xué)的方法來證明，有時候還需要采用不同方法綜合運用的方式來證明。本文通過概率方法與一般方法對幾個例題的證明，可以看出，概率在證明某些數(shù)學(xué)不等式時相較于其它方法，更為直接、簡潔，容易讓人明了。

例（1）：求證：

若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的數(shù)，則有（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd.

證法一：因為

（a+b-ab）（c+d-cd）

=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

=ac+bd-abcd+ad（1-c）（1-b）+bc（1-a）（1-d）

≥ac+bd-abcd。

由此可證得結(jié)論（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd

證法二：通過對不等式的觀察，可以看出其中包含概率的一些規(guī)律和運算，因此可以構(gòu)造以下概率事件，假設(shè)x，y，z，w是概率分別為a，b，c，d的相互獨立的事件，那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出：

（x∪y）（z∪w）=xz∪xw∪yz∪yw？勱xz∪yw。

又P（xz∪yw）≤P（（x∪y）（z∪w））.

又因為x，y，z，w是相互獨立的事件，得

P（x∪y）=P（x）+P（y）-P（xy）=a+b-ab.。

同理可證：P（z∪w）=c+d-cd P（xz∪yz）=ac+bd-abcd.

又因為： P（（x∪y）（z∪w））=P（x∪y）P（z∪w）。

得出結(jié)論： ac+bd-abcd≤（a+b-ab）（c+d-cd）。

例（2）：求證： 若x∈[0，■]，則■≤1。

證法一：要證■≤1，即證■cos（x-■）≤1+sinxcosx而■cos（x-■）=■[cosxcos■+sinxsin■）=■[cosx■+sinx■）=sinx+cosx

又因為

1+sinxcosx-（sinx+cosx）=1-cosα+sinα（cosα-1）=（1-cosx）（1-sinx）≥0

所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.（1）

即得■cos（x-■）≤1+sinxcosx。即■≤1。

證法二：由方法一中的（1）可以看出，要想證明結(jié)論成立，只需要證明：

cosx+sinx-sinxcosx≤1。

首選，需要建一個概率模型，假設(shè)事件a，b相互間是獨立的，并且事件a的發(fā)生概率是cosx，事件b的發(fā)生概率是sinx，即

P（a）=cosx，P（b）=sinx。P（a∪b）=P（a）+P（b）-P（ab）。

因為a，b事件相互獨立，可以得出：P（ab）=P（a）P（b）

又因為P（a∪b）≤1，所以P（a）+P（b）-P（ab）=P（a）+P（b）-P（a）P（b）≤1.

即cosx+sinx-sinxcosx≤1

由此可證結(jié)論。

例（3）：d為正數(shù)a，b，c，d中最大的，求證：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a）

證明：設(shè)A，B，C是三個相互獨立的事件，

令P（A）=ad，P（B）=bd，p（C）=cd

顯然0≤P（A）=ad≤1，0≤P（B）=bd≤1，0≤p（C）=cd≤1.

根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性：

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>（a/d-ab/d2）+（bd-bc/d2）+（c/d-ac/d2）

=a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）

又因為：0≤P（A+B+C）≤1，

所以：a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）<1

由此可得出結(jié)論：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a）

從以上例子中可以看出，在論證不等式的過程中不僅可以采用普通運算的方法，通過概率方法的應(yīng)用，能夠使得解體的思路更加的清晰明朗，將抽象的數(shù)學(xué)問題變得更加具體化，更加立體化，更具有創(chuàng)造性，進而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。但是概率方式用于不等式的證明也存在一定的局限性，因為此種證明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教學(xué)過程中，可以有選擇性的將概率思想方法融入到對于不等式的證明之中，進而拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的解題能力。

【參考文獻】

[1]陸曉恒.概率方法在數(shù)學(xué)證明問題中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（3）：43-44.

[2]鄧永錄.應(yīng)用概率及其理論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

（作者單位：喀什地區(qū)體育運動學(xué)校）

【摘 要】本文通過運用概率方法對數(shù)學(xué)不等式的證明，得出了概率方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時能夠更簡潔，更直觀的觀點。

【關(guān)鍵詞】概率；數(shù)學(xué)；不等式證明

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式的證明占據(jù)著非常大的比重。能夠證明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的數(shù)學(xué)運算方法證明，也可以用高等數(shù)學(xué)的方法來證明，有時候還需要采用不同方法綜合運用的方式來證明。本文通過概率方法與一般方法對幾個例題的證明，可以看出，概率在證明某些數(shù)學(xué)不等式時相較于其它方法，更為直接、簡潔，容易讓人明了。

例（1）：求證：

若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的數(shù)，則有（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd.

