基于入射角的兩項(xiàng)流體阻抗反演方法

李超，印興耀，張廣智，王保麗，劉倩

中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，青島 266580

1 引言

疊前地震反演已成為獲取儲(chǔ)層流體敏感參數(shù)的重要途徑并得到了廣泛應(yīng)用.疊前地震反演方法大體可分為三類：基于波動(dòng)方程的疊前反演、基于Zoeppritz方程或其近似的AVO／AVA反演和疊前彈性阻抗反演（Mallick，1995）.彈性阻抗反演方法簡(jiǎn)潔、方便、效率高，在抗噪能力和穩(wěn)定性方面比其他兩種方法具有優(yōu)勢(shì)（Cambois，2000），其實(shí)際應(yīng)用效果也更好（Karimi et al.，2013；Westeng et al.，2014）.

彈性阻抗的概念最初由Connolly（1999）提出，由于其對(duì)非零炮檢距數(shù)據(jù)的反演具有較高的穩(wěn)定性，隨后得到了廣泛的認(rèn)可.Whitcombe等（2002）提出了擴(kuò)展的彈性阻抗的概念，擴(kuò)大了彈性阻抗的定義域；Verwest等（2000）根據(jù)射線傳播理論提出了射線阻抗的概念，將彈性阻抗理論擴(kuò)展到射線域；倪逸（2003）結(jié)合相鄰層速度和密度的不同變化規(guī)律，提出了基于范數(shù)動(dòng)態(tài)可調(diào)的彈性阻抗計(jì)算方法；馬勁風(fēng)（2003）提出了適用于疊后資料的廣義彈性阻抗；Wang等（2006）提出了基于Gray近似方程的彈性波阻抗反演方法，通過(guò)反演和參數(shù)提取可以直接得到拉梅常數(shù)；印興耀等（2010）基于Russell提出的多孔流體飽和彈性介質(zhì)的近似方程，提出了包含流體因子f的彈性波阻抗方程及反演方法；Morozov（2010）將反射波、透射波和轉(zhuǎn)換波的彈性阻抗都表示為矩陣形式，無(wú)需近似從而提高了計(jì)算精度；Zhang等（2012）根據(jù)彈性阻抗和射線阻抗的概念提出了新的射線阻抗概念，不僅提高了反射系數(shù)的精度而且提高了解釋能力；Zong等（2013）推導(dǎo)出包含泊松比和楊氏模量的彈性阻抗方程，建立了相應(yīng)的直接反演算法.隨著地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)反演理論的快速發(fā)展，一些學(xué)者提出利用地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)反演方法來(lái)反演彈性阻抗，取得了良好的效果（Ruiz et al.，2012；Azevedo et al.，2013；Francis，2013）.

目前，廣泛使用的彈性阻抗方程大多是由Aki近似方程及其他基于Aki近似方程得到的AVO近似方程經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得到的.方程通常是由三項(xiàng)組成的，而且包含密度項(xiàng).在缺乏大角度地震資料或者地震資料數(shù)據(jù)信噪比較低的情況下，大角度反演的結(jié)果品質(zhì)較差（李愛(ài)山等，2009），提取參數(shù)的過(guò)程中，參數(shù)矩陣的穩(wěn)定性較差，造成最終提取的彈性參數(shù)誤差較大.另外，由于密度項(xiàng)的參數(shù)權(quán)值在角度有限情況下較小，反演的難度更加大.為此，本文基于入射角AVO近似方程，結(jié)合彈性參數(shù)間的巖石物理關(guān)系，在保證方程精度的前提下推導(dǎo)得到了包含Russell流體項(xiàng)的兩項(xiàng)AVO近似方程，并進(jìn)一步推導(dǎo)出兩項(xiàng)流體彈性阻抗方程，建立了相應(yīng)的概率化疊前反演方法.該方法由于未知項(xiàng)只有兩項(xiàng)，對(duì)疊前資料的角度要求較小，可以在缺少大角度地震資料的情況下使用，并得到較為合理的反演結(jié)果.

