讓數(shù)學(xué)教學(xué)留有痕跡

余文其（浙江省余姚市肖東中學(xué)）

在倡導(dǎo)以人為本、注重自主探索與合作交流的過程教學(xué)的理念指導(dǎo)下，教師工作的最好評(píng)判者是普通學(xué)生而非名人專家.學(xué)生是教師的真正上帝.適合學(xué)生的、讓學(xué)生留下深刻印象的教學(xué)，才是我們不斷追求的方向和目標(biāo).作為一名數(shù)學(xué)教師，要讓數(shù)學(xué)教學(xué)留有痕跡，需要我們具備哪些條件呢？

一、教師要成為感動(dòng)學(xué)生的藝術(shù)家

一位出色的教師懂得教學(xué)不單是傳授知識(shí)，而要有讓知識(shí)變得生動(dòng)活潑的能力，教師除了有科學(xué)敏銳的思維外，還要有感染力、親和力和影響力.

（一）教師要發(fā)自內(nèi)心地把學(xué)生當(dāng)作“上帝”

學(xué)生是教師的工作對(duì)象，雖然他們大都因年幼而非常普通，但每一個(gè)人的發(fā)展?jié)摿Χ己艽螅麄兊那巴緹o量.教師的一言一行，都影響著他們的發(fā)展.教師把學(xué)生當(dāng)作上帝，尊重他們的個(gè)性，將給學(xué)生以充分的自信；教師像對(duì)待自己的子女一樣呵護(hù)學(xué)生的健康成長，將給學(xué)生以愛的情感；同時(shí)教師要放下架子，明確自己不再是權(quán)威，而是指路人與引導(dǎo)者，給學(xué)生以平等的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生真正體會(huì)自己是學(xué)校主人及自身肩負(fù)的讀好書、做好人的重任.

（二）教師要有良好的精神狀態(tài)

既自然放松，又集中注意力，是出色地完成各項(xiàng)工作的關(guān)鍵.一個(gè)人的情緒狀態(tài)，影響著他的工作效率.出色的教師要有情緒的調(diào)控力，能隨時(shí)轉(zhuǎn)變角色，創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍.這對(duì)解決數(shù)學(xué)問題、傳播數(shù)學(xué)思想有較大的作用.數(shù)學(xué)上的解題，不單是一種智能活動(dòng)，決心與情緒也起著很重要的作用；數(shù)學(xué)上的靈感也偏愛有強(qiáng)烈愿望的頭腦.只有擁有積極的工作態(tài)度，才會(huì)有最佳的工作效率.

（三）教師要有極強(qiáng)的數(shù)學(xué)意識(shí)

首先教師要有數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識(shí)與推理能力.在教學(xué)過程中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)語言的簡潔性、數(shù)學(xué)計(jì)算的正確性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，及教學(xué)過程的流暢性，讓學(xué)生從中體會(huì)數(shù)學(xué)的特色.其次要搞清數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈.數(shù)學(xué)教材中每個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的出現(xiàn)，除公理外，其余都應(yīng)通過舊知識(shí)的適當(dāng)推導(dǎo)得出.教師在教學(xué)過程中，只有注重知識(shí)點(diǎn)的生長過程，才會(huì)使數(shù)學(xué)知識(shí)容易被學(xué)生接受.另外，教師要注重核心知識(shí)點(diǎn)的教學(xué).如：懂得了用配方法解一元二次方程后，求根公式、韋達(dá)定理都可在此基礎(chǔ)上適當(dāng)變形得到.即講授一元二次方程解法時(shí)，以配方法為重點(diǎn)，會(huì)使教學(xué)更有效.最后要注重?cái)?shù)學(xué)問題是“特殊與一般的統(tǒng)一”.數(shù)學(xué)問題中，無論是代數(shù)，還是幾何，每個(gè)問題都不僅對(duì)某一特殊情況時(shí)成立，在符合題設(shè)條件的一般情況下，都是成立的.如字母在允許取值范圍內(nèi)取不同值，或動(dòng)點(diǎn)在允許變動(dòng)的曲線上位置變化時(shí)，問題的結(jié)論往往不會(huì)變.為此在教學(xué)中，除了要注重問題解決外，更要注重問題的變式及開放性教學(xué).同時(shí)，對(duì)一些問題還要注重用特殊值（或特殊位置）法，猜想結(jié)論，或說明結(jié)論的正確性.這對(duì)數(shù)學(xué)問題的可行性及解題的針對(duì)性很有幫助.

