試論高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

◆張嘉瑜

(廣東省梅州市梅江區(qū)樂育中學(xué))

數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性、廣泛應(yīng)用性的學(xué)科。數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，是數(shù)學(xué)知識體系的基石，是理解和掌握數(shù)學(xué)理論和方法的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的目的，是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、理解數(shù)學(xué)概念、進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，并在這個(gè)過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、體會(huì)數(shù)學(xué)的思想、感受數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)概念因客觀現(xiàn)實(shí)的或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而產(chǎn)生。它是數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)成分。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就意味著學(xué)習(xí)、掌握一類數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。正確理解數(shù)學(xué)概念，是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識的前提。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所碰見的諸多困難，大部分是由于沒有很好掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念所造成的。因此，要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，本文就針對這個(gè)問題來作一些探討。

一、概念形成與概念同化相結(jié)合

從教育心理學(xué)角度看，學(xué)生獲得概念的基本方式有兩種:一是概念形成，二是概念同化。

概念形成是指在教學(xué)條件下，從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性。而學(xué)生學(xué)習(xí)直接用定義形式陳述的概念時(shí)，他們就主動(dòng)地與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系、相互作用，并領(lǐng)會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，從而獲得新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化。概念形成主要依靠的是對具體事物的抽象，更接近于人類自發(fā)形成概念的方式，而概念同化則主要靠學(xué)生對經(jīng)驗(yàn)的概括及新舊知識的聯(lián)系，是在主體達(dá)到一定背景知識和思維能力后掌握概念的主要方式。當(dāng)學(xué)生思維水平與知識經(jīng)驗(yàn)達(dá)不到概念同化的要求時(shí)，采用概念形成的方式比較多，效果也比較好。但是如果教師僅用概念形成方式，那么教學(xué)有可能落在學(xué)生思維發(fā)展之后，不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展，也提不起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。反之，一味地用概念同化也是行不通的，如碰到較難理解的或新內(nèi)容開始時(shí)的一些概念，若此時(shí)還采用概念同化的方式，教學(xué)就可能超過了學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)與思維水平，從而使學(xué)生難以理解概念的內(nèi)涵和外延。這時(shí)若采用概念形成的方式，反而會(huì)收到更好的效果。由此，在數(shù)學(xué)概念的實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，概念形成與概念同化這兩種方式往往是結(jié)合使用的，這樣既符合學(xué)生學(xué)習(xí)概念時(shí)由具體到抽象的認(rèn)識規(guī)律，掌握形式的數(shù)學(xué)概念背后的事實(shí)，又能使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)較快地理解概念所反映的事物的本質(zhì)屬性，掌握更多的數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)習(xí)效率。

二、創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的情境，利用概念引入明確學(xué)習(xí)的目的性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與積極性

概念的引入是使學(xué)生了解建立概念的必要性，明確學(xué)習(xí)的目的性，對所學(xué)數(shù)學(xué)概念形成初步的感性認(rèn)識，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使學(xué)生具有強(qiáng)烈的求知欲望，迫不及待地參與概念的建立活動(dòng)。這是學(xué)生能否學(xué)好概念的關(guān)鍵一步。

1.通過對現(xiàn)實(shí)材料的分析抽象引入概念，使學(xué)生獲得豐富的和切合實(shí)際的感性材料。引導(dǎo)學(xué)生從分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中的實(shí)例入手，通過觀察有關(guān)的實(shí)物、圖示、模型，在形成充分感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上引入概念。例如，通過觀察一系列特殊函數(shù)圖象的“周而復(fù)始”的特征，引入函數(shù)的周期的概念。

2.通過數(shù)學(xué)自身發(fā)展的內(nèi)在需要引入概念。數(shù)學(xué)自身發(fā)展的內(nèi)在需要，既是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一，也是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)其內(nèi)在需求的重要素材之一。通過揭示數(shù)學(xué)自身發(fā)展過程中的矛盾、問題，打破學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，再引導(dǎo)學(xué)生探索化解矛盾和解決問題的途徑，從而引入數(shù)學(xué)概念。例如，由方程x2+1=0沒有實(shí)數(shù)解的問題引入復(fù)數(shù)的概念。

