高等數(shù)學(xué)教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高效銜接的思考

宋林鋒

（濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 濮陽(yáng) 457000）

一、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革背景下教學(xué)內(nèi)容現(xiàn)狀

近幾年，由于新課標(biāo)的普遍實(shí)行，使中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生很大改變。這種變化首先表現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容上。新版中學(xué)數(shù)學(xué)教科書縮減了大量經(jīng)典內(nèi)容，如：反三角函數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用，三角函數(shù)中的積化和差與和差化積公式等；同時(shí)增加了有關(guān)高等數(shù)學(xué)知識(shí)，如：定積分以及數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率等專題，有些模塊是以歐拉公式與閉曲面分類、球面幾何、對(duì)稱與群等為主題，這些教學(xué)內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中未被列為重點(diǎn)，改革使學(xué)生接觸到了范圍更為廣泛的知識(shí)，提高了他們的認(rèn)知水平。然而，事物都有兩面性。在新版中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，刪去的許多內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)。例如，由于反三角函數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用不在考試大綱內(nèi)，新版教科書將其列為了解內(nèi)容；在高等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)與反三角函數(shù)的求導(dǎo)和積分運(yùn)算是經(jīng)典解題工具，這部分內(nèi)容被視為已知，大學(xué)教材中沒(méi)有相關(guān)講解。再如，極坐標(biāo)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是選講課程，很多學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)知之甚少；在大學(xué)定積分與重積分的應(yīng)用中，極坐標(biāo)被視為已知知識(shí)，大學(xué)教材沒(méi)有關(guān)于極坐標(biāo)的基礎(chǔ)涉獵，如極坐標(biāo)定義、極坐標(biāo)運(yùn)算、極坐標(biāo)系等。中學(xué)教材不解釋，大學(xué)教材不涉及，這樣就產(chǎn)生知識(shí)斷層，使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生空白區(qū)。在文理分科的現(xiàn)在，新版中學(xué)文科數(shù)學(xué)教科書同樣存在此種現(xiàn)象，刪去許多經(jīng)典內(nèi)容，如：二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法、空間向量坐標(biāo)等解題方法和工具。這就增加學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的難度，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的連續(xù)性，打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)造成較大影響。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)公理、定理的證明過(guò)程不作要求，只需學(xué)生掌握結(jié)論，能夠熟練運(yùn)用結(jié)論解題即可，新版中學(xué)教科書對(duì)數(shù)學(xué)概念與思維方法有所介紹，但不夠詳細(xì)，不夠明確；一些實(shí)用的解題方法并未介紹，如：洛必達(dá)法則等。在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，按照正思維規(guī)律，選擇合適而準(zhǔn)確的方法進(jìn)行推理以及證明，是學(xué)生奠定基礎(chǔ)，提高基本能力行之有效的途徑。當(dāng)學(xué)生開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，由于心中并未建立起追根究底的思想，便難以沉下心來(lái)探索公理、定理的證明過(guò)程。初學(xué)高等數(shù)學(xué)便要求學(xué)生證明公式定理，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)考驗(yàn)。為此，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣也或多或少地受到了影響。

