數(shù)學(xué)與國(guó)家實(shí)力（上）

張恭慶

一、世界強(qiáng)國(guó)與數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)

數(shù)學(xué)實(shí)力往往影響著國(guó)家實(shí)力，世界強(qiáng)國(guó)必然是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)。數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求。

17-19世紀(jì)英國(guó)、法國(guó)，后來(lái)德國(guó)，都是歐洲大國(guó)，也是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)。17世紀(jì)英國(guó)牛頓發(fā)明了微積分，用微積分研究了許多力學(xué)、天體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上這是一場(chǎng)革命，由此英國(guó)曾在數(shù)學(xué)上引領(lǐng)了潮流。法國(guó)本來(lái)就有良好的數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)，一直保持?jǐn)?shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的地位。19世紀(jì)德、法爭(zhēng)雄，在數(shù)學(xué)上的競(jìng)爭(zhēng)也非常激烈，到了20世紀(jì)初德國(guó)哥廷根成為世界數(shù)學(xué)的中心。

俄羅斯數(shù)學(xué)從19世紀(jì)開(kāi)始崛起，到了20世紀(jì)前蘇聯(lián)時(shí)期成為世界數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)之一。特別是蘇聯(lián)于1958年成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星，震撼了全世界。當(dāng)時(shí)美國(guó)總統(tǒng)約翰·肯尼迪決心要在空間技術(shù)上趕超蘇聯(lián)。他了解到：蘇聯(lián)成功發(fā)射衛(wèi)星的原因之一，是蘇聯(lián)在與此相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域處于世界的領(lǐng)先地位。此外，蘇聯(lián)重視基礎(chǔ)科學(xué)教育（包含數(shù)學(xué)教育）也是它在基礎(chǔ)科學(xué)研究中具有雄厚實(shí)力的一個(gè)重要原因，于是下令大力發(fā)展數(shù)學(xué)。

第二次世界大戰(zhàn)前美國(guó)只是一個(gè)新興國(guó)家，在數(shù)學(xué)上還落后于歐洲，但是今天他已經(jīng)成為唯一的數(shù)學(xué)超級(jí)大國(guó)。戰(zhàn)前德國(guó)納粹排猶，大批歐洲的猶太裔數(shù)學(xué)家被迫移居美國(guó)，大大增強(qiáng)了美國(guó)的數(shù)學(xué)實(shí)力，為美國(guó)打勝二戰(zhàn)、提升戰(zhàn)后的經(jīng)濟(jì)實(shí)力做出了巨大貢獻(xiàn)。蘇聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星后，美國(guó)加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育的投入，使得本來(lái)在科技界、工商界、軍事部門(mén)等方面就有良好應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的美國(guó)，迅速成為一個(gè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)。蘇聯(lián)、東歐解體后，美國(guó)又吸納了其中大批的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。

二、數(shù)學(xué)及其基本特征

數(shù)學(xué)是一門(mén)“研究數(shù)量關(guān)系與空間形式”（即“數(shù)”與“形”）的學(xué)科。 一般地說(shuō)，根據(jù)問(wèn)題的來(lái)源把數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。研究其自身提出的問(wèn)題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數(shù)學(xué)（又稱(chēng)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)）；研究來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)問(wèn)題的是應(yīng)用數(shù)學(xué)。利用建立數(shù)學(xué)“模型”，使得數(shù)學(xué)研究的對(duì)象在“數(shù)”與“形”的基礎(chǔ)之上又有擴(kuò)充。各種“關(guān)系”， 如“語(yǔ)言” “程序” “DNA排序” “選舉”、“動(dòng)物行為” 等都能作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。數(shù)學(xué)成為一門(mén)形式科學(xué)。

純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的界限有時(shí)也并不那么明顯。一方面由于純粹數(shù)學(xué)中的許多對(duì)象，追根溯源是來(lái)自解決外部問(wèn)題（如天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等）時(shí)提出來(lái)的；另一方面，為了要研究從外部世界提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如分子運(yùn)動(dòng)、網(wǎng)絡(luò)、動(dòng)力系統(tǒng)、信息傳輸?shù)龋┯袝r(shí)需要從更抽象、更純粹的角度來(lái)考察才有可能解決。

