淺談常微分方程的課堂教學(xué)建設(shè)

岳宗敏

常微分方程是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，內(nèi)容包括：微分方程建模、初等積分法、線性系統(tǒng)、常系數(shù)線性系統(tǒng)、若干振動(dòng)問題、一般理論、定性理論初步。自微積分創(chuàng)立以來，人們就開始研究微分方程。從最初的初等求解技巧到今天日益發(fā)達(dá)的數(shù)值模擬技術(shù)，從早期對(duì)方向場(chǎng)的理解到今天關(guān)于微分方程定性理論、分岔理論的成熟知識(shí)體系，三百多年的歷史使這門數(shù)學(xué)分支不僅成為了數(shù)學(xué)學(xué)科中隊(duì)伍最大、綜合性最強(qiáng)的領(lǐng)域之一，而且成為數(shù)學(xué)以外學(xué)科最為關(guān)注的領(lǐng)域之一。也正是因?yàn)榭萍及l(fā)展對(duì)于微分方程的要求越來越強(qiáng)烈，所以各個(gè)學(xué)校都在結(jié)合自身的特點(diǎn)，開展一些教學(xué)上的改革，在課堂上展開多種形式的教學(xué)，力圖使學(xué)生能夠深刻理解微分方程所要傳達(dá)的信息。

常微分方程課堂教學(xué)建設(shè)的主要內(nèi)容

數(shù)學(xué)類各專業(yè)培養(yǎng)具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維能力，受到數(shù)學(xué)建模、計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件方面的基本訓(xùn)練，在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用方面受到良好的教育，具有較高的科學(xué)素養(yǎng)和較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)，具備科學(xué)研究、解決實(shí)際問題及軟件開發(fā)等方面的基本能力和較強(qiáng)的更新知識(shí)能力的綜合人才。常微分方程課程是繼數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)之后的一門重要基礎(chǔ)課程，為學(xué)習(xí)泛函分析、偏微分方程等后繼課程提供強(qiáng)有力支撐，也是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門課程，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)、力學(xué)等專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)中具有不可替代的重要作用。綜合考慮該課程的特點(diǎn)，以及與其他相關(guān)課程的銜接問題，明確課程定位，確立本課程的具體目標(biāo)為：（1）強(qiáng)化理論基礎(chǔ)，服務(wù)后續(xù)課程；（2）強(qiáng)化建模思想和方法，鼓勵(lì)學(xué)生思考，提高動(dòng)手能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。為此，加強(qiáng)課堂建設(shè)，需要從以下幾方面入手：

1.把課堂知識(shí)模塊化，突出重點(diǎn)加強(qiáng)難點(diǎn)

知識(shí)模塊分為概念篇、計(jì)算篇、理論篇、應(yīng)用篇，其中概念篇主要包含微分方程基本概念定義等；計(jì)算篇主要包含微分方程初等積分法，高階微分方程解法，微分方程組的解法等；理論篇主要包含解的存在唯一性，解的定性理論等；應(yīng)用篇包含常微分方程模型介紹，使用數(shù)學(xué)軟件Matlab、Mathematic以及Maple求解有關(guān)的常微分方程。學(xué)時(shí)上安排為：概念篇2課時(shí)，計(jì)算篇35課時(shí)，理論篇8課時(shí)，應(yīng)用篇8課時(shí)，習(xí)題及討論課3課時(shí)。

重點(diǎn)為一階微分方程解的存在唯一性定理證明，各類一階微分方程的求解，線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，高階線性齊次和非齊次方程的求解，常系數(shù)齊次線性微分方程組基解矩陣的概念及求法。難點(diǎn)為一階微分方程解的存在唯一性定理證明，多重特征根情形下線性微分方程組的基本解組的求法，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行建模與分析。

重點(diǎn)內(nèi)容的解決主要通過習(xí)題課、討論、答疑等多種方法，理論性強(qiáng)的內(nèi)容通過了解學(xué)生基礎(chǔ)，采取啟發(fā)、精講、補(bǔ)充相關(guān)知識(shí)等多種方法相結(jié)合，循序漸進(jìn)。難點(diǎn)內(nèi)容分別采取以下方法解決：（1）對(duì)解的存在唯一性定理的證明：通過代數(shù)方程和具體的一階微分方程作為引例，給出證明思路，然后將它分解成相對(duì)獨(dú)立的四個(gè)子命題來證明；（2）對(duì)多重特征根情形下線性微分方程組的基本解組的求法：詳細(xì)講解相關(guān)理論，總結(jié)推導(dǎo)結(jié)果，再通過一些典型的例子說明基本解組的具體求法；（3）實(shí)際問題進(jìn)行建模與分析：通過分析實(shí)際問題的背景，補(bǔ)充相關(guān)理論知識(shí)，建立相關(guān)的微分方程模型。

通過以上的方式，既保障了基本教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)通過把教學(xué)的內(nèi)容作了新的梳理，余出一定的時(shí)間給學(xué)生去思考與討論，訓(xùn)練學(xué)生分析問題解決問題的能力。

2.采取靈活的教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)質(zhì)量

為了充分發(fā)揮教師在教學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)作用和學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體地位，改變過去單純重視知識(shí)傳授和模仿繼承前人知識(shí)的教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)相結(jié)合、模仿繼承與創(chuàng)新發(fā)展相結(jié)合的教學(xué)模式，我們對(duì)教學(xué)法進(jìn)行了改革，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