二、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容上的有效銜接

分析中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新教改，可以預(yù)想學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)面的拓寬度以及對(duì)這些知識(shí)掌握程度的深刻，新教改方案，使學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)時(shí)有扎實(shí)的基礎(chǔ)。在學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后，就可以利用中學(xué)數(shù)學(xué)已介紹的關(guān)于極限、導(dǎo)函數(shù)以及其相關(guān)運(yùn)用的內(nèi)容，進(jìn)行拓展延伸，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的知識(shí)面，加深其認(rèn)知程度，使其了解到大學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)證明過(guò)程的重視，從而更加注重嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理和抽象思維的應(yīng)用。為了更好地使學(xué)生適應(yīng)大學(xué)教學(xué)，在高等數(shù)學(xué)教材中設(shè)置相應(yīng)專題章節(jié)是很有必要的。設(shè)置的相應(yīng)專題章節(jié)的主要內(nèi)容：（1）中學(xué)教科書中刪去的所有有用內(nèi)容。這些內(nèi)容可以彌補(bǔ)中學(xué)數(shù)學(xué)教育與大學(xué)數(shù)學(xué)教育的空白區(qū)域；（2）數(shù)學(xué)概念與科學(xué)思維方法詳細(xì)的介紹。其中包括數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生歷程，并通過(guò)介紹先輩的研究過(guò)程使學(xué)生有所領(lǐng)悟，從而使其掌握如何進(jìn)行科學(xué)思考的方法，真正達(dá)到授之以漁的目的；（3）常用公式的集合。收集了中學(xué)數(shù)學(xué)主要公式、大學(xué)數(shù)學(xué)主要公式等成表，并將常用極坐標(biāo)方程曲線單獨(dú)列出成為專題以供學(xué)生學(xué)習(xí)之用。[1]48學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的方式主要是：（1）該教材包括詳細(xì)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，在進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高數(shù)之前學(xué)生可自學(xué)其所含內(nèi)容；（2）條件允許的情況下，可以制作課程視頻并將之發(fā)布于網(wǎng)上。課程包括中學(xué)數(shù)學(xué)刪去的有用內(nèi)容以及數(shù)學(xué)概念與科學(xué)思維方法簡(jiǎn)介，從而方便學(xué)生的學(xué)習(xí)；（3）教師可用幾節(jié)專題課講授其中主要內(nèi)容，學(xué)生自學(xué)其細(xì)節(jié)問(wèn)題。除此之外，編寫其內(nèi)容還有如下要因：（1）直角坐標(biāo)系是基礎(chǔ)解系。但在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，選擇某些曲線的表示工具時(shí)，極坐標(biāo)系等往往更為直觀簡(jiǎn)潔。諸如：在定積分、二重積分、三重積分中，使用極坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系處理問(wèn)題會(huì)比使用直角坐標(biāo)系更為簡(jiǎn)潔、明了。由于中學(xué)時(shí)期極坐標(biāo)及極坐標(biāo)系等有關(guān)知識(shí)并非必修，許多學(xué)生并沒(méi)學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)知識(shí)，而在大學(xué)時(shí)這些知識(shí)又被直接運(yùn)用。這就導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)的斷層，以致學(xué)生學(xué)習(xí)困難重重。故而，在教材中增添對(duì)極坐標(biāo)的知識(shí)介紹，不僅使學(xué)生明白極坐標(biāo)的重要性，而且能通過(guò)該教材產(chǎn)生或加深對(duì)極坐標(biāo)的理解，使其會(huì)用甚至更好地使用極坐標(biāo)這一工具。（2）分析法經(jīng)常在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中被運(yùn)用。但由于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在此不作要求，學(xué)生并不經(jīng)常運(yùn)用分析法，并不能熟練掌握此種方法。為解決該問(wèn)題，我們?cè)诮滩膶ｎ}中列舉基本例題做更好的講解。例1 證明當(dāng)X>5時(shí)，X+2-2X-8>0成立證明：欲證明X>5時(shí)，原不等式成立，只需集合{X|X>5}為原不等式解集的子集：而原不等式解集為4或X<-2>，很顯然，條件成立。故當(dāng)X>5時(shí)，X+2-2X-8>0成立。（3）對(duì)于初次接觸極限的同學(xué)，會(huì)難以了解假設(shè)條件 E>0的作用與意義所在，甚至在學(xué)習(xí)之前就產(chǎn)生畏懼心理。為此，對(duì)同學(xué)進(jìn)行預(yù)傳授，在正式學(xué)習(xí)極限之前使其對(duì)其有所涉獵，從而理解E>0非凡的作用。例2 設(shè)a、b均為常數(shù)，任意E>0，證明若|a-b|0成立，令E=|a-b|>0，則有|a-b|<|a-b|，不符合事實(shí)。由此明白 E>0是解決問(wèn)題時(shí)的強(qiáng)有力工具。（4）在大學(xué)的一些習(xí)題中，解決問(wèn)題的關(guān)鍵并非高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而是中學(xué)數(shù)學(xué)中所學(xué)的公式與簡(jiǎn)單的邏輯運(yùn)算。例3 設(shè)0Xn，故數(shù)列單調(diào)增大。因?yàn)閿?shù)列Xn單調(diào)增大有上界，故limXn存在由此看出，該題關(guān)鍵在于定理：（a+b）/2>ab的算術(shù)平方根。（5）在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，熟記中學(xué)數(shù)學(xué)中的各種公式、結(jié)論是非常有必要的。這對(duì)提高解題速度與拓寬解題思維很有幫助。

三、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法上的有效銜接

（一）第一堂課的重要性

講好第一堂課，對(duì)以后的教學(xué)工作有很好的幫助。教師應(yīng)重視高等數(shù)學(xué)的第一節(jié)課，精心備課，設(shè)計(jì)課堂流程，將高等數(shù)學(xué)的重要性、主要內(nèi)容與特點(diǎn)、學(xué)習(xí)中可能遇到的問(wèn)題等向同學(xué)言簡(jiǎn)意賅的介紹，使學(xué)生對(duì)這門課有大致了解，從而使他們對(duì)如何學(xué)習(xí)這門課程有自己的規(guī)劃，提高其學(xué)習(xí)自主性，為其以后大量的自主學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。在第一堂課上首先應(yīng)提醒同學(xué)們高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的差別所在。例如：極限思想是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思想，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中始終可見(jiàn)極限思想的應(yīng)用。極限思想的基礎(chǔ)是無(wú)限，它以研究函數(shù)為載體，表現(xiàn)了數(shù)據(jù)變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程。極限的無(wú)限性與動(dòng)態(tài)性注定它與數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的方法（以有限性和靜態(tài)性為主）有本質(zhì)區(qū)別，但同在數(shù)學(xué)范疇，它們又有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。高等數(shù)學(xué)與中等數(shù)學(xué)是研究函數(shù)的不同階段。中等數(shù)學(xué)僅僅簡(jiǎn)單涉及函數(shù)的基本類型以及解答方法，而高等數(shù)學(xué)不僅涉及更為廣泛的函數(shù)而且在解答問(wèn)題的技巧上也有更深層次的探索。為使學(xué)生明白高等數(shù)學(xué)相對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的深入和廣泛性，三大特點(diǎn)是必被強(qiáng)調(diào)的：邏輯的嚴(yán)密、抽象的思維，應(yīng)用的廣泛。

