長周期隨機地震作用下超大跨斜拉橋的行波效應(yīng)分析＊

陳清軍，張 婷，陳志海，張振炫

（同濟大學 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海 200092）

長周期地震動特性很復(fù)雜，受到震源、震中距和場地條件等因素的影響.由于長周期地震動記錄和資料的匱乏，目前有關(guān)長周期地震動及其對結(jié)構(gòu)影響的研究還不成熟.近年來，自振周期較長的結(jié)構(gòu)在長周期地震動作用下遭受破壞的事例時有發(fā)生，例如在1985年墨西哥8.1級地震中，離震中約390 km的墨西哥城內(nèi)高層建筑的破壞程度遠重于低層樓房[1].在1989年美國 Loma Prieta地震中，距震中近100km的舊金山西北地區(qū)高架橋發(fā)生了較嚴重的破壞[2].在2003年日本十勝沖地震中，遠離震中的苫小牧地區(qū)儲油罐發(fā)生嚴重溢流，并引發(fā)一場大火災(zāi)[3].這些震害表明，對于自振周期較長的結(jié)構(gòu)抗震問題需要進一步研究.

大跨度橋梁結(jié)構(gòu)具有較長的自振周期，其抗震性能備受國內(nèi)外學者的關(guān)注.文獻[4]基于各模態(tài)振動特性的簡化多支承激勵反應(yīng)譜法，分析了地震動空間變化對蕪湖長江大橋主航道斜拉橋地震響應(yīng)的影響.文獻[5]利用Abaqus軟件建立三塔懸索橋分析模型，進行了行波作用下的橋梁結(jié)構(gòu)非線性地震響應(yīng)分析.Allam等[6]采用反應(yīng)譜方法對一斜拉橋結(jié)構(gòu)進行了多點激勵下的地震反應(yīng)研究.Wang等[7]考慮橋墩高度、激勵方向和視波速的不同，對4座連續(xù)梁橋進行了多種工況下的彈塑性行波效應(yīng)研究.至今有關(guān)大跨橋梁結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)研究大多是基于普通地震動作用下的確定性地震反應(yīng)問題.

本文從各個國家和地區(qū)的地震記錄庫中尋找出一些具有良好記錄質(zhì)量和基本場地資料的強震記錄，參照文獻[8]對長周期地震動的概念描述，把收集到的1 081條地震波分為長周期地震波和普通地震波兩大類，對比分析不同場地條件下長周期地震波和普通地震波的平均加速度反應(yīng)譜及其規(guī)范形式的分段擬合譜；選取軟土場地擬合反應(yīng)譜作為目標反應(yīng)譜，用迭代方法求取與目標反應(yīng)譜相對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)，分析基于長周期地震動加速度功率譜密度的特點，并以某超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)為背景，采用直接求取位移的改進虛擬激勵法，研究長周期隨機地震作用下超大跨斜拉橋的行波效應(yīng).

1 結(jié)構(gòu)多點隨機地震反應(yīng)分析基本方程

多點激勵下的結(jié)構(gòu)運動方程可表達為[9]：

式中：M，C和K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Y（t）為體系的動力相對位移向量；α為擬靜模態(tài)矩陣；Es為結(jié)構(gòu)非支座節(jié)點慣性力指示向量；為結(jié)構(gòu)支座在地震波傳播方向上的地面加速度.

為研究多點隨機地震激勵下的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)問題，可以在頻域內(nèi)將空間地震動模型表達為[10]：

式中：Sjj（ω）為自功率譜；Cjk（ω）和Qjk（ω）分別為互功率譜的實部和虛部.每個激勵點可按下述關(guān)系式輸入：

式中：S0（ω）為激勵點輸入功率譜；djk為激勵點j，k兩點連線沿地震波傳播方向的投影距離；Va為地震波視波速.

對大型結(jié)構(gòu)進行隨機地震反應(yīng)分析，虛擬激勵法較傳統(tǒng)的隨機振動理論求解方法，計算效率可提高2～4個數(shù)量級[10－11].本文選用高精度的直接位移求解的虛擬激勵法[11]，利用對ANSYS程序的二次開發(fā)，實現(xiàn)了對長周期隨機地震作用下超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)的行波效應(yīng)計算與分析.這一方法可避免常規(guī)虛擬激勵法需分別計算擬靜力和動態(tài)相對位移的過程，更為高效；完成本文一個完整工況的計算，耗時約45min（Intel I5－2310計算機）.