（四）教師要善于向?qū)W生學(xué)習(xí)

沒有一個(gè)教或?qū)W的方法是唯一正確的.教師除了把學(xué)習(xí)作為終身的需要外，也要善于從學(xué)生中學(xué)習(xí).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一題多解往往集中著不少學(xué)生的智慧.在新課程中，很多開放性的問題，是學(xué)生的答案使問題變得更豐富；如編制應(yīng)用題，學(xué)生能從工程問題、行程問題、商品利潤問題、物資分配問題、銀行利息問題等角度，編出很有人情味的實(shí)際問題.教師只要把學(xué)生的勞動(dòng)成果綜合、分類，就能收到很好的教學(xué)效果.只有相信學(xué)生的能力，利用好學(xué)生的閃光點(diǎn)，才會(huì)使教學(xué)更貼近學(xué)生，適合學(xué)生的認(rèn)知要求，才有受學(xué)生歡迎的新課程教學(xué).

二、教師要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人

（一）教師要培養(yǎng)學(xué)生積極主動(dòng)的思維意識(shí)

首先，會(huì)思考是解決問題的第一步.

好多問題未能解決，都是被扼殺在第一步——缺少思考，沒有方法.“問題與解決問題的方法同時(shí)存在”，解決問題的方法是非思考而不可得.如數(shù)學(xué)測試的壓軸題，常給學(xué)生很大的精神壓力，認(rèn)為這是非一般智力的人能解決的.殊不知，好多壓軸題，你一旦著手做，發(fā)現(xiàn)它的起步還是簡單的，只不過多涉及幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，或多轉(zhuǎn)了幾道彎而已，大部分壓軸題一般人都能解決.

另外，思考過的東西，是屬于自己的，有著極強(qiáng)的生命力.

問題的解決，可通過自己的深思熟慮，也可通過參考別人的經(jīng)驗(yàn).但真正讓你對(duì)問題舉一反三的，只有經(jīng)過自己的思維，唯有如此才能讓知識(shí)長貯于頭腦的倉庫之中.確實(shí)，大腦的充實(shí)，與人身體的成長一樣，都必須通過自身的努力，才會(huì)逐漸壯大.別人無法替代你成長，也無法輸給你智慧.面對(duì)問題能自己解決的人，是不可戰(zhàn)勝的.

在數(shù)學(xué)問題的教學(xué)中，學(xué)生都要經(jīng)過一系列的問題訓(xùn)練，方可掌握相應(yīng)的解決問題的方法.作為教師，要讓學(xué)生清楚：我們的作業(yè)是為了更好地鍛煉我們的思維，并能熟練地掌握解決問題的方法，而不是為練習(xí)而練習(xí).如果你常依賴參考答案，或別人的方法，一方面問題訓(xùn)練沒能達(dá)到預(yù)期的效果，另一方面，你將永遠(yuǎn)落伍.在你參考別人的方法之前，如果你已深思熟慮過，或者已有解題的思路和方法，或者仍在迷茫中，這樣，你會(huì)更好地發(fā)現(xiàn)自己的弱點(diǎn)，從而清楚自己的努力方向.很多成功的學(xué)子，都少不了一本錯(cuò)題錄，錯(cuò)題錄中的問題，只有經(jīng)過深入思考，才不會(huì)重蹈覆轍.

（二）教師要培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)的全過程

教學(xué)過程是引導(dǎo)學(xué)生思維的過程.課堂教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)積極思維的情境，給學(xué)生以百家爭鳴的空間，沿著解決問題的思路，步步深入，環(huán)環(huán)扣緊，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

我們看過的或聽過的東西，很容易變得模糊不清，而那些親身經(jīng)歷過的事情卻常常歷歷在目.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣，學(xué)生只有主動(dòng)參與教學(xué)過程，才會(huì)學(xué)有所獲.