2 基于入射角的流體彈性阻抗

2.1 包含流體項(xiàng)的兩項(xiàng)近似方程

Aki近似方程是常用的AVO近似方程，在實(shí)際應(yīng)用中為方便使用經(jīng)常將入射角作為角度參數(shù).由于Aki近似方程是基于入射角和透射角的平均角度進(jìn)行推導(dǎo)得到的，所以在界面兩側(cè)物性變化較大或入射角較大的情況下，該近似方程的計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.張廣智等（2012）提出基于入射角的兩項(xiàng)AVO近似方程來(lái)解決誤差問(wèn)題，筆者將該理論依據(jù)應(yīng)用于Aki三項(xiàng)AVO近似公式，可以得到如下的近似方程：

基于公式（1）推導(dǎo)得到的彈性阻抗反演方法能夠得到比常規(guī)彈性阻抗反演方法更加精確的結(jié)果（Li et al.，2012），因此我們?cè)诖嘶A(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo).

根據(jù)Gardner公式（Gardner et al.，1974）以及縱橫波阻抗的表達(dá)式可以得到：

將公式（2）代入公式（1），可以得到：

Russell等（2003）對(duì)飽含流體多孔介質(zhì)的AVO理論進(jìn)行了研究，提出了流體項(xiàng)F（F＝fρ）.根據(jù)縱橫波速度、密度與模量的關(guān)系可以得到：

公式（4）代入公式（3）可得：

公式（5）即基于入射角的包含Russell流體項(xiàng)的兩項(xiàng)AVO近似方程.

2.2 流體彈性阻抗方程

與普通彈性阻抗方程推導(dǎo)過(guò)程類似，反射系數(shù)可以表示為：

其中，EI是彈性阻抗.

由公式（6）可得：

取積分并指數(shù)化，把積分常數(shù)設(shè)為0：

類似于常規(guī)的彈性阻抗公式，公式（9）也存在求取的彈性阻抗值隨著角度的變化在量綱尺度上有很大變化的問(wèn)題，這不利于進(jìn)行不同角度的彈性阻抗值之間的對(duì)比以及與波阻抗值的對(duì)比.在綜合分析波阻抗與彈性阻抗時(shí)，首先要將彈性阻抗變換到波阻抗的量綱尺度上，這給實(shí)際工作帶來(lái)了不便.為了解決這個(gè)問(wèn)題，消除入射角變化對(duì)量綱尺度的影響，要對(duì)推導(dǎo)出的彈性阻抗公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（Whitcombe，2002）.引入了2個(gè)參考常數(shù)：F0、μρ0，并把彈性阻抗方程修改為

如果這些常數(shù)值被定義為F、μρ曲線的平均值，這樣求得的彈性阻抗值就會(huì)在單位1附近變化，這一修改使得函數(shù)不再依賴尺度.為了使得彈性阻抗的尺度與波阻抗一致，利用θi＝0°時(shí)的彈性阻抗值進(jìn)行加權(quán)處理，即

2.3 精度分析

為了驗(yàn)證新彈性阻抗方程的準(zhǔn)確性，使用經(jīng)典的Ostrander模型進(jìn)行精確度定量分析，模型數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 Ostrander的三層含氣砂巖與頁(yè)巖模型Table 1 Model for gas－bearing sand and shale designed by Ostrander

入射介質(zhì)波阻抗小于透射介質(zhì)波阻抗的界面稱為正波阻抗界面，反之稱為負(fù)波阻抗界面.上述模型中，上覆頁(yè)巖和下伏含氣砂巖的反射界面就是負(fù)波阻抗界面，而上覆砂巖和下伏頁(yè)巖的反射界面為正波阻抗界面.以上述模型為基礎(chǔ)分別用精確的Zoeppritz方程、公式（11）（記為 TEI）、Connolly彈性阻抗方程（記為CEI）、基于入射角的彈性阻抗方程（記為IEI）計(jì)算了界面處的反射系數(shù)，如圖1a，1b所示.

從圖1a中可以看出，在角度較?。ㄐ∮?5°）時(shí)，幾種公式計(jì)算結(jié)果接近.隨著角度逐漸增大，IEI計(jì)算結(jié)果與精確Zoeppritz方程的計(jì)算結(jié)果吻合度比較高，這符合IEI的性質(zhì)；TEI作為IEI的兩項(xiàng)近似也有較高的精確度，在角度增加到40°時(shí)與精確值的誤差仍然非常?。欢鳦EI在角度大于20°以后誤差逐漸增大，精度已經(jīng)不滿足彈性阻抗反演的需求.在圖1b中可以得到類似的結(jié)論，因此可以認(rèn)為新的彈性阻抗方程的精度符合彈性阻抗反演的要求，而且高于常規(guī)彈性阻抗方程.