例如我們將教學(xué)分為三個(gè)階段[1]：第一階段，以經(jīng)典的微分方程模型為導(dǎo)入點(diǎn),進(jìn)而引入相關(guān)的微分方程理論知識(shí),課堂“講、練、問、答”四位一體，以板書與多媒體相結(jié)合的方式，使學(xué)生掌握基本理論和方法；第二階段，轉(zhuǎn)被動(dòng)為主動(dòng)，以學(xué)生自學(xué)為主，教師為輔。選取適當(dāng)?shù)膬?nèi)容讓學(xué)生來講解，教師合理引導(dǎo)；第三階段，深層討論與拓展，把對(duì)微分方程興趣濃厚的學(xué)生組成討論班，討論班在每次章節(jié)結(jié)束的時(shí)候會(huì)給全班同學(xué)帶來本章節(jié)內(nèi)容在實(shí)際中應(yīng)用的有關(guān)報(bào)告以及多媒體的演示（獨(dú)立報(bào)告三十分鐘）。

其次可以在教師講解的基礎(chǔ)上，開展案例或者討論教學(xué)。將學(xué)生進(jìn)行分組，針對(duì)不同組的實(shí)際情況，安排不同的自學(xué)內(nèi)容，包括實(shí)際模型的建立，某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的鞏固，知識(shí)點(diǎn)的深入討論，課堂內(nèi)容總結(jié)，軟件應(yīng)用等，教師引導(dǎo)學(xué)生自己認(rèn)識(shí)問題，消化問題，解決問題，使學(xué)生逐步了解解決問題的基本思想。

總之，教學(xué)無定法而有良法，教師在課堂教學(xué)中始終堅(jiān)持學(xué)生主體地位，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ{(diào)動(dòng)學(xué)生更多的主動(dòng)性，不但教會(huì)學(xué)生學(xué)什么，更能體現(xiàn)出怎么學(xué)，這是我們教學(xué)的重要內(nèi)容。大數(shù)學(xué)家歐拉之所以被稱為是一位好的教師，除了他本身有較高的數(shù)學(xué)功底外，更重要的是他愿意把自己解決問題的想法和思路與大家分享，而不是一味地強(qiáng)調(diào)結(jié)果。

3.教學(xué)形式與手段的多樣化，促進(jìn)課堂教學(xué)

首先，傳統(tǒng)課堂教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合。將傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中不能直觀表示的抽象的概念、定理等通過圖表、圖像、動(dòng)畫等多媒體課件生動(dòng)地表現(xiàn)出來，例如，在講向量場(chǎng)時(shí)，可用多媒體演示微分方程的向量場(chǎng)，從而加深學(xué)生的印象，使學(xué)生易于理解和掌握，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，解決了課堂信息量不大的問題，使教學(xué)過程靈活多樣，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成了教學(xué)的良性循環(huán)。

其次，課堂教學(xué)和學(xué)生報(bào)告相結(jié)合。教師在教學(xué)中不應(yīng)該全盤講滿，要留有適當(dāng)?shù)臅r(shí)間給學(xué)生思考和學(xué)習(xí)，不但要注重學(xué)生的學(xué)會(huì)，更應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)學(xué)，這樣的學(xué)生才具備創(chuàng)新能力。所以合理安排課堂內(nèi)容與學(xué)生報(bào)告的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)亓粢欢ǖ臅r(shí)間給學(xué)生，將他們所學(xué)習(xí)到的東西和全班來分享，最后教師將學(xué)生的內(nèi)容作以總結(jié)，以此方式替代教師全盤講授的過程，報(bào)告內(nèi)容與課堂內(nèi)容有關(guān)，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又鍛煉了學(xué)生的表達(dá)、總結(jié)以及分析解決問題的能力。

最后，多種形式的考核相結(jié)合?？己藢W(xué)生不僅僅看期末的成績(jī)，把課堂的參與以及作業(yè)等結(jié)合起來，以適當(dāng)?shù)谋壤o予分?jǐn)?shù)的認(rèn)可，能夠一定程度地提高學(xué)生參與課堂的積極性。

注重多種形式的第二課堂的開辟

由于常微分方程的總課時(shí)只有56課時(shí)，所以在做好第一課堂建設(shè)的同時(shí)，不能松懈第二課堂的開辟。這不但是規(guī)定的課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充，更加能夠豐富課堂教學(xué)內(nèi)容。第二課堂的形式包括討論班，課后答疑，精品課程網(wǎng)站的互動(dòng)，網(wǎng)上開放課堂等。特別是隨著網(wǎng)路的發(fā)展，網(wǎng)路對(duì)于人們的生活工作學(xué)習(xí)都在產(chǎn)生著重要的影響，課程上網(wǎng)是現(xiàn)代化教育發(fā)展的一個(gè)大的方向，也是新時(shí)期教育的新特征，所以利用網(wǎng)絡(luò)加強(qiáng)第二課堂的建設(shè)任重而道遠(yuǎn)。

總之，提高教學(xué)質(zhì)量，課堂是首要陣地，加強(qiáng)課堂建設(shè)是加強(qiáng)教學(xué)的重要內(nèi)容，作為教師既要有主動(dòng)探索的精神，也要有逐步實(shí)施的決心和耐心，在教學(xué)的這條道路上才能越走越遠(yuǎn)，收獲也更多。

[1]岳宗敏.“常微分方程”課程的三段分層教學(xué)模式探析[J].中國(guó)電力教育，2009（2）：48-49.