在上第一堂課時(shí)教師應(yīng)向?qū)W生簡(jiǎn)要介紹學(xué)好該課程的重要性以及如何學(xué)習(xí)這門課程，該課程中重要的章節(jié)是什么。從而使學(xué)生有自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃。大學(xué)學(xué)習(xí)與中學(xué)學(xué)習(xí)大不相同。學(xué)生學(xué)習(xí)大多靠自主性。為此，教師應(yīng)幫助他們建立良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。首先應(yīng)幫助學(xué)生培養(yǎng)他們的預(yù)習(xí)能力?？梢酝ㄟ^(guò)幾次課后要求預(yù)習(xí)使學(xué)生建立起預(yù)習(xí)的意識(shí)從而建立起預(yù)習(xí)的能力。預(yù)習(xí)是大學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要能力。由于課時(shí)有限，大學(xué)的一堂課會(huì)講授一本教材幾頁(yè)甚至幾十頁(yè)的內(nèi)容；而在中學(xué)時(shí)期由于課程較多，教師一節(jié)課涉及的內(nèi)容很少，解釋會(huì)更清楚。因此，培養(yǎng)學(xué)生的預(yù)習(xí)能力十分重要。通過(guò)預(yù)習(xí)，學(xué)生對(duì)新內(nèi)容有所了解，有什么問(wèn)題也可在課堂上有針對(duì)性地提出。不僅教師提高了講課的效率，而且學(xué)生也更好的接受了新知識(shí)，一舉兩得。[2]128然后要培養(yǎng)學(xué)生整理筆記的能力。大學(xué)課堂節(jié)奏快，內(nèi)容多，僅靠學(xué)生的記憶力是不可能學(xué)會(huì)教師傳授的所有內(nèi)容，所以必須要求學(xué)生的記筆記能力。課堂上的內(nèi)容比如如何引出問(wèn)題、如何分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在以及重要的結(jié)論和對(duì)該堂課所學(xué)內(nèi)容的疑問(wèn)與心得等。記筆記要學(xué)會(huì)去輕就重，比如題目的論證過(guò)程及細(xì)節(jié)可以省去，在學(xué)會(huì)主要內(nèi)容后，這些知識(shí)是可以由學(xué)生自己推理論證而來(lái)。接著應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極提問(wèn)，及時(shí)解決他們的問(wèn)題。事實(shí)證明，拖延只會(huì)拖累他們的成績(jī)。最后，要求學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容。僅靠課堂上的時(shí)間是不夠的，課下復(fù)習(xí)不僅會(huì)使學(xué)生加深對(duì)新知識(shí)的印象，融會(huì)貫通新內(nèi)容，更會(huì)增加學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

（二）三“基”的重要性

數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容是基本概念、基本理論、基本方法：簡(jiǎn)稱三“基”。任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法都基于這些內(nèi)容。很多大學(xué)新生只注重如何解題而忽略基礎(chǔ)，這導(dǎo)致他們?cè)诿鎸?duì)某些問(wèn)題時(shí)思維混亂，解決方法繁瑣。為改變這種情況，三“基”的教學(xué)必須被重視。由于這些基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)于抽象，教師可通過(guò)講解例題、找尋恰當(dāng)?shù)谋扔鱽?lái)講解，并通過(guò)當(dāng)堂練習(xí)、課后習(xí)題練習(xí)等方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解這些理論概念和思想。在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)不斷強(qiáng)調(diào)三“基”的重要性，通過(guò)耳濡目染的教導(dǎo)，從而使學(xué)生養(yǎng)成追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)探索精神，擁有熟練計(jì)算的能力，為以后難度較大的課程，培養(yǎng)出良好學(xué)習(xí)基礎(chǔ)；使學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的思想方法氛圍中不但不知不覺(jué)接受數(shù)學(xué)知識(shí)，并能使用它們解決實(shí)際問(wèn)題。

[1]蘇德礦.高等數(shù)學(xué)教學(xué)如何與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法有效地銜接[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2013，（05）.

[2]馬書燮.數(shù)學(xué)教學(xué)改革的困境與對(duì)策[J].黑龍江高教研究，2011，（6）.