3 基于貝葉斯理論的彈性阻抗反演

基于入射角的彈性阻抗反演需要綜合地質(zhì)、測(cè)井和地震的資料，它以包含豐富地下信息的地震反射資料為主要資料，以地質(zhì)和測(cè)井資料作為約束，來(lái)揭示地下儲(chǔ)層的屬性及其含流體特征.主要包括以下步驟：地震資料處理、測(cè)井資料處理、子波的提取與標(biāo)定、彈性阻抗反演.為了更好地利用待反演參數(shù)的先驗(yàn)信息和提高反演結(jié)果的合理性，本文采用基于貝葉斯理論的彈性阻抗反演方法.

基于貝葉斯理論得到的反射系數(shù)r的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為：

其中，向量d表示部分角度疊加數(shù)據(jù)向量；向量r表示待反演角度反射系數(shù)向量；I表示地質(zhì)信息；）表示后驗(yàn)概率密度函數(shù)；表示描述觀測(cè)數(shù)據(jù)d和反射系數(shù)r之間關(guān)系的似然函數(shù)；是先驗(yàn)概率密度函數(shù)；表示邊緣分布，當(dāng)只考慮后驗(yàn)分布的形狀時(shí)，其數(shù)值可以取常數(shù).

假設(shè)地震資料背景噪聲服從高斯分布，地震數(shù)據(jù)和反射系數(shù)之間的關(guān)系可以用服從Gauss分布的似然函數(shù)來(lái)描述.假設(shè)先驗(yàn)信息服從Cauchy分布，將先驗(yàn)分布函數(shù)和似然函數(shù)代入貝葉斯公式可得：

將（13）式代入邊緣化公式，取對(duì)數(shù)后得到最大化后驗(yàn)概率分布目標(biāo)函數(shù)為

（14）式通過(guò)Cauchy先驗(yàn)分布加入稀疏約束提高了反演結(jié)果的稀疏性.但是由于地震資料是帶限的，所以利用（14）式進(jìn)行反演得到的結(jié)果也是帶限的.而補(bǔ)償?shù)皖l信息可以改善反演剖面的橫向連續(xù)性，提高反演結(jié)果的精度.為此本文通過(guò)加入平滑正則約束項(xiàng)和點(diǎn)約束項(xiàng)，對(duì)反演結(jié)果低頻分量進(jìn)行補(bǔ)償.則目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步表示為：

其中，JSmooth（r）＝α‖C1r－η1‖2，JPoint（r）＝β‖C2rη2‖2.式中，α，β為加權(quán)系數(shù)，控制約束信息的相對(duì)使用量.可以看出平滑正則約束項(xiàng)和點(diǎn)約束項(xiàng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是相同的，但物理意義不同，主要體現(xiàn)在積分矩陣C的構(gòu)建上.對(duì)于平滑正則約束項(xiàng)，C1和η1是由反射系數(shù)序列時(shí)間采樣點(diǎn)的數(shù)目和低頻模型或非常平滑單井模型計(jì)算得到；在點(diǎn)約束項(xiàng)中，C2和η2是由約束點(diǎn)的位置和對(duì)應(yīng)位置處測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)或井插值數(shù)據(jù)計(jì)算得到.

因此，式（15）即為最終的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)求梯度并令其等于0，得到如下反演方程：

從式（16）所示的反演方程可以看出，該方程有一定的弱非線性，因此采用迭代重加權(quán)最小二乘算法進(jìn)行求解即可得到最終的結(jié)果.

從反演得到的彈性阻抗數(shù)據(jù)中提取流體因子等彈性參數(shù)是疊前地震反演的重要步驟，在此考慮直接提取Russell流體項(xiàng)F，一方面可避免間接計(jì)算帶來(lái)的累計(jì)誤差；另一方面兩個(gè)角度的彈性阻抗建立的方程穩(wěn)定性更高.

4 模型試算

為了驗(yàn)證基于入射角的流體彈性阻抗反演方法的可行性，本文選取 Marmousi2模型（Martin et al.，2006）的部分?jǐn)?shù)據(jù)建立二維模型（圖2a，2b），在時(shí)間0.9～1.0s、CDP300～500處有一含氣儲(chǔ)層，時(shí)間1.45～1.55s、CDP250～850處有一含油儲(chǔ)層.從圖2a中可以很清楚地看到氣層和油層，說(shuō)明Russell流體項(xiàng)對(duì)于區(qū)分油氣層效果非常好，而在圖2b中油氣層都不清楚，說(shuō)明μρ本身的指示能力較差.