2 輸入功率譜密度函數(shù)的確定

2.1 目標反應(yīng)譜的求取

自從反應(yīng)譜理論提出以來，已有很多學者對反應(yīng)譜的特性作過各種研究.但是，在數(shù)字強震儀問世以前，由于受強震儀頻率特性的限制，很難從強震記錄中獲得真實可靠的長周期頻譜信息[8].因此，以往的反應(yīng)譜特性研究大多只限于周期6s以下的范圍.進入20世紀80年代以來，數(shù)字強震儀獲得了迅速發(fā)展并已在一些國家和地區(qū)投入使用.數(shù)字強震儀的頻率通常在0～30或50Hz左右，可以較好地記錄到地震動的高、低頻信息.而且，由于不需要進行人工數(shù)字化處理，避免了由此帶來的長周期數(shù)字化誤差.所以，數(shù)字強震儀記錄是研究地震動長周期特性的可靠資料[8].

本文從國內(nèi)外數(shù)字強震記錄庫（美國太平洋地震工程研究中心、日本地球科學和防災(zāi)國家研究所、中國國家強震動臺網(wǎng)中心）中，選取有較好記錄質(zhì)量和具有基本場地資料的1 081條地震加速度水平分量記錄，包括1985年墨西哥8.1級地震、1999年中國臺灣集集7.6級地震、2003年日本十勝沖8.0級地震、2008年汶川8.0級地震和2011年3.11日本9.0級大地震.選取情況如表1所示.

參照文獻[8]對長周期地震動的表述，將所選地震波分為長周期和普通地震波兩大類.這里所謂的長周期是指具有工程意義上的長周期（其范圍通常為1或2秒至十幾秒），而不是地震學上周期長達幾分或十幾分鐘的長周期振動.所有加速度記錄都采用統(tǒng)一低頻誤差校正，峰值大于10gal，利用強震地震動時程直接計算反應(yīng)譜方法解決反應(yīng)譜的長周期段取值問題，反應(yīng)譜均計算到周期10s.

表1 強震記錄選取情況表Tab.1 Selected strong motion records

首先，計算出集集、日本十勝沖、汶川和日本3.11等4次地震記錄的平均放大系數(shù)反應(yīng)譜后，再與墨西哥地震記錄相應(yīng)的反應(yīng)譜作平均，并對其進行最小二乘法擬合.具體表達式如下：

式中：為統(tǒng)計的平均放大系數(shù)反應(yīng)譜值；βi為擬合后的譜值.建議長周期衰減部分采用不分段形式進行擬合，且函數(shù)形式如下：

對于一定的T1和r，求βmax和Tg，使R取最小值且滿足下列方程：

其次，在擬合放大系數(shù)反應(yīng)譜的基礎(chǔ)上，根據(jù)規(guī)范按抗震設(shè)防烈度7度多遇地震下水平地震影響系數(shù)最大值，計算出絕對加速度反應(yīng)譜.圖1和圖2分別給出了三類場地條件下長周期地震動和普通地震動的平均加速度反應(yīng)譜和擬合反應(yīng)譜比較曲線（阻尼比ξ＝0.05），表2給出了相應(yīng)的反應(yīng)譜特征參數(shù)取值.由圖1可見，普通地震動的平均加速度反應(yīng)譜的衰減速度明顯大于長周期地震動，對于基巖場地和一般場地，至10 s時基本接近0，而長周期地震動的平均加速度反應(yīng)譜仍有一定譜值；對于軟土場地，至10s時長周期地震動的平均加速度反應(yīng)譜值約為普通地震動譜值的2倍.由圖2可見，長周期地震動擬合反應(yīng)譜的平臺寬度明顯大于普通地震動的擬合反應(yīng)譜平臺寬度；對于本文擬選用的軟土場地擬合反應(yīng)譜，對應(yīng)的長周期地震動擬合反應(yīng)譜平臺值為0.770m·s－2，特征周期Tg＝1.348s，而普通地震動擬合反應(yīng)譜平臺值為0.834m·s－2，特征周期Tg＝0.965s.