數(shù)學(xué)的基本特征是：

一是高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性。

二是應(yīng)用的廣泛性與描述的精確性。它是各門(mén)科學(xué)和技術(shù)的語(yǔ)言和工具，數(shù)學(xué)的概念、公式和理論都已滲透在其他學(xué)科的教科書(shū)和研究文獻(xiàn)中；許許多多數(shù)學(xué)方法都已被寫(xiě)成軟件，有的數(shù)學(xué)軟件作為商品在出售，有的則被制成芯片裝置在幾億臺(tái)電腦以及各種先進(jìn)設(shè)備之中，成為產(chǎn)品高科技含量的核心。

三是研究對(duì)象的多樣性與內(nèi)部的統(tǒng)一性。數(shù)學(xué)是一個(gè)“有機(jī)的”整體，它像一個(gè)龐大的、多層次的、不斷生長(zhǎng)的、無(wú)限延伸的網(wǎng)絡(luò)。高層次的網(wǎng)絡(luò)是由低層次網(wǎng)絡(luò)和結(jié)點(diǎn)組成的，后者是各種概念、命題和定理。各層次的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)點(diǎn)之間是用嚴(yán)密的邏輯連接起來(lái)的。這種連接是客觀(guān)事物內(nèi)在邏輯的反映。

數(shù)學(xué)家，包括純粹數(shù)學(xué)家和部分應(yīng)用數(shù)學(xué)家，他們的工作就在于：建立新的結(jié)點(diǎn)，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并從客觀(guān)世界吸取營(yíng)養(yǎng)來(lái)豐富、延伸這個(gè)網(wǎng)絡(luò)。在研究現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題當(dāng)中，一旦建立的數(shù)學(xué)模型和我們已有的結(jié)點(diǎn)或者低層次的網(wǎng)絡(luò)相關(guān)，所有建立起來(lái)的連接都可能發(fā)揮作用，為我們提供解決問(wèn)題的思路、理論和方法。

在現(xiàn)代社會(huì)，人們的生活愈來(lái)愈離不開(kāi)數(shù)學(xué)，我們天天享受著數(shù)學(xué)的服務(wù)，但許多人可能根本不知道！這種例子俯拾皆是。人人都用手機(jī)，但并不是人人都知道其中許多關(guān)鍵技術(shù)是數(shù)學(xué)提供的。

三、數(shù)學(xué)與當(dāng)代科學(xué)技術(shù)

（一）數(shù)學(xué)與科學(xué)革命和技術(shù)革命

第一次科學(xué)革命的標(biāo)志是近代自然科學(xué)體系的形成。是以哥白尼的“日心說(shuō)”為代表， 后經(jīng)開(kāi)普勒、伽利略， 特別是牛頓等一大批科學(xué)家的推動(dòng)完成的。牛頓為了研究動(dòng)力學(xué)，發(fā)明了微積分。他的著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》影響遍布經(jīng)典自然科學(xué)的所有領(lǐng)域。

被稱(chēng)為19世紀(jì)自然科學(xué)三大發(fā)現(xiàn)的能量守恒與轉(zhuǎn)化定律、細(xì)胞學(xué)說(shuō)和進(jìn)化論是第二次科學(xué)革命的主要內(nèi)容。

19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，X射線(xiàn)、電子、天然放射性、DNA雙螺線(xiàn)結(jié)構(gòu)等的發(fā)現(xiàn)，使人類(lèi)對(duì)物質(zhì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)由宏觀(guān)進(jìn)入微觀(guān)，相對(duì)論和量子力學(xué)的誕生使物理學(xué)理論和整個(gè)自然科學(xué)體系以及自然觀(guān)、世界觀(guān)都發(fā)生了重大變革，成為第三次科學(xué)革命。在這次革命中，數(shù)學(xué)起了很大作用。建立相對(duì)論需要黎曼幾何，愛(ài)因斯坦本人就承認(rèn)，是幾何學(xué)家走到前頭去了，他不過(guò)學(xué)了幾何學(xué)家的東西，才發(fā)明了相對(duì)論。在量子力學(xué)中用到的概率、算子、特征值、群論等基本概念和結(jié)論都是數(shù)學(xué)上預(yù)先準(zhǔn)備好了的，所以數(shù)學(xué)對(duì)第三次科學(xué)革命起到了推動(dòng)作用。