如“用替代物模擬實(shí)驗(yàn)中，拋一枚均勻硬幣，如沒有硬幣，該怎么辦？”除了書中指出的兩張撲克，“黑桃”代表“正面”、“紅桃”代表“反面”外，你還有什么辦法？學(xué)生首先想到：摸兩個(gè)球，一黑一白；拋一張牌看正、反面；轉(zhuǎn)盤（兩種顏色各占二分之一）；抓鬮，兩張紙上寫上正、反等.然后引導(dǎo)學(xué)生從生活中找情境，經(jīng)適當(dāng)提示，學(xué)生也想到了：猜大小石子；猜盒子里有無東西；猜兩根草的長短；抓一把棋子，猜單雙數(shù)；擲骰子看奇偶數(shù)等.學(xué)生的思維被調(diào)動(dòng)起來后，問題的答案便豐富多彩.由此可見，用替代物模擬一個(gè)實(shí)驗(yàn)的方法很多.面對(duì)這么多的方法，你會(huì)選擇哪一種呢？經(jīng)學(xué)生的七嘴八舌，最后統(tǒng)一為：“除了方法簡單外，還要實(shí)驗(yàn)起來快”.接著給學(xué)生指出：下一節(jié)課用計(jì)算器模擬實(shí)驗(yàn)，可以在速度上來一個(gè)飛躍，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)縱深發(fā)展的無限性.這樣，對(duì)擲一顆均勻骰子的摸擬替代物，變得簡易了.接著給學(xué)生介紹民間“爬梯子”的游戲，讓學(xué)生在游戲中增長知識(shí)，這樣既激活了課堂，也做活了數(shù)學(xué).

（三）教師要注重學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐

生活處處有數(shù)學(xué).有這樣一個(gè)問題：“五個(gè)蘋果，平分給六個(gè)人，怎樣分？”已學(xué)過分?jǐn)?shù)的人很快會(huì)想到：每人分到六分之五個(gè)蘋果，但六分之五卻是一個(gè)難操作的問題.而家庭主婦是這樣解決這個(gè)問題的：五個(gè)蘋果分給六個(gè)人每人一個(gè)不夠，就每人半個(gè)，還剩兩個(gè)蘋果，正好三人合用一個(gè)蘋果.這樣每人再分三分之一個(gè)蘋果，使每人都得到兩片蘋果.這樣的難題，經(jīng)過家庭主婦的操作，就變得簡單易行.

可見，對(duì)理論性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，除了嚴(yán)密的推理、分析外，還少不了動(dòng)手實(shí)踐的過程.猶如把燈泡放在盛滿水的容器，用溢出的水的體積，來測燈泡容積一樣，動(dòng)手實(shí)踐使抽象數(shù)學(xué)變得形象生動(dòng).在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，讓學(xué)生使用畫畫、剪剪、拼拼、折折等方法，能使數(shù)學(xué)問題更容易理解，更容易解決.

數(shù)學(xué)的實(shí)踐性，還體現(xiàn)在近似計(jì)算的教學(xué)中.數(shù)學(xué)教學(xué)中除了讓學(xué)生會(huì)精確運(yùn)算外，還要注重近似計(jì)算.它對(duì)生活實(shí)踐同樣有重要的意義.在生活中充滿著近似計(jì)算，如你到超市購物，要估計(jì)所購物有否超出預(yù)計(jì)的費(fèi)用，若光會(huì)數(shù)學(xué)中的精確計(jì)算，將會(huì)使計(jì)算變得很復(fù)雜，而一旦懂得估算法，就方便多了.另外，能利用好近似計(jì)算，還會(huì)使我們獲益不少，如手套生產(chǎn)商，將右手的手套做得比左手稍大一些，這樣的手套使用起來更舒適、更受歡迎，還會(huì)給廠家?guī)碡S厚的利潤.可見，動(dòng)手實(shí)踐做數(shù)學(xué)，除了解決書中的數(shù)學(xué)問題外，更多地要會(huì)解決生活中的數(shù)學(xué)問題.