圖1 不同場地條件下的平均加速度反應(yīng)譜（阻尼比為0.05）Fig.1 Average acceleration response spectra at different sites（damping ratio 0.05）

圖2 不同場地條件下的擬合加速度反應(yīng)譜（阻尼比為0.05）Fig.2 Fitted acceleration response spectra at different sites（damping ratio 0.05）

表2 三類場地標準加速度反應(yīng)譜特征參數(shù)取值表Tab.2 Characteristic parameters of normalized acceleration response spectra at three types of sites

2.2 將目標反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換成當量功率譜密度

可采用迭代法，將目標反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)隨機地震動功率譜密度函數(shù).其主要步驟如下[12]：

1）選擇功率譜密度函數(shù)的初值G0（ωi）（i＝0，1，…，N），最簡單的可設(shè)G0（ωi）為一常值，即為一平穩(wěn)白噪聲過程，為減少迭代次數(shù)，本文采用Kaul[13]的公式進行計算.

2）對在平穩(wěn)地面運動加速度功率譜G（ω）作用下，求取具有圓頻率為ωi、阻尼比為ξ的振子的絕對加速度反應(yīng)最大值均值A(chǔ)m：

其中：

式（8）中ντ統(tǒng)一按 Der Kiureghian[14]的經(jīng)驗公式進行計算.

3）把G0（ωi）代入式（7）中計算Am（ωi，ξ），將其與目標反應(yīng)譜Ra（ωi，ξ）比較.直至所有點誤差滿足要求，方可停止迭代.在結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析中，日本學者Kanai－Tajimi的過濾白噪聲模型得到了較多的應(yīng)用.這一模型假設(shè)在基巖輸入白噪聲過程，將基巖上的覆蓋土層視為單自由度線性濾波器，經(jīng)過濾后求得地表面的功率譜密度函數(shù)表達式.已有研究表明，Kanai－Tajimi的過濾白噪聲模型夸大了低頻地震動的能量.基于此，文獻[15]提出了一種削減低頻的改進模型，即

式中：ωg，ξg分別為場地土卓越頻率和阻尼比；ωf和ξf分別為調(diào)整低頻部分的頻率和阻尼參數(shù)；S0為白噪聲功率譜密度.研究表明Clough－Penzien模型能較好地反映地震動低頻能量的變化[15]，因此，本文選用這一模型擬合功率譜密度函數(shù)，并以此作為超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析用的輸入.

采用上述迭代方法求出與圖2軟土場地目標反應(yīng)譜對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)，然后選用最小二乘法擬合出與目標反應(yīng)譜相對應(yīng)的Clough－Penzien譜參數(shù)（見表3）.圖3給出了基于圖2（c）軟土場地目標反應(yīng)譜（Ⅲ類場地、7度多遇地震、設(shè)計地震分組第2組）擬合后的當量平穩(wěn)功率譜密度函數(shù)曲線.由此可見，基于長周期地震動記錄的功率譜密度函數(shù)的頻譜分布與基于普通地震動記錄的功率譜密度函數(shù)的頻譜分布有明顯差異，前者的卓越頻率明顯低于后者.

圖3 擬合功率譜密度函數(shù)曲線對比Fig.3 Comparison between fitted earthquake acceleration power spectra with long periods and with general periods

表3 與目標反應(yīng)譜對應(yīng)的Clough－Penzien功率譜參數(shù)Tab.3 Clough－Penzien power spectrum parameters corresponding to the target response spectra

3 超大跨橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型及動力特性分析

本文以某超大跨橋梁結(jié)構(gòu)為背景建立有限元分析模型.該橋為雙塔雙索面斜拉橋，采用漂浮結(jié)構(gòu)體系；全長32.4km，主要由跨江大橋和南、北岸接線3部分組成.工程抗震設(shè)防烈度為7°，抗震等級為一級，場地類別為Ⅲ類.主橋跨徑為100m＋100m＋300m ＋1 088m ＋300m ＋100m ＋100m，其中鋼箱梁分為141個梁端，17種類型；邊跨尾索區(qū)節(jié)段長為12m，其他節(jié)段均為16m.塔柱高達300.4m，采用倒Y形結(jié)構(gòu)，分為上、中、下塔肢和橫梁4個部分；中、下塔肢為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，上塔肢為鋼錨箱－混凝土組合結(jié)構(gòu).兩主墩分別采用131根長約120m的灌注群樁基礎(chǔ).全橋共有34×8＝272根斜拉索，選用φ7平行鋼絲體系.