3.通過類比引入概念。通過類比能使相比較的客體的本質(zhì)更加明確，更能防止知識間的混淆與割離。例如，等比數(shù)列可類比等差數(shù)列引入，雙曲線可類比橢圓引入。

三、發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，實(shí)現(xiàn)從對數(shù)學(xué)對象的感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍

學(xué)生要真正形成數(shù)學(xué)概念，必須實(shí)現(xiàn)從對數(shù)學(xué)對象的具體的感性認(rèn)識到數(shù)學(xué)對象的抽象的理性認(rèn)識的飛躍。這個(gè)過程需要經(jīng)歷一個(gè)從片面到全面，從模糊到清晰，從表象聯(lián)系到實(shí)質(zhì)聯(lián)系的復(fù)雜的思維過程，絕不可能一步到位。因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、綜合、探索、猜想、創(chuàng)造，決定取舍，形成概括，讓學(xué)生在交流中、反思中逐步實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)對象的感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡，從而形成概念。

1.采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ贡举|(zhì)屬性明顯一些，使學(xué)生區(qū)分本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，從而有利于學(xué)生抽象概括。例如，對于棱錐的高，有的學(xué)生認(rèn)為棱錐的頂點(diǎn)在它底面的射影一定在底面的多邊形內(nèi)才有高，把非本質(zhì)屬性(頂點(diǎn)在底面的射影在底面多邊形內(nèi)、形外)誤認(rèn)為本質(zhì)屬性。因此，及時(shí)指出概念所反映事物的非本質(zhì)屬性，有利于突出本質(zhì)屬性，讓學(xué)生正確掌握概念。

2.通過舉出概念的否定例證，從而讓學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)概念。例如，“異面直線”這一概念，有的學(xué)生往往認(rèn)為沒有公共點(diǎn)的兩條直線就是異面直線，這時(shí)若舉出否定例證:“兩條平行直線沒有公共點(diǎn)，但它們不是異面直線”。說明“沒有公共點(diǎn)”不是異面直線的本質(zhì)屬性，這樣學(xué)生理解這個(gè)概念就容易多了。

3.注意概念的比較，有助于學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，提高抽象概括能力。如對“(a+b)n的展開式的第r項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“(a+b)n的展開式的第r項(xiàng)的系數(shù)”，教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生對這兩個(gè)概念進(jìn)行對比辨析，找出它們之間有何關(guān)系，從而加深對這兩個(gè)概念的理解，使抽象概括能力也得到了提高。

四、剖析鞏固概念，深化概念的理解，感受數(shù)學(xué)文化

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，不能僅僅滿足于學(xué)生獲得概念，形式地背誦概念而不理解它們的實(shí)際含義。學(xué)生雖然對概念有了一定的理性認(rèn)識，但面對新的數(shù)學(xué)術(shù)語和新的數(shù)學(xué)符號都需要有一個(gè)解讀、理解、吸收的過程，這就需要教師及時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生來“解剖”定義，分析它的結(jié)構(gòu)特征，揭示它的關(guān)鍵詞的含義，探討它的內(nèi)涵和外延，尋求它的表示方法，對它所包含的對象進(jìn)行分類，從而實(shí)現(xiàn)對概念的透徹理解。

在概念形成和剖析之后，應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生閱讀教材、復(fù)述概念，并用不同的方式描述概念、表示概念，從而加深對概念的印象。然后進(jìn)行鞏固性地練習(xí)，設(shè)計(jì)有一定層次的、體現(xiàn)概念本質(zhì)特征的練習(xí)，讓學(xué)生在識別、判斷、推理、計(jì)算的過程中，加深對概念的理解，達(dá)到鞏固概念的目的。

在真正理解概念、掌握概念后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)概念來解決問題，由易到難，由簡單到復(fù)雜，讓學(xué)生在解決問題的過程中深化對概念的認(rèn)識，理解概念的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，積累對數(shù)學(xué)知識聯(lián)系的整體感知，從而將其同化到已有的知識結(jié)構(gòu)之中。