證法一：因為

（a+b-ab）（c+d-cd）

=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

=ac+bd-abcd+ad（1-c）（1-b）+bc（1-a）（1-d）

≥ac+bd-abcd。

由此可證得結(jié)論（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd

證法二：通過對不等式的觀察，可以看出其中包含概率的一些規(guī)律和運算，因此可以構(gòu)造以下概率事件，假設(shè)x，y，z，w是概率分別為a，b，c，d的相互獨立的事件，那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出：

（x∪y）（z∪w）=xz∪xw∪yz∪yw？勱xz∪yw。

又P（xz∪yw）≤P（（x∪y）（z∪w））.

又因為x，y，z，w是相互獨立的事件，得

P（x∪y）=P（x）+P（y）-P（xy）=a+b-ab.。

同理可證：P（z∪w）=c+d-cd P（xz∪yz）=ac+bd-abcd.

又因為： P（（x∪y）（z∪w））=P（x∪y）P（z∪w）。

得出結(jié)論： ac+bd-abcd≤（a+b-ab）（c+d-cd）。

例（2）：求證： 若x∈[0，■]，則■≤1。

證法一：要證■≤1，即證■cos（x-■）≤1+sinxcosx而■cos（x-■）=■[cosxcos■+sinxsin■）=■[cosx■+sinx■）=sinx+cosx

又因為

1+sinxcosx-（sinx+cosx）=1-cosα+sinα（cosα-1）=（1-cosx）（1-sinx）≥0

所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.（1）

即得■cos（x-■）≤1+sinxcosx。即■≤1。

證法二：由方法一中的（1）可以看出，要想證明結(jié)論成立，只需要證明：

cosx+sinx-sinxcosx≤1。

首選，需要建一個概率模型，假設(shè)事件a，b相互間是獨立的，并且事件a的發(fā)生概率是cosx，事件b的發(fā)生概率是sinx，即

P（a）=cosx，P（b）=sinx。P（a∪b）=P（a）+P（b）-P（ab）。

因為a，b事件相互獨立，可以得出：P（ab）=P（a）P（b）

又因為P（a∪b）≤1，所以P（a）+P（b）-P（ab）=P（a）+P（b）-P（a）P（b）≤1.

即cosx+sinx-sinxcosx≤1

由此可證結(jié)論。

例（3）：d為正數(shù)a，b，c，d中最大的，求證：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a）

證明：設(shè)A，B，C是三個相互獨立的事件，

令P（A）=ad，P（B）=bd，p（C）=cd

顯然0≤P（A）=ad≤1，0≤P（B）=bd≤1，0≤p（C）=cd≤1.

根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性：

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>（a/d-ab/d2）+（bd-bc/d2）+（c/d-ac/d2）

=a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）

又因為：0≤P（A+B+C）≤1，

所以：a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）<1

由此可得出結(jié)論：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a）

從以上例子中可以看出，在論證不等式的過程中不僅可以采用普通運算的方法，通過概率方法的應(yīng)用，能夠使得解體的思路更加的清晰明朗，將抽象的數(shù)學(xué)問題變得更加具體化，更加立體化，更具有創(chuàng)造性，進而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。但是概率方式用于不等式的證明也存在一定的局限性，因為此種證明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教學(xué)過程中，可以有選擇性的將概率思想方法融入到對于不等式的證明之中，進而拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的解題能力。

【參考文獻】

[1]陸曉恒.概率方法在數(shù)學(xué)證明問題中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（3）：43-44.

[2]鄧永錄.應(yīng)用概率及其理論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

（作者單位：喀什地區(qū)體育運動學(xué)校）

【摘 要】本文通過運用概率方法對數(shù)學(xué)不等式的證明，得出了概率方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時能夠更簡潔，更直觀的觀點。

【關(guān)鍵詞】概率；數(shù)學(xué)；不等式證明

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式的證明占據(jù)著非常大的比重。能夠證明不等式的方法有很多，可以用初等的普通的數(shù)學(xué)運算方法證明，也可以用高等數(shù)學(xué)的方法來證明，有時候還需要采用不同方法綜合運用的方式來證明。本文通過概率方法與一般方法對幾個例題的證明，可以看出，概率在證明某些數(shù)學(xué)不等式時相較于其它方法，更為直接、簡潔，容易讓人明了。

例（1）：求證：

若a，b，c，d都是大于等于0小于等于1的數(shù)，則有（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd.