采用ANSYS軟件建立該超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)有限元計算模型，如圖4所示.主梁、索塔、塔橫梁、輔助墩及過渡墩均采用BEAM44單元，魚刺剛臂采用BEAM4單元，斜拉索采用LINK10單元，橋面二期恒載及箱梁內(nèi)壓重塊附加質(zhì)量采用質(zhì)量MASS21單元進行模擬，考慮到斜拉索索段垂度的影響，斜拉索彈性模量用Ernst公式修正.索塔與主梁間縱橋向、豎向均自由，橫橋向主從約束；過渡墩、輔助墩與主梁之間豎向、橫橋向均約束，縱橋向自由.

圖4 某超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 Finite element model of a long－span cable－stayed bridge

利用圖4的某超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)有限元模型，采用子空間迭代法進行結(jié)構(gòu)動力特性分析，獲得了這一超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)的前20階自振頻率和振型.限于篇幅，僅給出部分結(jié)構(gòu)自振頻率和相對應(yīng)的振型說明，如表4所示.由表4可見，這一超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)的基本周期長達12.67s，屬于典型的長周期類結(jié)構(gòu)；其自振頻率變化均勻且較密集，無跳越現(xiàn)象.結(jié)構(gòu)振型則表現(xiàn)出明顯的三維性和相互耦合的特點：第1階振型為主梁縱向漂移，符合漂浮體系特點，縱飄對橋梁結(jié)構(gòu)縱向地震反應(yīng)的貢獻較大；第2階振型為主梁對稱橫彎，該振型對橋梁結(jié)構(gòu)側(cè)向位移有一定的影響；第3階振型為主梁對稱豎彎，將對橋梁結(jié)構(gòu)的豎向地震反應(yīng)有較大的影響.

表4 大橋自振頻率及振型特點Tab.4 Natural frequencies and vibration modes of the bridge

4 結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析

將圖3所示的基于不同類型地震動記錄的功率譜密度作為輸入，利用圖4所示的某超大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)有限元模型，采用直接求取位移的改進虛擬激勵法，假定地震波沿橋梁縱向（X方向）自左塔向右塔傳播，對超大跨橋梁結(jié)構(gòu)進行了非一致激勵下的隨機地震反應(yīng)分析.限于篇幅，這里重點對基于不同類型地震動記錄的功率譜密度作用下橋梁左橋塔頂601號節(jié)點、右橋塔頂1 601號節(jié)點和橋面板跨中71號節(jié)點的隨機地震反應(yīng)進行比較分析.

圖5和圖6分別給出了基于不同類型地震動記錄的功率譜密度作用下橋梁左橋塔頂和右橋塔頂?shù)乃较蛭灰祈憫?yīng)功率譜曲線.圖7給出了橋面板跨中71號節(jié)點的豎向位移響應(yīng)功率譜曲線.由圖5～圖7可見，長周期地震動功率譜作用下的橋梁左橋塔頂、右橋塔頂和橋面板跨中節(jié)點的位移響應(yīng)功率譜值均明顯大于普通地震動功率譜作用下的結(jié)果；橋梁塔頂位移響應(yīng)功率譜均呈雙峰分布，但最大峰值出現(xiàn)的位置不同，在長周期地震動功率譜作用下的最大峰值出現(xiàn)在較低頻率（即結(jié)構(gòu)基頻0.079 Hz）處，而在普通地震動功率譜作用下的最大峰值則出現(xiàn)在較高頻率（即結(jié)構(gòu)第3階自振頻率處0.183Hz）處.

圖5 左塔塔頂水平向位移響應(yīng)功率譜曲線Fig.5 Horizontal displacement response power spectra curves of the left tower top

圖6 右塔塔頂水平向位移響應(yīng)功率譜曲線Fig.6 Horizontal displacement response power spectra curves of the right tower top

圖7 橋面板跨中豎向位移響應(yīng)功率譜曲線Fig.7 Vertical displacement response power spectra curves of the mid－deck

為考察不同地震動功率譜作用下超大跨斜拉橋位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)的最大值均值隨橋塔塔高和橋面板位置的變化情況.圖8（a）給出了基于不同類型地震動記錄的功率譜作用下橋梁左塔位移響應(yīng)最大值均值隨塔高的分布圖；利用結(jié)構(gòu)隨機振動基本公式求取彎矩的最大值均值[16]，圖8（b）給出了橋梁左塔彎矩最大值均值隨塔高的分布.圖9（a）和（b）分別給出了不同輸入功率譜作用下橋面板位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)最大值均值沿橋面縱向的分布.