圖1 精確Zoeppritz方程（紅色實(shí)線）、TEI（藍(lán)色點(diǎn)線）、CEI（綠色點(diǎn)線）、IEI（粉色點(diǎn)線）計(jì)算的反射系數(shù)（a）負(fù)波阻抗界面反射系數(shù)對(duì)比；（b）正波阻抗界面反射系數(shù)對(duì)比.Fig.1 AVO curve computed with the exact Zoeppritz equation（red line），TEI（blue line），CEI（green line）and IEI（purple line）（a）Comparison of coefficients at positive interface；（b）Comparison of coefficients at negative interface.

圖2 模型數(shù)據(jù)（a）Russell流體項(xiàng)；（b）μρ.Fig.2 The model（a）Russell fluid term；（b）μρ.

圖3 縱波速度與密度做對(duì)數(shù)后的交會(huì)Fig.3 Crossplotting of the logarithm of P－velocity and density

利用圖2數(shù)據(jù)進(jìn)行正演得到1°到30°角度地震數(shù)據(jù)，得到中心角分別為5°、10°、15°的三個(gè)角度疊加道集.為了得到公式（11）中的常數(shù)b值，從模型中抽取幾道作為偽井，對(duì)縱波速度和密度取對(duì)數(shù)進(jìn)行交會(huì)，如圖3所示.經(jīng)過(guò)線性擬合可以得到二者的線性關(guān)系表達(dá)式，其中斜率參數(shù)0.26即為b的取值.利用本文方法對(duì)5°和10°數(shù)據(jù)進(jìn)行疊前彈性阻抗反演，并提取彈性參數(shù)直接得到Russell流體項(xiàng)和μρ，如圖4a，4b所示.分別對(duì)比圖2a，2b和圖4a，4b，可以看出通過(guò)本方法估算得到的Russell流體項(xiàng)和μρ與模型值基本一致，精確度較高.為了檢驗(yàn)方法的抗噪性，在疊前道集數(shù)據(jù)中加入信噪比為4∶1的隨機(jī)噪聲，再進(jìn)行如前的疊加和反演.估算得到的Russell流體項(xiàng)如圖5a所示.對(duì)比圖5a和圖2a可以看出，雖然受到噪聲的影響，但是估算得到的Russell流體項(xiàng)精確度依然非常高.

為了體現(xiàn)直接提取Russell流體項(xiàng)的優(yōu)勢(shì)，采取基于Connolly彈性阻抗方程的常規(guī)彈性阻抗反演方法，利用三個(gè)角度道集進(jìn)行反演得到縱橫波速度、密度后間接計(jì)算得到Russell流體項(xiàng)，如圖5b所示.對(duì)比圖5a和5b可以看出，由于經(jīng)過(guò)了間接計(jì)算，反演過(guò)程中的誤差得到了進(jìn)一步的累積，因此圖5b的結(jié)果受噪聲影響更大，Russell流體項(xiàng)預(yù)測(cè)效果差于圖5a的結(jié)果.為了更加直觀地比較兩種結(jié)果的差別，抽取CDP400的同時(shí)經(jīng)過(guò)氣層和油層的單道數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖6.從圖中可以看出，直接提取的結(jié)果與模型精確值更加接近，間接方法得到的結(jié)果誤差較大.通過(guò)以上比較可以看出，在缺少大角度地震資料的情況下，本文的反演方法依然可以得到準(zhǔn)確的反演結(jié)果，而且由于系數(shù)矩陣條件數(shù)較小，穩(wěn)定性得到了保證.

圖4 無(wú)噪聲情況反演結(jié)果（a）Russell流體項(xiàng)；（b）μρ.Fig.4 Inversion result without noise（a）Russell fluid term；（b）μρ.

圖5 信噪比為4∶1時(shí)的反演結(jié)果（a）本文方法得到的Russell流體項(xiàng)；（b）間接方法得到的Russell流體項(xiàng).Fig.5 Inversion result when S／N＝4∶1（a）Russell fluid term inverted by the new method；（b）Russell fluid term calculated by indirect method.