第一次技術(shù)革命是蒸汽機(jī)和機(jī)械的革命。

第二次技術(shù)革命是電氣和運(yùn)輸?shù)母锩?。雖然我們很難說(shuō)出其中哪一項(xiàng)發(fā)明直接來(lái)自數(shù)學(xué)，但19世紀(jì)和20世紀(jì)數(shù)學(xué)家們發(fā)展了常微分方程、偏微分方程、變分學(xué)和函數(shù)論等數(shù)學(xué)分支，并把它們用于研究力學(xué)—包括流體力學(xué)和彈性力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)等中的物理問(wèn)題和工程問(wèn)題，推動(dòng)了這些學(xué)科的發(fā)展。此外還值得一提的是：電磁波的發(fā)現(xiàn)是麥克斯韋先從數(shù)學(xué)推導(dǎo)中預(yù)見(jiàn)，然后由赫茲用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的。、

第三次技術(shù)革命以原子能技術(shù)、航天技術(shù)、電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用為代表。電子計(jì)算機(jī)從設(shè)想、理論設(shè)計(jì)、研制一直到程序存儲(chǔ)等過(guò)程，數(shù)學(xué)家在其中起決定性的主導(dǎo)作用。從理論上哥德?tīng)杽?chuàng)建了可計(jì)算理論和遞歸理論，圖靈第一個(gè)設(shè)計(jì)出通用數(shù)字計(jì)算機(jī)，他們都是數(shù)學(xué)家。馮·諾依曼是第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)的研制、程序和存儲(chǔ)的創(chuàng)建人，維納和香農(nóng)分別是控制論和信息論的創(chuàng)始人，他們也都是數(shù)學(xué)家。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)差不多在歷次科技革命中，都起過(guò)先導(dǎo)和支柱的作用。

（二）數(shù)學(xué)與自然科學(xué)

任何一門(mén)成熟的科學(xué)都需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，在數(shù)學(xué)模型的框架下來(lái)表達(dá)它們的思想和方法。當(dāng)代數(shù)學(xué)不僅繼續(xù)和傳統(tǒng)的鄰近學(xué)科保持緊密的聯(lián)系，而且和一些過(guò)去不太緊密的領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)也得到發(fā)展，形成了數(shù)學(xué)化學(xué)、生物數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)等眾多交叉學(xué)科。

數(shù)學(xué)在模擬智能和機(jī)器學(xué)習(xí)中也起了很重要的作用，包括：環(huán)境感知、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、模式識(shí)別與理解以及知識(shí)推理等。

（三）數(shù)學(xué)與社會(huì)科學(xué)

數(shù)學(xué)在社會(huì)科學(xué)，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、管理科學(xué)中占居重要位置?，F(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論的研究以數(shù)學(xué)為基本工具。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)上的推演，來(lái)探求宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)和微觀(guān)經(jīng)濟(jì)的規(guī)律。從1969年到2001年間，50名諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主中，有27人其主要貢獻(xiàn)是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)與金融科學(xué)的交叉—金融數(shù)學(xué)是當(dāng)代十分活躍的研究領(lǐng)域。馮·諾依曼與摩根斯登的“對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為”使“決策”成為一門(mén)科學(xué)。

控制理論與運(yùn)籌學(xué)，特別是線(xiàn)性規(guī)劃、非線(xiàn)性規(guī)劃、最優(yōu)控制、組合優(yōu)化等在交通運(yùn)輸、商業(yè)管理、政府決策等許多方面得到廣泛的應(yīng)用。

在工業(yè)管理方面，統(tǒng)計(jì)質(zhì)量管理起很大的作用。在運(yùn)用數(shù)學(xué)理論之前，質(zhì)量管理是通過(guò)事后檢驗(yàn)把關(guān)來(lái)完成的，難以管控，而且成本也很高。根據(jù)概率分布的原理，可以將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法應(yīng)用到質(zhì)量管理當(dāng)中去，產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)質(zhì)量管理的理論和方法。

（四）數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)