圖8 橋梁左塔位移及彎矩最大值均值沿塔高分布圖Fig.8 The mean curves of maximum displacement and bending values of the left tower in the vertical direction

圖9 橋面板位移及彎矩最大值均值沿橋面縱向分布圖Fig.9 The mean curves of maximum displacement and bending values of the deck in the longitudinal direction

在長周期地震動功率譜作用下橋梁左塔位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)最大值均值隨塔高的變化趨勢、以及橋面板位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)最大值均值沿橋面縱向的變化趨勢，均與普通地震動功率譜作用下的變化趨勢相近；但長周期地震動功率譜作用下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)最大值均值均明顯大于普通地震動功率譜作用下的結(jié)果.

為進一步分析長周期隨機地震作用下超大跨斜拉橋的行波效應(yīng)，本文對4種視波速分別為Va＝1 088m／s，Va＝2 500m／s，Va＝4 000m／s，Va＝∞（一致激勵）情形下斜拉橋結(jié)構(gòu)的長周期隨機地震響應(yīng)結(jié)果進行了對比研究.圖10（a）和（b）分別給出了4種視波速情形下橋梁左塔位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)最大值均值隨塔高的分布圖.圖11（a）和（b）分別給出了4種視波速情形下橋面板位移響應(yīng)和彎矩響應(yīng)最大值均值沿橋面縱向的分布.

在視波速Va＝1 088m／s情形下，橋梁左塔塔頂?shù)奈灰祈憫?yīng)最大值均值和塔底彎矩的最大值均值較一致激勵（Va＝∞）下的結(jié)果減小約10%；在視波速Va＝4 000m／s情形下，橋梁左塔塔頂?shù)奈灰祈憫?yīng)最大值均值和塔底彎矩的最大值均值與一致激勵下的結(jié)果接近.行波效應(yīng)對橋面板主跨跨中位移影響較大，而對橋面板邊跨位置的影響較小；當視波速介于1 088m／s和2 500m／s之間時，主跨橋面板跨中位移的最大值均值較一致激勵下的結(jié)果減小約15%.

圖10 長周期地震動功率譜作用下左塔位移及彎矩最大值均值沿塔高分布圖Fig.10 The mean curves of maximum displacement and bending values of the left tower in the vertical direction for the input long－period ground motion power spectrum

圖11 長周期地震動功率譜作用下橋面板位移及彎矩最大值均值沿橋面縱向分布圖Fig.11 The mean curves of maximum displacement and bending values of the deck in the longitudinal direction for the input long－period ground motion power spectrum

5 結(jié) 論

1）本文從各個國家和地區(qū)的地震記錄庫中尋找出1 081條具有良好記錄質(zhì)量和基本場地資料的地震波，對比分析了不同場地條件下長周期地震波和普通地震波的平均加速度反應(yīng)譜曲線.結(jié)果表明，普通地震波的平均加速度反應(yīng)譜的衰減速度明顯大于長周期地震波反應(yīng)譜.對于軟土場地，長周期地震波的平均加速度反應(yīng)譜值至10s時約為普通地震波譜值的2倍.

2）長周期地震動擬合反應(yīng)譜的平臺寬度明顯大于普通地震動的擬合反應(yīng)譜平臺寬度；基于長周期地震動記錄的功率譜密度函數(shù)的頻譜分布與基于普通地震動記錄的功率譜密度函數(shù)的頻譜分布有明顯差異，前者的卓越頻率明顯低于后者.

3）長周期地震動功率譜作用下的橋梁左橋塔頂、右橋塔頂和橋面板跨中節(jié)點的位移響應(yīng)功率譜值均明顯大于普通地震動功率譜作用下的結(jié)果；橋梁塔頂位移響應(yīng)功率譜均呈雙峰分布，但最大峰值出現(xiàn)的位置不同，在長周期地震動功率譜作用下的最大峰值出現(xiàn)在較低頻率處，而在普通地震動功率譜作用下的最大峰值則出現(xiàn)在較高頻率處.

4）對于本文算例，在視波速Va＝1 088m／s情形下，橋梁左塔塔頂?shù)奈灰祈憫?yīng)最大值均值和塔底彎矩的最大值均值較一致激勵下的結(jié)果減小約10%；而在視波速Va＝4 000m／s情形下，橋梁左塔塔頂?shù)奈灰祈憫?yīng)最大值均值和塔底彎矩的最大值均值與一致激勵下的結(jié)果接近.行波效應(yīng)對橋面板主跨跨中位移影響較大，而對橋面板邊跨位置的影響較??；當視波速為1 088～2 500m／s時，主跨橋面板跨中位移的最大值均值較一致激勵下的結(jié)果減小約15%.