證法一：因為

（a+b-ab）（c+d-cd）

=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

=ac+bd-abcd+ad（1-c）（1-b）+bc（1-a）（1-d）

≥ac+bd-abcd。

由此可證得結(jié)論（a+b-ab）（c+d-cd）≥ac+bd-abcd

證法二：通過對不等式的觀察，可以看出其中包含概率的一些規(guī)律和運算，因此可以構(gòu)造以下概率事件，假設(shè)x，y，z，w是概率分別為a，b，c，d的相互獨立的事件，那么通過概率中事件之間的關(guān)系和運算可以得出：

（x∪y）（z∪w）=xz∪xw∪yz∪yw？勱xz∪yw。

又P（xz∪yw）≤P（（x∪y）（z∪w））.

又因為x，y，z，w是相互獨立的事件，得

P（x∪y）=P（x）+P（y）-P（xy）=a+b-ab.。

同理可證：P（z∪w）=c+d-cd P（xz∪yz）=ac+bd-abcd.

又因為： P（（x∪y）（z∪w））=P（x∪y）P（z∪w）。

得出結(jié)論： ac+bd-abcd≤（a+b-ab）（c+d-cd）。

例（2）：求證： 若x∈[0，■]，則■≤1。

證法一：要證■≤1，即證■cos（x-■）≤1+sinxcosx而■cos（x-■）=■[cosxcos■+sinxsin■）=■[cosx■+sinx■）=sinx+cosx

又因為

1+sinxcosx-（sinx+cosx）=1-cosα+sinα（cosα-1）=（1-cosx）（1-sinx）≥0

所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.（1）

即得■cos（x-■）≤1+sinxcosx。即■≤1。

證法二：由方法一中的（1）可以看出，要想證明結(jié)論成立，只需要證明：

cosx+sinx-sinxcosx≤1。

首選，需要建一個概率模型，假設(shè)事件a，b相互間是獨立的，并且事件a的發(fā)生概率是cosx，事件b的發(fā)生概率是sinx，即

P（a）=cosx，P（b）=sinx。P（a∪b）=P（a）+P（b）-P（ab）。

因為a，b事件相互獨立，可以得出：P（ab）=P（a）P（b）

又因為P（a∪b）≤1，所以P（a）+P（b）-P（ab）=P（a）+P（b）-P（a）P（b）≤1.

即cosx+sinx-sinxcosx≤1

由此可證結(jié)論。

例（3）：d為正數(shù)a，b，c，d中最大的，求證：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a）

證明：設(shè)A，B，C是三個相互獨立的事件，

令P（A）=ad，P（B）=bd，p（C）=cd

顯然0≤P（A）=ad≤1，0≤P（B）=bd≤1，0≤p（C）=cd≤1.

根據(jù)概率加法公式及事件的獨立性：

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>（a/d-ab/d2）+（bd-bc/d2）+（c/d-ac/d2）

=a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）

又因為：0≤P（A+B+C）≤1，

所以：a/d（1-b/d）+b/d（1-c/d）+c/d（1-a/d）<1

由此可得出結(jié)論：a（d-b）+b（d-c）+c（d-a）

從以上例子中可以看出，在論證不等式的過程中不僅可以采用普通運算的方法，通過概率方法的應(yīng)用，能夠使得解體的思路更加的清晰明朗，將抽象的數(shù)學(xué)問題變得更加具體化，更加立體化，更具有創(chuàng)造性，進而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。但是概率方式用于不等式的證明也存在一定的局限性，因為此種證明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教學(xué)過程中，可以有選擇性的將概率思想方法融入到對于不等式的證明之中，進而拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的解題能力。

【參考文獻】

[1]陸曉恒.概率方法在數(shù)學(xué)證明問題中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2003，6（3）：43-44.

[2]鄧永錄.應(yīng)用概率及其理論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

（作者單位：喀什地區(qū)體育運動學(xué)校）