人們利用觀(guān)察和試驗(yàn)手段獲取數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)分析方法探索科學(xué)規(guī)律。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)研究如何有效地收集、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它以概率論等數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，是“定量分析”的關(guān)鍵學(xué)科，其理論與方法是當(dāng)今自然科學(xué)、工程技術(shù)和人文社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域研究的重要手段之一。

為了處理網(wǎng)絡(luò)上的大量數(shù)據(jù)，挖掘、提取有用的知識(shí)，需要發(fā)展“數(shù)據(jù)科學(xué)”。近年來(lái)大家都從媒體上知道掌握“大數(shù)據(jù)”的重要性。美國(guó)啟動(dòng)了“大數(shù)據(jù)研究與發(fā)展計(jì)劃”，歐盟實(shí)施了“開(kāi)放數(shù)據(jù)戰(zhàn)略”，舉辦了“歐盟數(shù)據(jù)論壇和大數(shù)據(jù)論壇”。 大數(shù)據(jù)事實(shí)上已成為信息主權(quán)的一種表現(xiàn)形式，將成為繼邊防、海防、空防之后大國(guó)博弈的另一個(gè)空間。此外，大數(shù)據(jù)創(chuàng)業(yè)將成就新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)（電子商務(wù)—產(chǎn)品和個(gè)性化服務(wù)的大量定制成為可能，疾病診斷、推薦治療措施，識(shí)別潛在罪犯等）。所以 “大數(shù)據(jù)”已經(jīng)成為各國(guó)政府管理人員、科技界和媒體十分關(guān)注的一個(gè)關(guān)鍵詞。

“大數(shù)據(jù)”的核心是將數(shù)學(xué)算法運(yùn)用到海量數(shù)據(jù)上，預(yù)測(cè)事情發(fā)生的可能性。人們普遍認(rèn)識(shí)到研究大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)是：數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和統(tǒng)計(jì)科學(xué)。

（五）數(shù)學(xué)與技術(shù)科學(xué)

馬克思說(shuō)過(guò)：“一門(mén)科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了?！苯裉斓募夹g(shù)科學(xué)如信息、航天、醫(yī)藥、材料、能源、生物、環(huán)境等都成功地運(yùn)用了數(shù)學(xué)。

信息科學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系最為密切。信息安全、信息傳輸、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、計(jì)算機(jī)聽(tīng)覺(jué)、圖象處理、網(wǎng)絡(luò)搜索、商業(yè)廣告、反恐偵破、遙測(cè)遙感等都大量地運(yùn)用了數(shù)學(xué)技術(shù)。

高性能科學(xué)計(jì)算被認(rèn)為是最重要的科學(xué)技術(shù)進(jìn)步之一，也是21世紀(jì)發(fā)展和保持核心競(jìng)爭(zhēng)力的必需科技手段。例如核武器、流體、星系演化、新材料、大工程等的計(jì)算機(jī)模擬都要求高性能的科學(xué)計(jì)算。但有了最快的計(jì)算機(jī)并不等于高性能科學(xué)計(jì)算就達(dá)到了國(guó)際先進(jìn)水平。應(yīng)用好高性能計(jì)算機(jī)解決科學(xué)問(wèn)題，基礎(chǔ)算法與可計(jì)算建模是關(guān)鍵。相對(duì)于計(jì)算機(jī)硬件，我國(guó)在基礎(chǔ)算法與可計(jì)算建模研究方面的投入不足，不利于我國(guó)高性能計(jì)算機(jī)的持續(xù)發(fā)展。

藥物分子設(shè)計(jì)已經(jīng)成為發(fā)現(xiàn)新藥的主要方向。其中計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)扮演著不可替代的角色。用計(jì)算的方法從小分子庫(kù)中搜索發(fā)現(xiàn)各種與酶可能的結(jié)合構(gòu)象來(lái)篩選藥物，或者采用基于受體結(jié)構(gòu)的特征，以及受體和藥物分子之間的相互作用方式來(lái)進(jìn)行藥物設(shè)計(jì)，已成為當(dāng)前耗費(fèi)計(jì)算資源最多的領(lǐng)域之一。（未完待續(xù)）

（作者為北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，中國(guó)科學(xué)院院士，第三世界科學(xué)院院士）