三、教學(xué)過程必須聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際情況

（一）教學(xué)要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

人類在征服自然的過程中，并不是戰(zhàn)勝了自然，而是順應(yīng)了自然.凡是按規(guī)律辦事都是科學(xué)的.教學(xué)過程中，除了按數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)外，還要順從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.教師不能把灌輸知識(shí)作為法寶，要給學(xué)生思考問題的時(shí)間，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，討論和研究問題并加以解決.學(xué)生即使一時(shí)不能解決問題，也能從中得到很多教益.

如在“正方形”的教學(xué)中，可以通過循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn)的教學(xué)方法，讓學(xué)生留下深刻的印象.首先從“怎樣在一張矩形紙上得到一個(gè)正方形及怎樣將菱形變成正方形？”入手，得到正方形的性質(zhì)及識(shí)別方法，然后提出“買方巾”的問題：有人去買方巾，覺得不夠方，營業(yè)員就拿起來示范，先沿一條對(duì)角線翻折，兩面重合展開后，再沿另一條對(duì)角線翻折，也重合，顧客就買了，你認(rèn)為它是正方形嗎？先讓學(xué)生明確：這樣操作說明這方巾滿足什么條件？學(xué)生結(jié)合自己模擬操作，得出這方巾的四條邊相等，只能說明這是菱形.然后要求學(xué)生增加適當(dāng)?shù)牟僮鳎f明方巾是正方形.再深化應(yīng)用：“怎樣很快地在一張紙上剪出正方形？”除了在矩形紙片上，通過一組鄰邊也相等的矩形剪出正方形外，利用對(duì)角線互相垂直平分且相等的特點(diǎn)也可以剪出正方形.再結(jié)合五角星的剪法，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)正多邊形的認(rèn)識(shí).學(xué)生通過實(shí)際操作，一方面深化了知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也可把該問題與剪一般的正多邊形聯(lián)系，使抽象的正方形既活靈活現(xiàn)又承上啟下.這樣的教學(xué)總能給學(xué)生帶來深刻的印象.

（二）教學(xué)中要引進(jìn)科學(xué)思維中的“問題解決”

數(shù)學(xué)問題要能順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知能力.每個(gè)問題的提出、展開，都要讓學(xué)生意識(shí)到它的必要性與接受性.在數(shù)學(xué)問題中，只要追根溯源，就會(huì)發(fā)現(xiàn)新問題是舊問題的新組合，沒有新的成分，只有新的組合.所有數(shù)學(xué)問題的解決，都可用“化歸”的思想，讓新問題轉(zhuǎn)化為舊問題.如數(shù)學(xué)中所有的算術(shù)表達(dá)式，都以10個(gè)數(shù)字為基礎(chǔ).從小學(xué)中的四則運(yùn)算，到代數(shù)式的化簡，它的基本算理不變.所有的幾何圖形，都由點(diǎn)、線、面構(gòu)成，復(fù)雜圖形問題都能轉(zhuǎn)化為三角形等基本圖形來解決.可見，有了科學(xué)思維中的“問題解決”，無論對(duì)于解決新問題或發(fā)現(xiàn)新問題，都具有重要意義.

新教材匯集了老教材的許多精華，許多設(shè)計(jì)的問題都能從平淡中見新奇，如浙江版的“兩點(diǎn)確定一條直線”這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，教材編排了這樣一個(gè)例題：“1.過一點(diǎn)畫直線；2.過二點(diǎn)畫直線；3.墻上一根木條（結(jié)合圖形） 被一枚釘子釘住，木條位置確定嗎？怎樣將木條確定？”通過學(xué)生積極思維與動(dòng)手操作，容易得出三個(gè)問題的答案：過一個(gè)點(diǎn)有無數(shù)條直線，過兩點(diǎn)只有一條直線.第三個(gè)問題實(shí)質(zhì)是前面問題的實(shí)際建模：用一枚釘子固定的木條，在墻上可任意轉(zhuǎn)動(dòng)（即過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條），確定木條（由過兩點(diǎn)的直線可畫一條）只要再加一枚釘子，即“兩點(diǎn)確定一條直線.”這樣的設(shè)計(jì)將老教材中的難點(diǎn)變得形象生動(dòng).