圖6 信噪比為4：1時(shí)的反演結(jié)果抽取過(guò)CDP400的單道Fig.6 CDP 400of the inversion result when S／N＝4∶1

5 實(shí)際工區(qū)

實(shí)際資料來(lái)自中國(guó)東部某油田，由于目標(biāo)儲(chǔ)層埋藏較深，無(wú)法獲取高質(zhì)量的大角度地震數(shù)據(jù)，因此應(yīng)用兩項(xiàng)彈性阻抗公式進(jìn)行疊前反演和儲(chǔ)層預(yù)測(cè).

進(jìn)行疊前反演之前，需要對(duì)地震數(shù)據(jù)、測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理.地震數(shù)據(jù)預(yù)處理主要是保幅處理，測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的預(yù)處理主要是井?dāng)?shù)據(jù)的拼接和校正.

油砂巖，綠點(diǎn)表示含水砂巖，藍(lán)點(diǎn)表示泥巖.從圖中可以看出，Russell流體項(xiàng)能夠很好地區(qū)分含油砂巖和含水砂巖，因此可以作為本工區(qū)的流體指示參數(shù).

圖7 Russell流體項(xiàng)和μρ的交會(huì)圖Fig.7 Crossplotting of Russell fluid term andμρ

圖8 不同角度的部分角度疊加道集（a）小角度疊加道集；（b）中角度疊加道集.Fig.8 Seismic profiles with different angle range（a）Seismic profile of small angle－stack；（b）Seismic profile of middle angle－stack.

經(jīng)過(guò)疊前處理，將共反射點(diǎn)道集由偏移距域轉(zhuǎn)換到角度域，并得到中心角為8°（3°～13°）和18°（13°～23°）的部分角度疊加道集數(shù)據(jù)，如圖8a，8b所示.

圖8a，8b中CDP405處有一口井，井上的柱狀曲線是儲(chǔ)層流體解釋曲線，紅色部分是含油砂巖，綠色部分是含水砂巖，藍(lán)色部分是非儲(chǔ)層.利用本文方法進(jìn)行彈性阻抗反演，得到的Russell流體項(xiàng)和μρ如圖9a，9b所示.從圖9a中可以看到，井上所示2.63～2.66s處的油層對(duì)應(yīng)較低的Russell流體項(xiàng)值，而2.39～2.41s處和2.48～2.51s處的水層也對(duì)應(yīng)較低的異常值，但是明顯高于含油層的值，儲(chǔ)層流體得到了很好的識(shí)別.該結(jié)果與巖石物理交會(huì)分析結(jié)果以及實(shí)際鉆井資料匹配較好.

上述工區(qū)取得較好的應(yīng)用效果后，在另外一個(gè)工區(qū)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用.該工區(qū)目的層埋深與前述工區(qū)相比較淺，但是由于數(shù)據(jù)采集條件的限制無(wú)法得到高質(zhì)量的大角度數(shù)據(jù)，因此使用相同方法進(jìn)行彈性阻抗反演和儲(chǔ)層流體識(shí)別.圖10是最終得到的彈性參數(shù)剖面.與圖9類似，Russell流體項(xiàng)剖面可以較好地指示含油儲(chǔ)層，應(yīng)用效果較好.

6 結(jié)論

圖9 反演后提取的彈性參數(shù)（a）Russell流體項(xiàng)；（b）μρ.Fig.9 Elastic parameters extracted with inversion results（a）Russell fluid term；（b）μρ.

圖10 另一工區(qū)反演得到的彈性參數(shù)（a）Russell流體項(xiàng)；（b）μρ.Fig.10 Elastic parameters extracted in another project（a）Russell fluid term；（b）μρ.

本文針對(duì)地震數(shù)據(jù)角度范圍較小的情況，基于孔隙彈性介質(zhì)理論和入射角AVO理論推導(dǎo)出了包含Russell流體項(xiàng)的兩項(xiàng)彈性阻抗方程，并建立了基于貝葉斯框架的彈性阻抗反演方法，能夠直接提取Russell流體項(xiàng)，不僅使解的稀疏性更高，而且避免了累積誤差，提高了計(jì)算結(jié)果的精度.經(jīng)過(guò)經(jīng)典模型的試驗(yàn)和實(shí)際資料的應(yīng)用，證明了基于入射角的兩項(xiàng)流體阻抗反演方法有較高的準(zhǔn)確性和較強(qiáng)的實(shí)用性.該方法由于未知項(xiàng)只有兩項(xiàng)，對(duì)疊前資料的角度要求較小，可以在缺少大角度地震資料的情況下使用，并得到較為合理的反演結(jié)果.

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