[1] KOKETSU K，MIYAKE H.A seismological overview of long－period ground motion[J].Journal of Seismology，2008，12（2）：133－143.

[2] 汪素云，俞言祥，呂紅山.利用中國數(shù)字地震臺網(wǎng)寬頻帶記錄研究長周期地震動反應(yīng)譜特性[J].地震學報，1998，20（5）：481－488.WANG Su－yun，YU Yan－xiang，LV Hong－shan.Study on response spectrum characteristics of long－period earthquake ground motion using wide band records from Chinese Digital Seismic Network [J].Seismological Journal，1998，20（5）：481－488.（In Chinese）

[3] 李春鋒，張旸.長周期地震動衰減關(guān)系研究的迫切性[J].地震地磁觀測與研究，2006，27（3）：1－8.LI Chun－feng，ZHANG Yang.Urgency of the study of longperiod ground motion [J].Seismological and Geomagnetic Observation and Research，2006，27（3）：1－8.（In Chinese）

[4] 劉洪兵，朱晞.大跨度斜拉橋多支撐激勵地震響應(yīng)分析 [J].土木工程學報，2001，34（6）：38－44.LIU Hong－bing，ZHU Xi.Seismic response analysis of longspan cable－stayed bridges under multi－sport excitations[J].China Civil Engineering Journal，2001，34（6）：38－44.（In Chinese）

[5] 焦?？?，李愛群，操禮林，等.三塔懸索橋行波效應(yīng)研究[J].土木工程學報，2010，43（12）：100－106.JIAO Chang－ke，LI Ai－qun，CAO Li－lin，etal.Traveling wave influence analysis for triple－tower suspension bridges[J].China Civil Engineering Journal，2010，43（12）：100－106.（In Chinese）

[6] ALLAM S M，DATTA T K.Analysis of cable－stayedbridges under multi－component random ground motion by response spectrum method[J].Engineering Structures，2000，22（10）：1367－1377.

[7] WANG J，CARR A J，COOKE N，etal.The response of a 344mlong bridge to non－uniform earthquake ground motions[J].Engineering Structures，2009，31（11）：2554－2567.

[8] 謝禮立，周雍年，胡成祥，等.地震動反應(yīng)譜的長周期特性[J].地震工程與工程振動，1990，10（1）：1－19.XIE Li－li，ZHOU Yong－nian，HU Cheng－xiang，etal.Characteristics of response spectra of long－period earthquake ground motion[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1990，10（1）：1－19.（In Chinese）

[9] CLOUGH R W，PENZIEN J.Dynamics of structures[M].New York：McGraw－Hill，1993：146－149.

[10] 林家浩，張亞輝.隨機振動的虛擬激勵法[M].北京：科學出版社，2004：129－134.LIN Jia－h(huán)ao，ZHANG Ya－h(huán)ui.The pseudo－excitation method of random vibration[M].Beijing：Science Press，2004：129－134.（In Chinese）

[11] 李永華，李思明.絕對位移直接求解的虛擬激勵法[J].振動與沖擊，2009，28（10）：185－190.LI Yong－h(huán)ua，LI Si－ming.Pseudo excitation method based on solving absolute displacement[J].Journal of Vibration and Shock，2009，28（10）：185－190.（In Chinese）

[12] 孫景江，江近仁.與規(guī)范反應(yīng)譜相對應(yīng)的金井清譜的譜參數(shù)[J].世界地震工程，1990，8（1）：42－48.SUN Jing－jiang，JIANG Jin－ren.Spectrum parameters corresponding to the response spectra of seismic design code[J].World Earthquake Engineering，1990，8（1）：42－48.（In Chinese）

[13] KAUL M K.Stochastic characterization of earthquakes through their response spectrum[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1978，6（5）：497－509.

[14] DER KIUREGHIAN A.Structural response to stationary excitation[J].Journal of the Engineering Mechanics Division，1980，EM6：203－235.

[15] DUMANOGLUID A A，SOYLUK K.A stochastic analysis of long span structures subjected to spatially varying ground motions including the site－response effect [J].Engineering Structures，2003，25（10）：1301－1310.

[16] 歐進萍，王光遠.結(jié)構(gòu)隨機振動[M].北京：高等教育出版社，1998：371－373.OU Jin－ping，WANG Guang－yuan.Random vibration of structures[M].Beijing：Higher Education Press，1998：371－373.（In Chinese）