（三）教學(xué)中要注重學(xué)生的個(gè)性化思維

最好的教學(xué)能適合所有智力品質(zhì)及所有學(xué)習(xí)類型的學(xué)生.為此，教師要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，了解他們的學(xué)習(xí)水平.一方面發(fā)揮好尖子生的榜樣及火車頭的作用，使每堂課中，讓每個(gè)學(xué)生都能“跳一跳，摘到桃子”；同時(shí)也要把握好知識(shí)點(diǎn)的深度，對(duì)不同的學(xué)生有不同的要求，并培養(yǎng)出超過教師本人的好學(xué)生為榮.這在課題學(xué)習(xí)中，尤為突出.

如在“高度的測量”的課題學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生解決測量教學(xué)樓的高度的問題.結(jié)合所學(xué)的三角函數(shù)、相似等知識(shí)，學(xué)生思考出了很多方案.如：利用測角儀或三角板的特殊角，通過測仰角及觀察點(diǎn)到建筑物的距離，根據(jù)解直角三角形的思路解決；利用同一時(shí)刻物體的影長與該物體高度的比是定值，測出建筑物的影長，及已知長度竹竿的影長來解決；利用光的反射定理，在人與建筑物間放一面鏡子，使人看到鏡子中的建筑物頂，再利用相似三角形的性質(zhì)解決；有的想到通過一層的樓梯級(jí)數(shù)，及每級(jí)高度測出一層樓高，再結(jié)合層數(shù)求得總高度；還有的通過站在建筑物上方，利用測俯角或利用自由落體的方法解決等等.在具體測量時(shí)，有的同學(xué)直接利用自己腳的碼數(shù)及自己的身高，不通過任何工具得到了解決，真是八仙過海，各顯神通.

（四）教學(xué)中要注重學(xué)生思維的創(chuàng)新

教師是引導(dǎo)者，是領(lǐng)路人，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用不斷更新的知識(shí)來解決數(shù)學(xué)問題.華師大版教材常用“老題新做”的思想意識(shí)，讓學(xué)生在重溫舊題中應(yīng)用新知.如：“用給定長度的籬笆，圍成一個(gè)矩形區(qū)域，小明認(rèn)為圍成一個(gè)正方形區(qū)域面積最大，而小亮認(rèn)為不一定.你認(rèn)為如何？”在學(xué)了正方形的性質(zhì)后，學(xué)生通過操作、計(jì)算、比較，得出正方形的面積大，應(yīng)該是小明說得對(duì)；但在學(xué)了平方差公式后，又提出了該問題.此時(shí)，學(xué)生可設(shè)一定周長為4a，如果圍成正方形，那么其邊長為a，面積為a2，如果圍成一般矩形，設(shè)長為（a+b）（b≠0），則寬必為（a－b），而其面積為（a+b）（a－b）=a2－b2.因此圍成一般的矩形比圍成正方形的面積要小.這樣一個(gè)典型的生活問題，通過直接解答及抽象成代數(shù)問題用巧妙的方法解決，使學(xué)生對(duì)抽象的代數(shù)也有了形象的概念，讓“數(shù)形結(jié)合”的思想更生動(dòng)活潑.這比單純用常規(guī)的“二次函數(shù)求最值法”更有深遠(yuǎn)的意義.新教材注重用新知識(shí)解決舊問題的思想意識(shí)，既激勵(lì)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決不只停留在能否解決上，而是要學(xué)生會(huì)用不斷更新的方法來解決數(shù)學(xué)問題.

（五）教學(xué)中積極的評(píng)價(jià)是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的催化劑

一個(gè)孩子生活在鼓勵(lì)、表揚(yáng)和認(rèn)可中，他就學(xué)會(huì)了自信、感激和自愛.人類本性中最深的企圖之一是期望被贊美、欽佩、尊重.贊美使人溫馨和感激，能讓人產(chǎn)生一種向上的力量，學(xué)生需要這種善意與美好的表達(dá).教師的一句贊美、一番表揚(yáng)，可惠及學(xué)生的一生.

教書不是一份簡單的工作，她應(yīng)有感情，有生命，這需要用科學(xué)和藝術(shù)來表達(dá).教師只有不斷學(xué)習(xí)，不斷創(chuàng)新，把工作做活，做得有思想、有靈氣，才會(huì)使精彩而有生命力的數(shù)學(xué)教學(xué)在學(xué)生中留下深刻的思維痕跡.